Matematika 1 - Pojmovnik

Algebarski izrazi

Upotrebljavajući varijable, simbole i konstante stvaramo algebarske izraze. Primjeri algebarskih izraza:

$3 n,$ $\sqrt{2} x,$ $2 n + 1,$ $x^{3} + y^{3},$ $3 x y^{4} z^{6} - 2 x y,$ $\frac{π}{2} x^{2} + x,$ $8 x^{2} - x,$ $2 x (x + 2),$ $x^{2} - 4 x + 5.. .$

Algebarski razlomak

Razlomak čiji su brojnik i nazivnik algebarski izrazi nazivamo racionalni algebarski izraz ili algebarski razlomak.

Faktorizirati algebarski izraz znači napisati ga u obliku umnoška cijelog broja različitog od $1$ i $- 1$ i algebarskih izraza s cjelobrojnim koeficijentima koji se ne mogu dalje rastaviti na algebraske izraze s cjelobrojnim koeficijentima.

Istoimeni članovi

Svi članovi algebarskog izraza koji u svojemu zapisu sadržavaju iste potencije nazivaju se istoimeni ili odgovarajući članovi.

Istoimeni se članovi mogu razlikovati samo u koeficijentu.

Zbrojiti možemo samo istoimene članove i to tako da zbrojimo njihove koeficijente, a sve ostale potencije unutar tog člana prepišemo.

Pascalov trokut

Pascalov trokut je trokut s brojevima koji na rubnim elementima ima jedinice, a svaki element trokuta dobiven je zbrajanjem elemenata koji su neposredno iznad njega. Brojevi u Pascalovu trokutu koeficijenti su u formulama za potenciju binoma.

Polinom

Algebarski izraz koji ima samo jedan član naziva se monom.

Dvočlani algebarski izraz naziva se binom, tročlani trinom, a višečlani algebarski izraz polinom.

Ovisno o broju varijabli koje sadržava, polinome još dijelimo na polinome jedne ili polinome više varijabli.

Razlika kubova

Izraz $a^{3} - b^{3}$ nazivamo razlika kubova. Za svaka dva realna broja $a$ i $b$ vrijedi:

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ .

Stupanj polinoma

Polinome s varijablom $x$ razlikujemo prema najvećoj potenciji od $x$ . Kažemo da je polinom $n$ -tog stupnja $n \in N$ , ako najveća potencija tog polinoma ima eksponent $n$ .

Članove polinoma zapisujemo u poretku od najveće prema najmanjoj potenciji, s konstantom na kraju.

Koeficijente koji stoje uz potenciju nazivamo koeficijenti polinoma.

Koeficijent uz najveću potenciju nazivamo vodeći koeficijent.

Član koji ne sadržava varijablu $x$ nazivamo slobodni član.

Polinome obično označavamo s P, Q, R..., a njihovu vrijednost, za iznos varijable $x$ , s $P (x), Q (x), R (x) . .$ .

Činjenicu da je $P$ polinom $n$ -tog stupnja zapisujemo sa $st P = n$ .

Konstantan polinom ili konstanta je polinom nultog stupnja ili onaj polinom koji nema varijablu u svojemu zapisu nego samo konstantu.

Nul-polinom je polinom $P$ koji uvijek ima vrijednost nula, to jest $P (x) = 0$ za sve realne brojeve $x$ . Stupanj nul-polinoma se ne definira.

Teorem o dijeljenju polinoma

Za zadane polinome $M$ i $N$ postoje jedinstveni polinomi $Q$ i $R$ tako da vrijedi

$M (x) = N (x) \cdot Q (x) + R (x), st R < st N$ .

Polinom $Q$ je količnik, a polinom $R$ je ostatak pri dijeljenju polinoma $M$ s polinomom $N$ .

Vrijednost algebarskog izraza

Ako u algebarskom izrazu varijable zamijenimo brojevima i provedemo računske radnje koje su simbolima naznačene, broj koji ćemo dobiti je vrijednost danoga algebarskog izraza.

Uvrštavanjem različitih brojeva na mjesto varijable možemo dobiti različite vrijednosti algebarskog izraza.

Zbroj kubova

Izraz $a^{3} + b^{3}$ nazivamo zbroj kubova. Za svaka dva realna broja $a$ i $b$ vrijedi:

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})