Matematika 1 - 3.6 Faktorizacija

Na slici su četiri različita pravokutnika sastavljena od šest kvadrata.

Broj $6$ možemo rastaviti na faktore na više načina: $6 = 1 \cdot 6 = 6 \cdot 1 = 2 \cdot 3 = 3 \cdot 2 .$

A na koliko načina možemo $6$ jediničnih kvadrata složiti u pravokutnik?

Očito neke brojeve možemo prikazati kao najviše dva različita pravokutnika, pri čemu je jedna od dimenzija pravokutnika jednaka jedan. To su prosti brojevi.

Brojevi koje možemo prikazati kao više od dvaju različitih pravokutnika složeni su brojevi.

Proučimo sada neke algebarske izraze.

Možete li algebarski izraz $2 x + 3$ prikazati kao pravokutnik kojemu su duljine stranica cijeli brojevi za svaki cijeli broj $x ?$ Složite pločice u pravokutnik. Koliko različitih pravokutnika možemo dobiti?

Pokušajte prikazati algebarski izraz $2 x + 6$ kao pravokutnik kojemu su duljine stranica cijeli brojevi za svaki cijeli broj $x .$ Složite pločice u pravokutnik. Koliko različitih pravokutnika možete dobiti?

Isto kao kod brojeva možemo zaključiti da se izraz $2 x + 3$ ne može rastaviti na faktore.

Izraz $2 x + 6$ može se faktorizirati.

Koji su faktori izraza $2 x + 6$ ?

Iz pravokutnika možemo očitati faktore $2 x + 6 = 2 \cdot (x + 3) .$

Faktorizirati algebarski izraz znači napisati ga u obliku umnoška cijelog broja različitog od $1$ i $- 1$ i algebarskih izraza s cjelobrojnim koeficijentima koji se ne mogu dalje rastaviti na algebraske izraze s cjelobrojnim koeficijentima.

Zadatak 1.

Možete li prepoznati koji se izrazi mogu faktorizirati, a koji ne mogu.

a^{3} b^{12} - 27 a^{2}

x^{2} - 1

a - 1

5 x + 7

3 x - 9

t^{2} + 4

2 x - 3 y

15 x - x^{2}

Izrazi koji se mogu faktorizirati

Izrazi koji se ne mogu faktorizirati

null

Rastavljanje na faktore izlučivanjem zajedničkog faktora

Primjer 1.

Rastavimo na faktore izraz $4 x - 10 .$

Uočimo da oba pribrojnika imaju zajednički faktor broj $2,$ odnosno

$4 x = 2 \cdot 2 x, 10 = 2 \cdot 5 .$

Primjenjujući svojstvo distributivnosti, zajednički faktor izlučimo pa slijedi

$4 x - 10 = 2 \cdot 2 x - 2 \cdot 5 = 2 \cdot (2 x - 5) .$

Zamijetimo da se izraz $2 x - 5$ dalje ne može rastaviti.

Zadatak 2.

Izlučivanjem zajedničkog faktora rastavite na faktore sljedeće algebarske izraze.

$2 x + 4 =$ $\cdot (x + 2)$

null

null
$6 x^{2} - 15 x =$ $\cdot (2 x - 5)$

null

null
$x^{2} y + x y^{2} =$ $\cdot (x + y)$

null

null
$12 a + 18 b - 24 c =$ $\cdot (2 a + 3 b - 4 c)$

null

null

Članove u višečlanim algebarskim izrazima katkad treba grupirati po dva pa izlučivati zajedničke faktore i to više puta.

Primjer 2.

Rastavimo na faktore izraz $3 a x - 6 a y - 4 b x + 8 b y .$

Uočimo da prvi i drugi član imaju zajednički faktor $3 a,$ a zadnja dva zajednički faktor $4 b$ pa ćemo tako izlučivati.

$3 a x - 6 a y - 4 b x + 8 b y = 3 a \cdot (x - 2 y) - 4 b \cdot (x - 2 y) =$

Sada je zajednički faktor izraz $x - 2 y$ te ćemo ga izlučiti

$= (x - 2 y) (3 a - 4 b) .$

Jesmo li mogli drukčije grupirati članove?

Mogli smo grupirati prvi i treći član te drugi i četvrti član:

$3 a x - 6 a y - 4 b x + 8 b y = 3 a x - 4 b x - 6 a y + 8 b y = x \cdot (3 a - 4 b) - 2 y \cdot (3 a - 4 b) = (3 a - 4 b) (x - 2 y)$

U oba smo slučaja dobili iste faktore.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 3.

Uparite izraze tako da vrijedi znak jednakosti.

$x + 3 + {(x + 3)}^{2} =$	$(x - 3) (x - 4)$
$3 (x + 2) + {(x + 2)}^{2} =$	$(x - 1) (x - 4)$
${(x + 4)}^{2} + 8 + 2 x =$	$(x + 2) (x + 5)$
${(x - 1)}^{2} - 3 x + 3 =$	$(x + 3) (x + 4)$
${(x + 2)}^{2} - 5 (x + 2) =$	$(x + 2) (x - 3)$
${(x - 3)}^{2} - x + 3 =$	$(x + 4) (x + 6)$

null

Zadatak 4.

Rastavite na faktore sljedeće algebarske izraze.

$1 + a + a^{2} + a^{3}$
$4 u v + 3 v - 12 u - 9$
$x^{4} - x^{3} + 2 x - 2$
$x y + 4 a b - 2 y a - 2 x b$

$(1 + a) (1 + a^{2})$
$(4 u + 3) (v - 3)$
$(x - 1) (x^{3} + 2)$
$(x - 2 a) (y - 2 b)$

Zatvori

Faktorizacija kvadratnog trinoma

Tijekom sređivanja algebarskih izraza nakon množenja, istoimene članove zbrajamo. Zato je prirodno očekivati da kada provodimo obrnutu radnju, neki član rastavimo na zbroj istoimenih članova. Pogledajte!

Primjer 3.

Faktorizacija kvadratnog trinoma

Rastavimo na faktore izraz $x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} .$

Zadatak 5.

Rastavite na faktore kvadratne trinome.

$x^{2} + 6 x + 5$
$x^{2} - x - 6$
$a^{2} - 26 a + 25$
$a^{2} - 3 a b + 2 b^{2}$

$(x + 1) (x + 5)$
$(x - 3) (x + 2)$
$(a - 1) (a - 25)$
$(a - b) (a - 2 b)$

Rastavljanje na faktore primjenom formula

Primjer 4.

Rastavimo na faktore algebarski izraz $x^{2} - 10 x + 25 .$

Možemo li to učiniti na isti način kao u prethodnom primjeru? Pokušajmo.

$x^{2} - 5 x - 5 x + 25 = x \cdot (x - 5) - 5 \cdot (x - 5) = (x - 5) (x - 5)$

Kako taj umnožak možemo kraće zapisati?

Kao ${(x - 5)}^{2} .$ A to je kvadrat binoma.

Dakle, mogli smo tu formulu prepoznati te odmah zapisati umnožak:

$x^{2} - 10 x + 25 = {(x - 5)}^{2} .$

Do sada smo algebarske izraze faktorizirali na izraze s cjelobrojnim koeficijentima. Kada algebarski izraz zapisujemo u obliku umnoška primjenjujući formule, kao faktori će se pojaviti i algebarski izrazi s racionalnim koeficijentima.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Zapišite kao potpuni kvadrat.

Razlomke unosite sa znakom za dijeljenje, na primjer $\frac{2}{3} = 2 / 3 .$

Zadatak 7.

Zapišite na papir u obliku umnoška primjenjujući formule za kvadrat binoma.

$9 x^{2} + 6 x + 1$
$4 a^{2} - 28 a + 49$
$16 - 8 x + x^{2}$
$a^{4} - 12 a^{2} b + 36 b^{2}$
$x^{2} + 7 x + \frac{49}{4}$
$\frac{x^{2}}{4} - \frac{4}{3} x + \frac{16}{9}$

${(3 x + 1)}^{2}$
${(2 a - 7)}^{2}$
${(4 - x)}^{2}$
${(a^{2} - 6 b)}^{2}$
${(x + \frac{7}{2})}^{2}$
${(\frac{x}{2} - \frac{4}{3})}^{2}$

Zatvori

Primjer 5.

Rastavimo na faktore izraz $4 a^{2} - 9$ .

Taj izraz prepoznajemo kao razliku kvadrata

$4 a^{2} - 9 = {(2 a)}^{2} - 3^{2} .$

Primjenjujući poznatu formulu, dobivamo

$4 a^{2} - 9 = (2 a - 3) (2 a + 3) .$

Zadatak 8.

Zapišite u obliku umnoška primjenjujući formulu za razliku kvadrata.

$25 x^{2} - 9 = ($ $+$ $) ($ $-$ $)$

null

null
$4 - 9 a^{2} = ($ $+$ $) ($ $-$ $)$

null

null
$ x^{2} y^{2} - 16 = ($ $+$ $) ($ $-$ $)$

null

null
$ 0.01 a^{4} - 0.25 b^{2} = ($ $a^{2} +$ $) ($ $a^{2} -$ )

null

null

Kutak za znatiželjne

Kvadratni trinom možemo faktorizirati metodom koja se naziva dopunjavanje do potpunog kvadrata. Ideja je da trinomu dodamo i oduzmemo član i tako dobijemo kvadrat zbroja ili razlike. Pogledajmo na primjeru:

$x^{2} - 2 x - 15 = x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 15 = (x^{2} - 2 x + 1) - 16 = {(x - 1)}^{2} - 4^{2} = (x - 1 - 4) (x - 1 + 4) = (x - 5) (x + 3) .$

Faktorizirajte dopunom do potpunog kvadrata sljedeće izraze.

$x^{2} + 4 x - 32$
$x^{2} + 7 x + 12$
$2 x^{2} + 5 x - 3$
$12 a^{2} + 4 a b - b^{2}$

Trinomu dodamo i oduzmemo kvadrat polovine koeficijenta drugoga člana, zapišemo sve kao razliku kvadrata i dalje faktoriziramo.

$(x + 8) (x - 4)$
$(x + 3) (x + 4)$
$\begin{array}{l} 2 (x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{3}{2}) = \\ 2 (x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{25}{16} - \frac{25}{16} - \frac{3}{2}) = \\ 2 [\begin{array}{l} (x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{25}{16}) - \frac{49}{16} \end{array}] = \\ 2 [{(x + \frac{5}{4})}^{2} - {(\frac{7}{4})}^{2}] = \\ 2 (x + 3) (x - \frac{1}{2}) = \\ (x + 3) (2 x - 1) \end{array}$
$(2 a + b) (6 a - b)$

Prisjetite se formula za kub binoma te zbroj i razliku kubova. Zapišite ih.

Te ćemo formule primijeniti pri faktorizaciji u sljedećim zadatcima.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Zapišite na papir u obliku umnoška primjenjujući formule za kub binoma.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$
$27 + 54 x + 36 x^{2} + 8 x^{3}$
$8 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{1}{8}$
$0.001 a^{3} - 0.015 a^{2} b^{2} + 0.075 a b^{4} + 0.125 b^{6}$

${(x - 1)}^{3}$
${(3 + 2 x)}^{3}$
${(2 x + \frac{1}{2})}^{3}$
${(0.1 a - 0.5 b^{2})}^{3}$

Zadatak 10.

Zapišite na papir u obliku umnoška primjenjujući formule za razliku i zbroj kubova.

$125 x^{3} - 8 y^{3}$
$a^{3} b^{6} + 64 c^{3}$
$0.064 - a^{6} b^{9}$
$\frac{8}{27} a^{3} + \frac{1}{8} b^{3}$

$(5 x - 2 y) (25 x^{2} + 10 x y + 4 y^{2})$
$(a b^{2} + 4 c) (a^{2} b^{4} - 4 a b^{2} c + 16 c^{2})$
$(0.4 - a^{2} b^{3}) (0.16 + 0.4 a^{2} b^{3} + a^{4} b^{6})$
$(\frac{2}{3} a + \frac{1}{2} b) (\frac{4}{9} a^{2} - \frac{1}{3} a b + \frac{1}{4} b^{2})$

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Izraz $x^{5} - 1$ rastavite na faktore.

Može li se izraz $x^{n} - 1$ rastaviti na faktore za bilo koji prirodni broj $n ?$

A za koji se prirodni broj $n$ izraz $x^{n} + 1$ može rastaviti na faktore?

$\begin{array}{l} x^{5} - 1 = \\ x^{5} - x^{4} + x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1 = \\ x^{4} (x - 1) + x^{3} (x - 1) + x^{2} (x - 1) + x (x - 1) + (x - 1) = \\ (x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) \end{array}$

Zanimljivost

Ruski se matematičar Nikolai Grigorievich Chebotaryov ( 1894. – 1947.) bavio algebrom polinoma. Hobi mu je bio faktorizacija izraza $x^{n} - 1$ za razne vrijednosti cijeloga broja $n .$ Svoja je razmišljanja i rezultate zapisivao na papir jer u vrijeme kada je živio, nije bilo računala koja nam danas olakšavaju račun.

Faktorizacija na djelu

Pogledajmo kako nam faktorizacija može pomoći pri rješavanju nekih jednostavnih zadataka.

Primjer 6.

Primjenjujući faktorizaciju izraza $2 x^{2} - 18,$ odredimo proste faktore broja $182 .$

$2 x^{2} - 18 = 2 (x^{2} - 9) = 2 (x - 3) (x + 3)$

Prikažimo sada broj $182$ u obliku $2 x^{2} - 18 .$

$182 = 2 \cdot 91 = 2 (100 - 9) = 2 (10 - 3) (10 + 3) = 2 \cdot 7 \cdot 13$

Očito su prosti faktori broja $182$ brojevi $2,$ $7$ i $13 .$

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 11.

Primjenjujući faktorizaciju izraza $4 x^{2} - 9,$ odredite proste faktore broja $391 .$

$391 = 17 \cdot 23$

Zadatak 12.

Izračunajte vrijednosti sljedećih izraza primjenjujući faktorizaciju.

$101^{2} - 99^{2}$
$72^{2} - 28^{2}$
${6.79}^{2} - {3.21}^{2}$
${8.14}^{2} - {1.86}^{2}$

${(100 + 1)}^{2} - {(100 - 1)}^{2} = (100 + 1 + 100 - 1) (100 + 1 - 100 + 1) = 200 \cdot 2 = 400$
$4 400$
${(7 - 0.21)}^{2} - {(3 + 0.21)}^{2} = 10 \cdot 3.58 = 35.8$
$62.8$

Zatvori

Primjer 7.

Zadan je pravokutnik površine $p = n^{2} + 7 n + 10$ za prirodni broj $n .$ Koliko iznosi opseg pravokutnika?

Znamo da je opseg jednak zbroju duljina svih stranica. Duljine ćemo stranica odrediti tako da faktoriziramo izraz za površinu.

$p = n^{2} + 7 n + 10 = (n + 2) (n + 5)$

Dakle, duljine stranica pravokutnika iznose $a = n + 2$ i $b = n + 5$ pa je opseg pravokutnika

$o = 2 a + 2 b = 2 (n + 2) + 2 (n + 5) = 4 n + 14 .$

Zadatak 13.

Odredite opseg pravokutnika ako mu je površina jednaka $p = n^{2} + 15 n + 54, n \in N .$

$o = 4 n + 30 .$

3.6 Faktorizacija

Na početku...