Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
x
Učitavanje

3.9 Računanje s algebarskim razlomcima

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na slici su otpornici.

Iz fizike: Kada otpornike u strujnom krugu spajamo paralelno, ukupni otpor​ Ru računamo prema formuli

1Ru=1R1+1R2+1R3+...,

pri čemu su R1,R2,R3... pojedinačni otpori spojenih otpornika.

Jedinica je za mjerenje otpora 1Ω (om).

Zapišimo izraz za ukupni otpor u strujnom krugu u kojemu su tri otpornika spojena paralelno, pri čemu je otpor drugog otpornika za 2 oma veći od otpora prvoga, a otpor trećega je za 4 oma veći od dvostrukog otpora prvoga otpornika.

Neka je R1=xΩ. Iz uvjeta zadatka slijedi R2=(x+2)Ω i R3=(2x+4)Ω.

Dane vrijednosti uvrstimo u formulu

1Ru=1x+1x+2+12x+4.

Da bismo izrazili​ Ru, treba izraz pojednostavniti, odnosno razlomke zbrojiti i ako je moguće skratiti.

1Ru=1x+1x+2+12x+4=1x+1x+2+12(x+2)=2(x+2)+2x+x2x(x+2)=5x+42x2+4x,

odnosno

Ru=2x2+4x5x+4Ω.

Zadatak 1.

Na slici je bazen.

Neki se bazen puni kroz dvije cijevi, a prazni se kroz treću. Prva ga cijev sama može napuniti za n sati, a drugoj treba 1 sat manje. Kad je bazen pun, kroz treću se cijev može isprazniti za 4n sati. Sve su tri cijevi otvorene istodobno.

Zapišite na papir izraz koji opisuje koliko je sati potrebno da se bazen napuni.

Prva cijev za jedan sat napuni 1n dio bazena, druga cijev napuni 1n-1 dio bazena, dok treća cijev za jedan sat isprazni 14n dio bazena. Prema tome cijevi u jednom satu napune

1n+1n-1-14n=4(n-1)+4n-(n-1)4n(n-1)=7n-34n(n-1) dio bazena, odnosno treba 4n(n-1)7n-3 sati da se napuni cijeli bazen.


Ponovimo kako provoditi računske radnje s algebarskim razlomcima.

U svakom slučaju, važna je faktorizacija.

Primjer 1.

Pratimo u animaciji kako treba računati s algebarskim razlomcima.

Primjer 2.

Izračunajmo ​ (2x+2+1x+3)·x+2x.

Zadatak možemo rješavati kao i prethodni, prvo zbrojiti razlomke pa ih pomnožiti s trećim. Ali ako uočimo da nam je nazivnik prvog razlomka u zagradi jednak brojniku razlomka s kojim množimo, možemo pojednostavniti rješavanje.

Primjenjujemo distributivnost pa slijedi:

(2x+2+1x+3)·x+2x=2x+2·x+2x+1x+3·x+2x=2x+x+2x(x+3)=2(x+3)+x+2x(x+3)=2x+6+x+2x(x+3)=3x+8x(x+3).

Riješite zadatak na drugi način i uvjerite se koji je način brži i jednostavniji.

Zadatak 2.

Uparite izraze tako da vrijedi znak jednakosti.

(3x2+x-2x+1x2-1):5x2-x=  ​
2x2+7x+3x(x+1)2
(8x4x-10-1)(1-2x+104x+10)=
-2x2+2x-35(x+1)
[x+1(x+2)(x+3)+1x+3]·x-12x+3=
x2x-5
x+3x2+2x+1-x-1x+x2+2x=
x-1(x+2)(x+3)
null
null

Pri računanju s algebarskim razlomcima treba, kao i pri računanju s brojevnim izrazima, paziti na redoslijed računskih radnji.

Pogledajte sljedeći primjer.

Primjer 3.

Zadatak 3.

 Uparite izraze tako da vrijedi znak jednakosti.

2a+3a-3+6a-143a-9:3a-75a-15=
1-a4  ​
12a2-1+a2-9a+2·3a+6a2-2a-3=
16a-213(a-3)  ​
a+3a+1:(2a-3a-1-3a-1a+1+a2-7a-8a2-1)=
a2+20a-5  ​
a2-16a2-25·a2+10a+25a-4-9aa-5=
3a+3a-1  
null
null

Kutak za znatiželjne

  1. Dokažite: ako je ​ 1x+1y+1z=0, tada je x+yz+y+zx+z+xy cijeli broj.
  2. Dokažite: ako je 1x+y+z=1x+1y+1z, tada postoje dva suprotna broja između x,y,z.
  1. x+yz+y+zx+z+xy=xz+yz+yx+zx+zy+xy=x·(1z+1y)+y·(1z+1x)+z·(1x+1y)=

    {zbog pretpostavke} ​ =x·(-1x)+y·(-1y)+z·(-1z)=-3.

  2. 1x+y+z-1x=1y+1z-y-zx(x+y+z)=y+zyz 2. slučaja

    • 1. slučaj y+z=0y=-z
    • 2. slučaj y+z0x2+xy=-xz-yzx(x+y)=-z(x+y)x=-z.

...i na kraju

Izračunajte.

  1. 11+1x
  2. 1(1a+1b)2
  3. x21+1x·1-1x2x
  1. xx+1
  2. 2aba+b
  3. x-1

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Koji je brojnik do kraja sređenog izraza xy:(3x-yy2+1y)?

null
null
2

Koji je brojnik do kraja sređenog izraza​ (1-3xx+1)·x2-14x2-1?

null
null
3

Koji je brojnik do kraja sređenog izraza​ x-1x·2xx+2-xx+2?

null
null
4

Poredajte korake računanja s algebarskim razlomcima u pravilan redoslijed.

x2-y22y·(xyx2-y2-y2x-2y)=

  • x2-(x-y)(x+y)y4y(x-y)=  ​
  • x2-y22y·xyx2-y2-x2-y22y·y2x-2y=  ​
  • 2x-x-y4=  
  • x-y4  ​
  • x2-x+y4=  ​
null
null
5

Poredajte korake računanja s algebarskim razlomcima u pravilan redoslijed.

(1-a-32a+2):a2+5aa+1= 

  • a+52(a+1)·a+1a(a+5)=  
  • 2a+2-a+32a+2·a+1a2+5a=  ​
  • (1-a-32a+2)·a+1a2+5a=  ​
  • 12a  ​
null
null
6

Poredajte korake računanja s algebarskim razlomcima u pravilan redoslijed.  

x3+x2+x+1x2-1·x-1x-5-35-x=

  • x2+1x-5+3x-5=  ​
  •   x2+4x-5
  • x2(x+1)+x+1(x-1)(x+1)·x-1x-5-35-x= 
  • (x2+1)(x+1)x+1·1x-5-35-x=  ​
null
null
7

Vrijedi li jednakost [4x:(x+1)-3x2-1]·5x2+xx-4=5x-4?

null
null
8

Vrijedi li jednakost t2-9t2-4t+3·2t-2t2+5t+6+6t2t2+4t=5t+2?

null
null
9

Vrijedi li jednakost t2-10t+25t2-4:2t2-506t+12+t2-5t+25t3+125=4t-17(t-2)(t+5)?

null
null
10

Vrijedi li jednakost [xy-(yx-xy)·1x+y-1]:1+xy=x-yxy?

null
null
11

Automobilist je prvi dio puta od 150km prošao određenom prosječnom brzinom, a sljedećih 100km povećao je prosječnu brzinu za 30km/h. Koliko mu je vremena trebalo za cijeli put od 250km?

null
null
ZAVRŠITE PROCJENU