Matematika 1 - 3.9 Računanje s algebarskim razlomcima

Na početku...

Iz fizike: Kada otpornike u strujnom krugu spajamo paralelno, ukupni otpor $R_{u}$ računamo prema formuli

$\frac{1}{R_{u}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} + . . .,$

pri čemu su $R_{1}, R_{2}, R_{3} . . .$ pojedinačni otpori spojenih otpornika.

Jedinica je za mjerenje otpora $1 Ω$ (om).

Zapišimo izraz za ukupni otpor u strujnom krugu u kojemu su tri otpornika spojena paralelno, pri čemu je otpor drugog otpornika za $2$ oma veći od otpora prvoga, a otpor trećega je za $4$ oma veći od dvostrukog otpora prvoga otpornika.

Neka je $R_{1} = x Ω .$ Iz uvjeta zadatka slijedi $R_{2} = (x + 2) Ω$ i $R_{3} = (2 x + 4) Ω .$

Dane vrijednosti uvrstimo u formulu

$\frac{1}{R_{u}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{2 x + 4} .$

Da bismo izrazili $R_{u},$ treba izraz pojednostavniti, odnosno razlomke zbrojiti i ako je moguće skratiti.

$\frac{1}{R_{u}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{2 x + 4} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{2 (x + 2)} = \frac{2 (x + 2) + 2 x + x}{2 x (x + 2)} = \frac{5 x + 4}{2 x^{2} + 4 x},$

odnosno

$R_{u} = \frac{2 x^{2} + 4 x}{5 x + 4} Ω .$

Zadatak 1.

Neki se bazen puni kroz dvije cijevi, a prazni se kroz treću. Prva ga cijev sama može napuniti za $n$ sati, a drugoj treba $1$ sat manje. Kad je bazen pun, kroz treću se cijev može isprazniti za $4 n$ sati. Sve su tri cijevi otvorene istodobno.

Zapišite na papir izraz koji opisuje koliko je sati potrebno da se bazen napuni.

Prva cijev za jedan sat napuni $\frac{1}{n}$ dio bazena, druga cijev napuni $\frac{1}{n - 1}$ dio bazena, dok treća cijev za jedan sat isprazni $\frac{1}{4 n}$ dio bazena. Prema tome cijevi u jednom satu napune

$\frac{1}{n} + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{4 n} = \frac{4 (n - 1) + 4 n - (n - 1)}{4 n (n - 1)} = \frac{7 n - 3}{4 n (n - 1)}$ dio bazena, odnosno treba $\frac{4 n (n - 1)}{7 n - 3}$ sati da se napuni cijeli bazen.

Ponovimo kako provoditi računske radnje s algebarskim razlomcima.

Pri zbrajanju ili oduzimanju algebarskih razlomaka treba odrediti zajednički nazivnik; najučinkovitije je ako računamo s najmanjim zajedničkim nazivnikom.
Pri množenju ili dijeljenju algebarskih razlomaka prvo provjerimo imaju li brojnici i nazivnici jednake faktore koje se može skratiti.
Ako je moguće, algebarski razlomak koji dobijemo na kraju treba skratiti.

U svakom slučaju, važna je faktorizacija.

Primjer 1.

Pratimo u animaciji kako treba računati s algebarskim razlomcima.

Primjer 2.

Izračunajmo $(\frac{2}{x + 2} + \frac{1}{x + 3}) \cdot \frac{x + 2}{x} .$

Zadatak možemo rješavati kao i prethodni, prvo zbrojiti razlomke pa ih pomnožiti s trećim. Ali ako uočimo da nam je nazivnik prvog razlomka u zagradi jednak brojniku razlomka s kojim množimo, možemo pojednostavniti rješavanje.

Primjenjujemo distributivnost pa slijedi:

$\begin{array}{l} (\frac{2}{x + 2} + \frac{1}{x + 3}) \cdot \frac{x + 2}{x} = \\ \frac{2}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x} + \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x + 2}{x} = \\ \frac{2}{x} + \frac{x + 2}{x (x + 3)} = \\ \frac{2 (x + 3) + x + 2}{x (x + 3)} = \\ \frac{2 x + 6 + x + 2}{x (x + 3)} = \\ \frac{3 x + 8}{x (x + 3)} \end{array} .$

Riješite zadatak na drugi način i uvjerite se koji je način brži i jednostavniji.

Zadatak 2.

Uparite izraze tako da vrijedi znak jednakosti.

$\frac{x + 3}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{x - 1}{x + x^{2}} + \frac{2}{x} =$	$\frac{2 x^{2} + 7 x + 3}{x {(x + 1)}^{2}}$
$[\frac{x + 1}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{1}{x + 3}] \cdot \frac{x - 1}{2 x + 3} =$	$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{5 (x + 1)}$
$(\frac{8 x}{4 x - 10} - 1) (1 - \frac{2 x + 10}{4 x + 10}) =$	$\frac{x}{2 x - 5}$
$(\frac{3}{x^{2} + x} - \frac{2 x + 1}{x^{2} - 1}) : \frac{5}{x^{2} - x} =$	$\frac{x - 1}{(x + 2) (x + 3)}$

null

Pri računanju s algebarskim razlomcima treba, kao i pri računanju s brojevnim izrazima, paziti na redoslijed računskih radnji.

Pogledajte sljedeći primjer.

Primjer 3.

Zadatak 3.

Uparite izraze tako da vrijedi znak jednakosti.

$\frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 25} \cdot \frac{a^{2} + 10 a + 25}{a - 4} - \frac{9 a}{a - 5} =$	$\frac{1 - a}{4}$
$\frac{a + 3}{a + 1} : (\frac{2 a - 3}{a - 1} - \frac{3 a - 1}{a + 1} + \frac{a^{2} - 7 a - 8}{a^{2} - 1}) =$	$\frac{16 a - 21}{3 (a - 3)}$
$\frac{12}{a^{2} - 1} + \frac{a^{2} - 9}{a + 2} \cdot \frac{3 a + 6}{a^{2} - 2 a - 3} =$	$\frac{a^{2} + 20}{a - 5}$
$\frac{2 a + 3}{a - 3} + \frac{6 a - 14}{3 a - 9} : \frac{3 a - 7}{5 a - 15} =$	$\frac{3 a + 3}{a - 1}$

null

Kutak za znatiželjne

Dokažite: ako je $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0,$ tada je $\frac{x + y}{z} + \frac{y + z}{x} + \frac{z + x}{y}$ cijeli broj.
Dokažite: ako je $\frac{1}{x + y + z} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z},$ tada postoje dva suprotna broja između $x, y, z .$

$\begin{array}{l} \frac{x + y}{z} + \frac{y + z}{x} + \frac{z + x}{y} = \\ \frac{x}{z} + \frac{y}{z} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{y} = \\ x \cdot (\frac{1}{z} + \frac{1}{y}) + y \cdot (\frac{1}{z} + \frac{1}{x}) + z \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \end{array}$

{zbog pretpostavke} $= x \cdot (- \frac{1}{x}) + y \cdot (- \frac{1}{y}) + z \cdot (- \frac{1}{z}) = - 3 .$
$\frac{1}{x + y + z} - \frac{1}{x} = \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \Rightarrow \frac{- y - z}{x (x + y + z)} = \frac{y + z}{y z} \Rightarrow$ 2. slučaja
- 1. slučaj $y + z = 0 \Rightarrow y = - z$
- 2. slučaj $y + z \neq 0 \Rightarrow x^{2} + x y = - x z - y z \Rightarrow x (x + y) = - z (x + y) \Rightarrow x = - z .$

...i na kraju

Izračunajte.

\frac{1}{1 + \frac{1}{x}}

\frac{1}{\frac{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}{2}}

\frac{x^{2}}{1 + \frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{x}

$\frac{x}{x + 1}$
$\frac{2 a b}{a + b}$
$x - 1$

3.9 Računanje s algebarskim razlomcima

Na početku...

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Kutak za znatiželjne

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: