Naučili smo što su algebarski izrazi, od čega se sastoje i kako izračunati njihovu vrijednost. Kako ćemo računati s algebarskim izrazima?
Postoje razne formule u matematici, fizici, kemiji... koje se izvode ili dokazuju izvodeći osnovne računske radnje s algebarskim izrazima.
Zamjenom varijabli brojevima algebarski izraz prelazi u brojevni. Zato ćemo pri računanju s algebarskim izrazima primjenjivati ista pravila i svojstva koja smo primjenjivali u računanju s brojevima.
Primjer 1.
Koja smo svojstva zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja primjenjivali pri računanju s realnim brojevima? Prisjetimo se.
U brojevnom smo izrazu
16029·(-3)·29160=16029·29160·(-3)=-3 pojednostavnili računanje zamijenivši mjesta drugom i trećem faktoru. Primijenili smo svojstvo
množenja.
U brojevnom smo izrazu
(-90+435)+75=-90+(435+75)=-90+10=-80 pojednostavnili računanje promijenivši način grupiranja članova. Primijenili smo svojstvo
zbrajanja.
U brojevnom smo izrazu
345·520+345·480=345·(520+480)=345·1000=345000 pojednostavnili računanje primjenjujući svojstvo
množenja prema zbrajanju.
komutativnosti
distributivnosti
asocijativnosti
null
Ta svojstva ne vrijede samo za brojeve iz prvog primjera nego za sve realne brojeve. Zato ih zapisujemo općim brojevima ili algebarskim izrazima.
komutativnost množenja i zbrajanja
ab=ba,a+b=b+a
asocijativnost množenja i zbrajanja
(a·b)·c=a·(b·c)=abc,(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c
distributivnost množenja prema zbrajanju
a(b+c)=ab+ac
U dokazivanju ili objašnjenjima matematičkih tvrdnji često se pozivamo na ta svojstva i zato smo im dali posebne nazive.
Geometrijska interpretacija
Već smo prije opseg i površinu različitih likova zapisivali brojevnim ili algebarskim izrazima. Obratno, neki algebarski izraz geometrijski možemo često interpretirati na više načina. U sljedećim ćemo razmatranjima upotrijebiti jednostavan prikaz koristeći se površinama pravokutnika.
Primjer 2.
Na sljedećoj je slici prikazana geometrijska interpretacija ili prikaz broja
1, varijable
x i umnoška varijabli
ab.
Koristeći se površinom pravokutnika
, kao u drugom primjeru,
prikažite na papiru algebarski izraz
x+1.
Zadatak 2.
Koristeći se površinom pravokutnika, kao u drugom primjeru, prikažite na papiru zbroj dvaju monoma, odnosno algebarski izraz
x2+2x. Možete li površinu istog pravokutnika zapisati koristeći se nekim drugim algebarskim izrazom?
Algebarski izraz
x2+2x možemo prikazati koristeći se površinom pravokutnika koji se sastoji od kvadrata stranice
x i dvaju pravokutnika stranica
x i
1. Oni zajedno tvore jedan pravokutnik duljina stranica
x i
x+2 i njegova je površina zato jednaka
x(x+2).
Zaključujemo
x2+2x=x(x+2).
Zadatak 3.
Koristeći se površinom pravokutnika, kao u drugom primjeru, interpretirajte algebarski izraz
a(b+1). Možete li površinu istog pravokutnika zapisati koristeći se nekim drugim algebarskim izrazom?
Nacrtani pravokutnik, sa stranicama
a
i
b+1
, sastoji se od dvaju pravokutnika: jedan je površine
ab, a drugi površine
a.
Prethodni primjeri upućuju na geometrijsku interpretaciju svojstva distributivnosti.
Svojstvo distributivnosti množenja prema zbrajanju
Geometrijski nam je prikaz pomogao predočiti algebarski izraz i objasnio svojstvo distributivnosti koje će nam biti potrebno u računanju s algebarskim izrazima.
Zbrajanje i oduzimanje algebarskih izraza
Primjer 3.
Prisjetimo se.
Istoimeni članovi (monomi) imaju isti varijabilni dio i mogu se razlikovati samo u koeficijentu, na primjer:
Mogu se zbrajati
samo istoimeni članovi višečlanoga algebarskog izraza ili polinoma.
Zato polinome obično zapisujemo u najjednostavnijem obliku u kojem nema više istoimenih članova.
Zadatak 4.
Pojednostavnite algebarske izraze.
-2ax+3bx-8ax-bx+3a-5bx=
5y5+2y2-8y-y5+3y2-y=
5a2-6a+5-3a+8=
3(a+2)-4(a+2)-2(a+2)+5(a+2)=
-2ax+3bx-8ax-bx+3a-5bx=-10ax-3bx+3a
5y5+2y2-8y-y5+3y2-y=4y5+5y2-9y
5a2-6a+5-3a+8=5a2-9a+13
3(a+2)-4(a+2)-2(a+2)+5(a+2)=2(a+2)
Napomena
Ako u zadatku s brojevnim izrazima piše „izračunajte
”, jasno je da moramo primijeniti osnovna svojstva računanja s brojevima i provesti osnovne računske radnje, a rezultat će biti broj. Što ako se radi o algebarskim izrazima?
Rezultat računanja s algebarskim izrazima uglavnom je algebarski izraz. Ali znamo da svaki algebarski izraz postaje brojevni kad varijable zamijenimo brojevima.
Zato ćemo dogovorno i u zadatcima s algebarskim izrazima pod
„izračunajte
”
podrazumijevati da treba provesti osnovne računske radnje i primjenjujući svojstva računanja pojednostavniti izraz koliko je god moguće.
Zadatak 5.
Izračunajte i popunite prazna mjesta.
35x-34y+125x+y-x-94y=x+y
null
null
7x3y2+1-5x3y2+6=x3y2 +
null
null
ab-a2+3ab+5a2+10ab-2=a2+
ab-
null
null
Primjer 4.
Zbrojimo algebarske izraze
4x3-2x2+7 i
-6x3+5x2-2x.
(4x3-2x2+7)+(-6x3+5x2-2x)=
(4x3-6x3)+(-2x2+5x2)+(-2x)+7=-2x3+3x2-2x+7.
Koja smo svojstva primjenjivali pri zbrajanju?
Svojstva komutativnosti i asocijativnosti omogućila su nam da pregrupiramo članove zbroja u skupine istoimenih ili odgovarajućih članova.
Primjer 5.
Ako zbrajamo algebarske izraze koji imaju istoimene članove, možemo ih i potpisati jedan ispod drugog, kao u pisanom zbrajanju brojeva. Pogledajmo kako to izgleda na prethodnom primjeru.
Pritom treba paziti da istoimene članove potpišemo jedan ispod drugog, a preporučuje se pisati koeficijent nula ondje gdje nedostaje odgovarajući član.
Odaberite zbroj ili razliku klikom na odgovarajuće polje. Upišite koeficijente i eksponente polinoma P i Q na odgovarajuća mjesta. Zbrojite ili oduzmite polinome pa upišite koeficijente i eksponente rješenja na odgovarajuća mjesta.
Zadatak 7.
Odaberite među ponuđenim odgovorima računsku radnju koja je provedena između dvaju polinoma.
Trinom
7x2+3x-4 je rezultat
trinoma
3x2+2x-1i4x2+x-3, a trinom
-x2+x+2 je rezultat trinoma
3x2+2x-1i4x2+x-3.
Primijenite svojstvo distributivnosti i izračunajte.
2a(a+3)
-2xy(x-2y)
-3x3(-x2+2x-4)
2y(3y-2)-4(y2-y)
2a(a+3)=2a2+6a
-2xy(x-2y)=-2x2y+4xy2
-3x3(-x2+2x-4)=3x5-6x4+12x3
2y(3y-2)-4(y2-y)=6y2-4y-4y2+4y=2y2
Zadatak 10.
Upišite član koji nedostaje.
5x(x-3)=
-
.
-3(2x-5y+1)=
+
-
.
3x(2x-3)-x(3x+2)=
-
.
11x
-6x
15y
5x2
15x
3x2
3
Pomoć:
Ako je povratna informacija da rješenje nije točno, provjerite redoslijed pribrojnika. U rješenju je predviđeno njihovo zapisivanje u redoslijedu množenja člana ispred zagrade s članovima unutar onim redom kako su zapisani.
Otkrijimo pravilo za množenje dvaju binoma (a+b)·(c+d).
Koristit ćemo se geometrijskim prikazom
.
Prazan pravokutnik kojemu su stranice duljinaa+bic+d prekrijte povlačenjem danim pločicama (pravokutnicima) bez preklapanja. Upišite na svaku pločicu njezinu površinu.
Zaključak.
Umnožak dvaju binoma računa se tako da svaki član jednoga binoma pomnožimo sa svakim članom drugoga binoma te dobivene članove zbrojimo.
Može li se isti postupak primijeniti i kad faktori imaju više od dvaju članova? Koliko je, primjerice,
(a+2)(a+b+1)?
Promotrimo sliku.
Iz geometrijskog ćemo prikaza lako zaključiti da je
(a+2)(a+b+1)=a2+ab+3a+2b+2,
odnosno da se do rješenja dolazi, kao i u prethodnim primjerima, množenjem svakog člana iz jedne zagrade sa svakim članom iz druge zagrade.
Zadatak 13.
Poredajte elemente povlačenjem tako da dobijete redoslijed računanja sljedećeg umnoška.
-3(-x+3y)(2x-y-1)=
-3(-2x2-3y2+7xy+x-3y)=
6x2+9y2-21xy-3x+9y
-3(-2x2+xy+x+6xy-3y2-3y)=
null
null
Polinomi s jednom varijablom
Već smo rekli da višečlani algebarski izraz nazivamo polinom. Ako svi njegovi članovi sadržavaju samo jednu varijablu, onda je to polinom jedne varijable. Ta posebna vrsta algebarskog izraza ima važnu ulogu u matematici i zato ćemo reći nešto o njoj.
U daljnjem ćemo tekstu, kad govorimo o polinomu, podrazumijevati da se radi o polinomu jedne varijable.
Primjerice, 2x4-3x3+x2-4x+5 je polinom s varijablom x.
Članovi tog polinoma su potencije baze
x
s pripadnim koeficijentima2,-3,1,-4,5
. Zapisani su u poretku od potencije s najvećim eksponentom do konstante ili člana koji sadržava varijablu
x s najmanjim eksponentom, eksponentom 0.
Potenciju s najvećim eksponentom kraće nazivamo najveća potencija.
Zadatak 14.
Razvrstajte sljedeće polinome u dvije skupine, A i B, prema nekom načelu. Provjerite jesu li vaše skupine kao one predviđene u odgovoru. Ako nisu, pokušajte ponoviti zadatak i otkriti prema kojem ih je načelu trebalo razvrstati?
5x3-9x-1
x5+2x4+5x3-x2+5x+2
x3-x2+5
3x3-4x2-x-3
-4x5+2x-1
-x5-3x2-4x+7
-x3+2x2-3x+4
3x5-2x4-2x3+5x-9
A
B
Pomoć:
Promatrajte eksponente
null
Svi polinomi u skupini A imaju najveću potencijux5, a u skupini B najveću potenciju x3. Kažemo da su svi polinomi u skupini A polinomi stupnja 5, a u skupini B polinomi stupnja 3.
Polinome s varijablom
x razlikujemo prema najvećoj potenciji od
x. Kažemo da je polinomn-tog stupnjan∈N, ako najveća potencija tog polinoma ima eksponent
n.
Članove polinoma zapisujemo u poretku od najveće prema najmanjoj potenciji, s konstantom na kraju.
Koeficijente koji stoje uz potenciju nazivamo koeficijenti polinoma.
Koeficijent uz najveću potenciju nazivamo vodeći koeficijent.
Član koji ne sadržava varijablu
xnazivamo slobodni član.
Polinome obično označavamo s P, Q, R..., a njihovu vrijednost, za iznos varijable
x, s
P(x),Q(x),R(x)...
Činjenicu da je
Ppolinomn-tog stupnja zapisujemo sa
stP=n.
Konstantan polinom ili konstanta je polinom nultog stupnja ili onaj polinom koji nema varijablu u svojemu zapisu nego samo konstantu.
Nul-polinom je polinom
P koji uvijek ima vrijednost nula, to jest
P(x)=0 za sve realne brojeve
x.Stupanj nul-polinoma se ne definira.
Izračunajte zbroj, razliku i umnožak zadanih polinoma. Upišite rješenja na odgovarajuća mjesta. Pri tome koristite zapis x ^ nza potenciju xn. Za svaki točan odgovor, otkrit će vam se jedno polje skrivene slike.
Zadatak 17.
Koristeći rješenja zadatka 16. odredite stupnjeve zadanih polinoma, njihovog zbroja, razlike i umnoška. Rješenja upišite u tablicu na odgovarajuća mjesta.
Zadatak 18.
Promotrite tablicu u zadatku 17. Usporedite stupnjeve polinoma PiQsa stupnjevima njihova zbroja, razlike i umnoška koje ste zapisali u tablici. Što zaključujete?
Ako polinomi
PiQ nisu nul-polinomi,
označite za svaku od sljedećih tvrdnji je li točna uvijek, katkad ili nikad?
stP+stQ=st(P+Q)
null
null
st(P-Q)=stP
null
null
st(P·Q)=stP+stQ
null
null
Zadatak 19.
Što od ponuđenog treba pisati kako bi dana tvrdnja bila točna?
Stupanj zbroja ili razlike polinoma je uvijek stupnju svakog od polinoma koje zbrajamo ili oduzimamo.
Podsjetimo se teorema o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom:
„Za zadane prirodne brojeve mi npostoje jedinstveni brojevi qi r iz skupa N0 za koje vrijedi
r<n i
m=n·q+r.
”
Kako bi to izgledalo na primjeru brojeva 350 i 80?
Broj
q=4
je količnik, a broj
r=30
je ostatak pri dijeljenju broja 350 s 80 i manji je od djelitelja, broja 80. Traženi je zapis
350=80·4+30,
a služi nam za zapisivanje rezultata dijeljenja te za njegovu provjeru.
Što znači uvjet
r<n u teoremu o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom?
Postupak dijeljenja provodimo dokle god je ostatak manji od djelitelja jer bismo u suprotnom, primjerice, mogli povećati količnik za 1 kao u zapisu
350=80·3+110,
Što će biti uvjet
r<n
za polinome?
Za zadane polinome
M i
N postoje jedinstveni polinomi
Q i
R tako da vrijedi
M(x)=N(x)·Q(x)+R(x),stR<stN.
PolinomQ je količnik, a polinomR je ostatak pri dijeljenju polinoma
M s polinomom
N.
Zadatak 22.
Za polinome
M i
N primijenite teorem o dijeljenju polinoma, odnosno odredite polinome
Q i
R tako da vrijedi
M(x)=N(x)·Q(x)+R(x),stR<stN.
M(x)=4x+3 i
N(x)=x-2
M(x)=3x2-2x+6 i
N(x)=-x+1
M(x)=6x3+x2-x+1 i
N(x)=3x2-x+1
M(x)=6x4-2x3-11x2+1 i
N(x)=2x2-3
M(x)=5x3-x2+3x-1 i
N(x)=2x-1
M(x)=x5-4x4+7x3-5x2-2x+3 i
N(x)=x3-2x2+1
Q(x)=4 i
R(x)=11
Q(x)=-3x-1 i
R(x)=7
Q(x)=2x+1 i
R(x)=-2x
Q(x)=3x2-x-1 i
R(x)=-3x-2
Q(x)=52x2+34x+438 i
R(x)=358
Q(x)=x2-2x+3 i
R(x)=0
Kutak za znatiželjne
Dokažite da vrijedi Bezoutov poučak.
Ako je Ppolinomn-tog stupnja i P(x0)=0, tada je polinomPdjeljiv s polinomom x-x0. Vrijedi i obratno: ako je Pdjeljiv s polinomom x-x0, onda je P(x0)=0.
Pretpostavimo da je
P(x0)=0. Prema poučku o dijeljenju polinoma postoje jedinstveni polinomi
QiR tako da vrijedi
P(x)=(x-x0)Q(x)+R(x) za sve realne brojeve
x.
Kako je djelitelj polinom prvog stupnja, ostatak može biti jedino nultog stupnja, odnosno konstanta. Označimo
R(x)=r. Tada za
x=x0 vrijedi
P(x0)=(x0-x0)Q(x)+r⇒0=0·Q(x)+r0=r.
To znači da je
P djeljiv s polinomom
x-x0.
Obratno:
Ako je
P djeljiv s polinomom
x-x0, tada je
P(x)=(x-x0)Q(x) za sve realne brojeve
x. Tada je za
x=x0
P(x0)=(x0-x0)Q(x0)⇒P(x0)=0·Q(x0)P(x0)=0.
Nekoliko zadataka s polinomima...
Zadatak 23.
PolinomP
zapisan je u obliku umnoška polinoma, odnosno
P(x)=(2x3-18x)(x-2).
Kojeg je stupnja polinom
P?
Pomnožite dane polinome i raspišite polinom P po potencijama od najveće do najmanje.
Podijelite polinom P s polinomima x-2ix2-3x.
Koliko iznosi zbroj svih koeficijenata polinoma
P
?
Polinom
P je četvrtog stupnja.
P(x)=2x4-4x3-18x2+36x
P(x):(x-2)=2x3-18x što slijedi iz zadanog zapisa polinoma
P.
P(x):(x2-3x)=2x2+2x-12
Zbroj svih koeficijenata polinoma
P iznosi
16.
...i na kraju
Koliko iznosi zbroj svih koeficijenata polinoma
P(x)=2(x2-x+1)2017(x3-2x+2)2018?