x
Učitavanje

3.3 Računske radnje s polinomima

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na slici su formule.

Naučili smo što su algebarski izrazi, od čega se sastoje i kako izračunati njihovu vrijednost. Kako ćemo računati s algebarskim izrazima?

Postoje razne formule u matematici, fizici, kemiji... koje se izvode ili dokazuju izvodeći osnovne računske radnje s algebarskim izrazima.

Zamjenom varijabli brojevima algebarski izraz prelazi u brojevni. Zato ćemo pri računanju s algebarskim izrazima primjenjivati ista pravila i svojstva koja smo primjenjivali u računanju s brojevima.

Primjer 1.

Koja smo svojstva zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja primjenjivali pri računanju s realnim brojevima? Prisjetimo se.

  1. U brojevnom smo izrazu 160 29 · ( - 3 ) · 29 160 = 160 29 · 29 160 · ( - 3 ) = - 3 pojednostavnili računanje zamijenivši mjesta drugom i trećem faktoru. 
    Primijenili smo svojstvo
     
    množenja.
  2. U brojevnom smo izrazu - 90 + 43 5 + 7 5 = - 90 + 43 5 + 7 5 = - 90 + 10 = - 80 pojednostavnili računanje promijenivši način grupiranja članova.
    Primijenili smo svojstvo
     
    zbrajanja.
  3. U brojevnom smo izrazu 345 · 520 + 345 · 480 = 345 · 520 + 480 = 345 · 1 000 = 345 000 pojednostavnili računanje primjenjujući svojstvo
     
    množenja prema zbrajanju.

    komutativnosti
    distributivnosti
    asocijativnosti

 

null

Ta svojstva ne vrijede samo za brojeve iz prvog primjera nego za sve realne brojeve. Zato ih zapisujemo općim brojevima ili algebarskim izrazima.

U dokazivanju ili objašnjenjima matematičkih tvrdnji često se pozivamo na ta svojstva i zato smo im dali posebne nazive.

Geometrijska interpretacija

Već smo prije opseg i površinu različitih likova zapisivali brojevnim ili algebarskim izrazima. Obratno, neki algebarski izraz geometrijski možemo često interpretirati na više načina. U sljedećim ćemo razmatranjima upotrijebiti jednostavan prikaz koristeći se površinama pravokutnika.

Primjer 2.

Na slici je prikazana geometrijska interpretacija pomoću pravokutnika broja 1, varijable x i umnoška varijabli ab.

Na sljedećoj je slici prikazana geometrijska interpretacija ili prikaz broja 1 , varijable x i umnoška varijabli a b .

Opišite riječima nacrtanu geometrijsku interpretaciju.

Broj jedan interpretirat ćemo površinom jediničnog kvadrata

(kvadrat kojemu je duljina stranice jednaka nekoj odabranoj jediničnoj duljini).

Za prikaz varijable x koristit ćemo se pravokutnikom sa stranicama ​duljine 1 i x jediničnih duljina jer je njegova površina jednaka x · 1 = x .

Umnožak a b = a · b geometrijski interpretiramo površinom pravokutnika sa stranicama duljina a i b .


Zadatak 1.

Koristeći se površinom pravokutnika , kao u drugom primjeru, prikažite na papiru  algebarski izraz x + 1 .  

Na slici je prikaz pomoću pravokutnika algebarskog izraza x+1.

Zadatak 2.

Koristeći se površinom pravokutnika, kao u drugom primjeru, prikažite na papiru zbroj dvaju monoma, odnosno algebarski izraz x 2 + 2 x . Možete li površinu istog pravokutnika zapisati koristeći se nekim drugim algebarskim izrazom?

Na slici je grafička interpretacija jednakosti x^2+2x = x(x+2)

Algebarski izraz x 2 + 2 x možemo prikazati koristeći se površinom pravokutnika koji se sastoji od kvadrata stranice x i dvaju pravokutnika stranica x i 1 . Oni zajedno tvore jedan pravokutnik duljina stranica x i x + 2 i njegova je površina zato jednaka x ( x + 2 ) .

Zaključujemo x 2 + 2 x = x ( x + 2 ) .


Zadatak 3.

Koristeći se površinom pravokutnika, kao u drugom primjeru, interpretirajte algebarski izraz a b + 1 . Možete li površinu istog pravokutnika zapisati koristeći se nekim drugim algebarskim izrazom?

Na slici je grafička interpretacija jednakosti ab+a=a(b+1)

Nacrtani pravokutnik, sa stranicama a i b + 1 , sastoji se od dvaju pravokutnika: jedan je površine ​ a b , a drugi površine a .

Zaključujemo a b + 1 = a b + a .


Prethodni primjeri upućuju na geometrijsku interpretaciju svojstva distributivnosti.

Na slici je grafička interpretacija distributivnost množenja prema zbrajanju

Svojstvo distributivnosti množenja prema zbrajanju

Geometrijski nam je prikaz pomogao predočiti algebarski izraz i objasnio svojstvo distributivnosti koje će nam biti potrebno u računanju s algebarskim izrazima.

Zbrajanje i oduzimanje algebarskih izraza

Primjer 3.

Prisjetimo se.

Istoimeni članovi (monomi) imaju isti varijabilni dio i mogu se razlikovati samo u koeficijentu, na primjer:

Istoimeni su članovi 12 a x 2 i - 3 a x 2 kao i 5 x y i 2.5 x y.

Nisu istoimeni članovi 4 a x 2 i - 6 a 2 x kao ni 10 x y i 10 x .

Mogu se zbrajati samo istoimeni članovi višečlanoga algebarskog izraza ili polinoma.

Zato polinome obično zapisujemo u najjednostavnijem obliku u kojem nema više istoimenih članova.

Zadatak 4.

 Pojednostavnite algebarske izraze.

  1. - 2 a x + 3 b x - 8 a x - b x + 3 a - 5 b x =
  2. 5 y 5 + 2 y 2 - 8 y - y 5 + 3 y 2 - y =
  3. 5 a 2 - 6 a + 5 - 3 a + 8 =
  4. 3 a + 2 - 4 a + 2 - 2 ( a + 2 ) + 5 ( a + 2 ) =  
  1. - 2 a x + 3 b x - 8 a x - b x + 3 a - 5 b x = - 10 a x - 3 b x + 3 a
  2. 5 y 5 + 2 y 2 - 8 y - y 5 + 3 y 2 - y = 4 y 5 + 5 y 2 - 9 y
  3. 5 a 2 - 6 a + 5 - 3 a + 8 = 5 a 2 - 9 a + 13
  4. 3 a + 2 - 4 a + 2 - 2 ( a + 2 ) + 5 ( a + 2 ) = 2 a + 2

Napomena

Ako u zadatku s brojevnim izrazima piše „izračunajte ”, jasno je da moramo primijeniti osnovna svojstva računanja s brojevima i provesti osnovne računske radnje, a rezultat će biti broj. Što ako se radi o algebarskim izrazima?

Rezultat računanja s algebarskim izrazima uglavnom je algebarski izraz. Ali znamo da svaki algebarski izraz postaje brojevni kad varijable zamijenimo brojevima.

Zato ćemo dogovorno i u zadatcima s algebarskim izrazima pod „izračunajte podrazumijevati da treba provesti osnovne računske radnje i primjenjujući svojstva računanja pojednostavniti izraz koliko je god moguće.

Zadatak 5.

Izračunajte i popunite prazna mjesta.

  1. 3 5 x - 3 4 y + 12 5 x + y - x - 9 4 y =   x +   y
    null
    null
  2. 7 x 3 y 2 + 1 - 5 x 3 y 2 + 6 = x 3 y 2  +
    null
    null
  3. a b - a 2 + 3 a b + 5 a 2 + 10 a b - 2 =   a 2 +   ​ a b -   ​
    null
    null

Primjer 4.

Zbrojimo algebarske izraze 4 x 3 - 2 x 2 + 7 i - 6 x 3 + 5 x 2 - 2 x .

4 x 3 - 2 x 2 + 7 + - 6 x 3 + 5 x 2 - 2 x =

4 x 3 - 6 x 3 + - 2 x 2 + 5 x 2 + ( - 2 x ) + 7 = - 2 x 3 + 3 x 2 - 2 x + 7 .

Koja smo svojstva primjenjivali pri zbrajanju?

Svojstva komutativnosti i asocijativnosti omogućila su nam da pregrupiramo članove zbroja u skupine istoimenih ili odgovarajućih članova.


Primjer 5.

Ako zbrajamo algebarske izraze koji imaju istoimene članove, možemo ih i potpisati jedan ispod drugog, kao u pisanom zbrajanju brojeva. Pogledajmo kako to izgleda na prethodnom primjeru.

4 x 3 - 2 x 2 + 7 + - 6 x 3 + 5 x 2 - 2 x = 4 x 3 - 2 x 2 + 0 x + 7 + - 6 x 3 + 5 x 2 - 2 x + 0 _ - 2 x 3 + 3 x 2 - 2 x + 7

Pritom treba paziti da istoimene članove potpišemo jedan ispod drugog, a preporučuje se pisati koeficijent nula ondje gdje nedostaje odgovarajući član.

Zadatak 6.

Odaberite zbroj ili razliku klikom na odgovarajuće polje. Upišite koeficijente i eksponente polinoma P i Q   na odgovarajuća mjesta. Zbrojite ili oduzmite polinome pa upišite koeficijente i eksponente rješenja na odgovarajuća mjesta.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 7.

Odaberite među ponuđenim odgovorima računsku radnju koja je provedena između dvaju polinoma.

  1. Trinom 7 x 2 + 3 x - 4 je rezultat trinoma 3 x 2 + 2 x - 1 i 4 x 2 + x - 3 , a trinom - x 2 + x + 2   je rezultat  trinoma 3 x 2 + 2 x - 1 i 4 x 2 + x - 3 .

    null

    Postupak:

    3 x 2 + 2 x - 1 + 4 x 2 + x - 3 = 3 x 2 + 4 x 2 + 2 x + x + - 1 - 3 = 7 x 2 + 3 x - 4   ​

    3 x 2 + 2 x - 1 - 4 x 2 + x - 3 = 3 x 2 - 4 x 2 + 2 x - x + - 1 - - 3 = - x 2 + x + 2

  2. Polinom ​ 7 a b - 3 a 2 b + 6 a - 14 je rezultat polinoma 2 a b - 3 a 2 b + 3 b - 7 i - 5 a b + 3 b - 6 a + 7 , a polinom - 3 a b - 3 a 2 b + 6 b - 6 a  polinoma 2 a b - 3 a 2 b + 3 b - 7 i - 5 a b + 3 b - 6 a + 7 .

    null

Zadatak 8.

Odaberite jedan točan odgovor.

  1. Zbroj ili razlika dvaju trinoma je trinom.

     

    null
  2. Zbroj ili razlika dvaju monoma je monom, binom ili konstanta.

    null
  3. Zbroj ili razlika polinoma je polinom ili konstanta.

    null
    null
  4. Zbroj ili razlika dvaju binoma može imati pet članova.

    null
    null

Množenje algebarskih izraza

Primjer 6.

Izračunajmo.

3 x y · 4 5 x y 2

2 ( x 2 - 3 )

Kod množenja potencija naučili smo množiti monome.

3 x y · 4 5 x y 2 = 12 5 x 2 y 3

Kako množimo konstantu i binom 2 ( x 2 - 3 ) ?

Primijenit ćemo svojstvo distributivnosti. Pogledajmo u sljedećoj animaciji.

Zadatak 9.

Primijenite svojstvo distributivnosti i izračunajte.

  1. 2 a a + 3
  2. - 2 x y x - 2 y  
  3. - 3 x 3 - x 2 + 2 x - 4
  4. 2 y 3 y - 2 - 4 y 2 - y
  1. 2 a a + 3 = 2 a 2 + 6 a
  2. - 2 x y x - 2 y = - 2 x 2 y + 4 x y 2
  3. - 3 x 3 - x 2 + 2 x - 4 = 3 x 5 - 6 x 4 + 12 x 3
  4. 2 y 3 y - 2 - 4 y 2 - y = 6 y 2 - 4 y - 4 y 2 + 4 y = 2 y 2

Zadatak 10.

Upišite član koji nedostaje.

5 x x - 3 =

 
-
 
.
- 3 2 x - 5 y + 1 =
 
+  
 
-
 
.
3 x ( 2 x - 3 ) - x ( 3 x + 2 ) =
 
-
 
 .

11 x
- 6 x
15 y
5 x 2
15 x
3 x 2
3

Pomoć:

Ako je povratna informacija da rješenje nije točno, provjerite redoslijed pribrojnika. U rješenju je predviđeno njihovo zapisivanje u redoslijedu množenja člana ispred zagrade s članovima unutar onim redom kako su zapisani.

 

Primjer 7.

Otkrijimo pravilo za množenje dvaju binoma a + b · c + d .

Koristit ćemo se geometrijskim prikazom .

Prazan pravokutnik kojemu su stranice duljina​ a + b i c + d prekrijte povlačenjem danim pločicama (pravokutnicima) bez preklapanja. Upišite na svaku pločicu njezinu površinu.

Povećaj ili smanji interakciju

Zaključak.

Umnožak dvaju binoma računa se tako da svaki član jednoga binoma pomnožimo sa svakim članom drugoga binoma te dobivene članove zbrojimo.

Zadatak 11.

Kako pomnožiti x + 3 x - 2 ​?

Zadatak 12.

Izračunajte primjenjujući prikazani postupak.

  1. x - 1 x + 5
  2. 2 x - 1 - x + 3
  3. a - 2 b 2 a - b
  4. a 2 - 3 a a + 2
  5. - 2 3 + x x - 1
  1. x - 1 x + 5 = x 2 + 4 x - 5
  2. 2 x - 1 - x + 3 = - 2 x 2 + 7 x - 3
  3. a - 2 b 2 a - b = 2 a 2 - 5 a b + 2 b 2
  4. a 2 - 3 a a + 2 = a 3 - a 2 - 6 a
  5. - 2 3 + x x - 1 = - 2 x 2 + 2 x - 3 = - 2 x 2 - 4 x + 6

Primjer 8.

Može li se isti postupak primijeniti i kad faktori imaju više od dvaju članova? Koliko je, primjerice, a + 2 a + b + 1 ?

Na slici je grafička interpretacija umnoka binoma i trinoma.

Promotrimo sliku.

Iz geometrijskog ćemo prikaza lako zaključiti da je

a + 2 a + b + 1 = a 2 + a b + 3 a + 2 b + 2 ,  

odnosno da se do rješenja dolazi, kao i u prethodnim primjerima, množenjem svakog člana iz jedne zagrade sa svakim članom iz druge zagrade.


Zadatak 13.

Poredajte elemente povlačenjem tako da dobijete redoslijed računanja sljedećeg umnoška.

- 3 - x + 3 y 2 x - y - 1 =

  • - 3 - 2 x 2 - 3 y 2 + 7 x y + x - 3 y =
  • 6 x 2 + 9 y 2 - 21 x y - 3 x + 9 y
  • - 3 - 2 x 2 + x y + x + 6 x y - 3 y 2 - 3 y =
null
null

Polinomi s jednom varijablom

Već smo rekli da višečlani algebarski izraz nazivamo polinom. Ako svi njegovi članovi sadržavaju samo jednu varijablu, onda je to polinom jedne varijable. Ta posebna vrsta algebarskog izraza ima važnu ulogu u matematici i zato ćemo reći nešto o njoj.

U daljnjem ćemo tekstu, kad govorimo o polinomu, podrazumijevati da se radi o polinomu jedne varijable.

Kako izgleda polinom jedne varijable?

Primjer 9.

Primjerice, 2 x 4 - 3 x 3 + x 2 - 4 x + 5 je polinom s varijablom x .

Članovi tog polinoma su potencije baze x s pripadnim koeficijentima 2 , - 3 , 1 , - 4 , 5 . Zapisani su u poretku od potencije s najvećim eksponentom do konstante ili člana koji sadržava varijablu x s najmanjim eksponentom, eksponentom 0 .

Potenciju s najvećim eksponentom kraće nazivamo najveća potencija.

Zadatak 14.

Razvrstajte sljedeće polinome u dvije skupine, A i B, prema nekom načelu. Provjerite jesu li vaše skupine kao one predviđene u odgovoru. Ako nisu, pokušajte ponoviti zadatak i otkriti prema kojem ih je načelu trebalo razvrstati?

 

5 x 3 - 9 x - 1   ​

A

 B

Pomoć:

 Promatrajte eksponente

null

Svi polinomi u skupini A imaju najveću potenciju​ x 5 , a u skupini B najveću potenciju x 3 . Kažemo da su svi polinomi u skupini A polinomi stupnja 5, a u skupini B polinomi stupnja 3.


Polinome s varijablom x razlikujemo prema najvećoj potenciji od x . Kažemo da je polinom n -tog stupnja n N , ako najveća potencija tog polinoma ima eksponent n .

Članove polinoma zapisujemo u poretku od najveće prema najmanjoj potenciji, s konstantom na kraju.

Koeficijente koji stoje uz potenciju nazivamo koeficijenti polinoma.

Koeficijent uz najveću potenciju nazivamo vodeći koeficijent.

Član koji ne sadržava varijablu x nazivamo slobodni član.

Polinome obično označavamo s P, Q, R..., a njihovu vrijednost, za iznos varijable x , s P ( x ) , Q ( x ) , R ( x ) . . .

Činjenicu da je ​ P polinom n -tog stupnja zapisujemo sa st P = n .

Konstantan polinom ili konstanta je polinom nultog stupnja ili onaj polinom koji nema varijablu u svojemu zapisu nego samo konstantu.

Nul-polinom je polinom​ P koji uvijek ima vrijednost nula, to jest P ( x ) = 0 za sve realne brojeve x . Stupanj nul-polinoma se ne definira.

Zadatak 15.

Zadan je polinom 10 x 4 - 2 x 3 + 3 x - 12 .

  1. Stupanj zadanog polinoma je:

    null
    null
  2. Vodeći koeficijent zadanog polinoma je:

    null
    null
  3. Slobodni član zadanog polinoma je:

    null
    null
  4. Vrijednost zadanog polinoma za x = 2 iznosi:

    null
    null
  5. Vrijednost zadanog polinoma za​ x = 0 iznosi:

    null
    null

Računske radnje s polinomima

Do sada smo naučili zbrajati, oduzimati i množiti algebarske izraze, pa tako i polinome.

Postupak dijeljenja provodit ćemo samo s polinomima jedne varijable.

Primjer 10.

Zadana su dva polinoma P ( x ) = 3 x 3 - 4 x - 1 , Q ( x ) = - 2 x 2 + 3 x .  

Polinom P je 3. stupnja, a polinom Q je 2. stupnja.

Izračunajmo njihov zbroj, razliku i umnožak.

P ( x ) + Q ( x ) = = 3 x 3 - 4 x - 1 + - 2 x 2 + 3 x = = 3 x 3 - 2 x 2 + - 4 x + 3 x - 1 = = 3 x 3 - 2 x 2 - x - 1

P ( x ) - Q ( x ) = = 3 x 3 - 4 x - 1 - - 2 x 2 + 3 x = = 3 x 3 + 2 x 2 + - 4 x - 3 x - 1 = = 3 x 3 + 2 x 2 - 7 x - 1

P ( x ) · Q ( x ) = = 3 x 3 - 4 x - 1 · - 2 x 2 + 3 x = = 3 x 3 · - 2 x 2 + 3 x 3 · 3 x + - 4 x · - 2 x 2 + - 4 x · 3 x + - 1 · - 2 x 2 + - 1 · 3 x = = - 6 x 5 + 9 x 4 + 8 x 3 - 12 x 2 + 2 x 2 - 3 x = - 6 x 5 + 9 x 4 + 8 x 3 - 10 x 2 - 3 x


Zadatak 16.

Izračunajte zbroj, razliku i umnožak zadanih polinoma. Upišite rješenja na odgovarajuća mjesta. Pri tome koristite zapis x ^ n za potenciju x n . Za svaki točan odgovor, otkrit će vam se jedno polje skrivene slike.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 17.

Koristeći rješenja zadatka 16. odredite stupnjeve zadanih polinoma, njihovog zbroja, razlike i umnoška. Rješenja upišite u tablicu na odgovarajuća mjesta.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 18.

Promotrite tablicu u zadatku 17. Usporedite stupnjeve polinoma P i Q sa stupnjevima njihova zbroja, razlike i umnoška ​koje ste zapisali u tablici. Što zaključujete?

Ako polinomi P i Q nisu nul-polinomi, označite za svaku od sljedećih tvrdnji je li točna uvijek, katkad ili nikad?

  1. st P + st Q = st( P + Q )   ​

    null
    null
  2. st ( P - Q ) = st P

    null
    null
  3. st ( P · Q ) = st P + st Q

    null
    null

Zadatak 19.

Što od ponuđenog treba pisati kako bi dana tvrdnja bila točna?

Stupanj zbroja ili razlike polinoma je uvijek  stupnju svakog od polinoma koje zbrajamo ili oduzimamo.

null
null

Dijeljenje polinoma

Na slici su prikazane puzzle.

Već smo kod potencija naučili podijeliti monom s monomom.

Primjerice, 18 x 6 : 6 x 2 = ( 18 : 6 ) · x 6 : x 2 = 3 x 3 ​.

Polinome dijelimo s monomom tako da svaki njegov član podijelimo s tim monomom (primjenjujući distributivnost), na primjer:

12 x 5 - 15 x 3 : ( 3 x 3 ) = 12 x 5 : 3 x 3 - 15 x 3 : 3 x 3 = 4 x 2 - 5 .

Provjera: 12 x 5 - 15 x 3 = 3 x 3 · ( 4 x 2 - 5 ) .

Kako se dijeli polinom s polinomom?

Primjer 11.

Prisjetimo se postupka pisanog dijeljenja brojeva.

2372 : 4 = 593 k o l i č n i k - 20 _ 37 - 36 _ 12 - 12 _ 0 n e m a o s t a t k a

Provjera: ​ 593 · 4 = 2 372

5324 : 21 = 253 k o l i č n i k - 42 _ 112 - 105 _ 74 - 63 _ 11 o s t a t a k

Provjera: 253 · 21 + 11 = 5 324

Primjer 12.

Primijenimo sličan postupak za dijeljenje:

  1. polinoma s monomom

    12 x 4 - 6 x 3 + 4 x 2 : 2 x 2 = 6 x 2 - 3 x + 2 - 12 x 4 _ 0 - 6 x 3 + 4 x 2 - - 6 x 3 _ 0 + 4 x 2 - 4 x 2 _ 0

  2. polinoma s binomom

    x 2 - 4 x + 3 : x - 3 = x - 1 - x 2 - 3 x _ - x + 3 - - x + 3 _ 0

Primjer 13.

Pogledajte postupak dijeljenja polinoma u sljedećim videozapisima.​

Primjer 14.

Zadatak 20.

Podijelite sljedeće polinome i napravite provjeru.

x 5 - 2 x 3 + x 2 + 1 : ( x 3 - 3 x - 2 )  

x 5 - 2 x 3 + x 2 + 1 : x 3 - 3 x - 2 = x 2 + 1 - x 5 - 3 x 3 - 2 x 2 _ x 3 + 3 x 2 + 1 - x 3 - 3 x - 2 _ 3 x 2 + 3 x + 3

Provjera:

x 2 + 1 · ( x 3 - 3 x - 2 ) + 3 x 2 + 3 x + 3 = x 5 - 2 x 3 - 2 x 2 - 3 x - 2 + 3 x 2 + 3 x + 3

= x 5 - 2 x 3 + x 2 + 1 .


Zadatak 21.

Podijelite zadane polinome i popunite prazna mjesta u rečenicama povlačenjem točnog odgovora.

  1. Količnik pri dijeljenju polinoma x 3 - x 2 - 6 x sa x - 3 je
     
    , a ostatak je
     
    .
    Tu činjenicu možemo zapisati u sljedećem obliku x 3 - x 2 - 6 x =
     
    .

    0
    x 2 + 2 x x - 3
    x 2 + 2 x

    null
    null
  2. Dijelimo li polinom - x 4 + 7 x 3 - 10 x 2 + 4 s x 2 - 5 x dobit ćemo ostatak

     
    , a količnik
     
    .

    Tu činjenicu možemo zapisati u sljedećem obliku - x 4 + 7 x 3 - 10 x 2 + 4 =  
     
    .

    - x 2 + 2 x
    4
    x 2 - 5 x - x 2 + 2 x + 4

    null
    null

Primjer 15.

Podsjetimo se teorema o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom:

„Za zadane prirodne brojeve m i n postoje jedinstveni brojevi q i r   iz skupa  N 0 za koje vrijedi

r < n i m = n · q + r .

Kako bi to izgledalo na primjeru brojeva 350 i 80 ?

Broj q = 4 je količnik, a broj r = 30 je ostatak pri dijeljenju broja 350 s 80 i manji je od djelitelja, broja 80 . Traženi je zapis 350 = 80 · 4 + 30 , a služi nam za zapisivanje rezultata dijeljenja te za njegovu provjeru.

Sličan je tom teoremu i teorem o dijeljenju polinoma. Pokušajte ga samostalno zapisati.

Što znači uvjet r < n u teoremu o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom?

Postupak dijeljenja provodimo dokle god je ostatak manji od djelitelja jer bismo u suprotnom, primjerice, mogli povećati količnik za 1 kao u zapisu 350 = 80 · 3 + 110 ,

Što će biti uvjet r < n za polinome?

Za zadane polinome​ M i N postoje jedinstveni polinomi Q i R tako da vrijedi

M x = N x · Q x + R x , st R < st N .

Polinom Q je količnik, a polinom R je ostatak pri dijeljenju polinoma​ M s polinomom N .

Zadatak 22.

Za polinome​ M i N primijenite teorem o dijeljenju polinoma, odnosno odredite polinome Q i R tako da vrijedi M ( x ) = N ( x ) · Q ( x ) + R ( x ) , st R < st N .

  1. M x = 4 x + 3 i N ( x ) = x - 2
  2. M x = 3 x 2 - 2 x + 6 i N ( x ) = - x + 1
  3. M x = 6 x 3 + x 2 - x + 1 i N ( x ) = 3 x 2 - x + 1
  4. M x = 6 x 4 - 2 x 3 - 11 x 2 + 1 i N ( x ) = 2 x 2 - 3
  5. M x = 5 x 3 - x 2 + 3 x - 1 i N ( x ) = 2 x - 1
  6. M x = x 5 - 4 x 4 + 7 x 3 - 5 x 2 - 2 x + 3 i N ( x ) = x 3 - 2 x 2 + 1
  1. Q x = 4 i R ( x ) = 11
  2. Q x = - 3 x - 1 i R ( x ) = 7
  3. Q x = 2 x + 1 i R ( x ) = - 2 x
  4. Q x = 3 x 2 - x - 1 i R ( x ) = - 3 x - 2
  5. Q x = 5 2 x 2 + 3 4 x + 43 8 i R x = 35 8
  6. Q x = x 2 - 2 x + 3 i R ( x ) = 0

Kutak za znatiželjne

Dokažite da vrijedi Bezoutov poučak.

Ako je P  polinom n -tog stupnja i P ( x 0 ) = 0 , tada je polinom P djeljiv s polinomom x - x 0 . Vrijedi i obratno: ako je P djeljiv s polinomom x - x 0 , onda je P ( x 0 ) = 0 .

Pretpostavimo da je P ( x 0 ) = 0 . Prema poučku o dijeljenju polinoma postoje jedinstveni polinomi Q i R tako da vrijedi

P ( x ) = x - x 0 Q ( x ) + R ( x ) za sve realne brojeve x .

Kako je djelitelj polinom prvog stupnja, ostatak može biti jedino nultog stupnja, odnosno konstanta. Označimo R ( x ) = r . Tada za x = x 0 vrijedi

P ( x 0 ) = x 0 - x 0 Q ( x ) + r 0 = 0 · Q ( x ) + r 0 = r .

To znači da je P djeljiv s polinomom x - x 0 .

Obratno:

Ako je P djeljiv s polinomom x - x 0 , tada je P ( x ) = x - x 0 Q ( x ) za sve realne brojeve x . Tada je za x = x 0

P ( x 0 ) = x 0 - x 0 Q ( x 0 ) P ( x 0 ) = 0 · Q ( x 0 ) P ( x 0 ) = 0 .


Nekoliko zadataka s polinomima...

Zadatak 23.

Polinom P zapisan je u obliku umnoška polinoma, odnosno P x = 2 x 3 - 18 x x - 2 .

  1. Kojeg je stupnja polinom P ?
  2. Pomnožite dane polinome i raspišite polinom P po potencijama od najveće do najmanje.
  3. Podijelite polinom P s polinomima x - 2 i x 2 - 3 x .
  4. Koliko iznosi zbroj svih koeficijenata polinoma P
  1. Polinom P je četvrtog stupnja.
  2. P ( x ) = 2 x 4 - 4 x 3 - 18 x 2 + 36 x
  3. P ( x ) : ( x - 2 ) = 2 x 3 - 18 x što slijedi iz zadanog zapisa polinoma P .

    P ( x ) : ( x 2 - 3 x ) = 2 x 2 + 2 x - 12

  4. Zbroj svih koeficijenata polinoma P iznosi 16 .

...i na kraju

Na slici su upitnici.

Koliko iznosi zbroj svih koeficijenata polinoma P ( x ) = 2 x 2 - x + 1 2017 x 3 - 2 x + 2 2018 ?

Istražimo!

Zadatak 24.

Za svaki od sljedećih polinoma izračunajte zbroj svih njegovih koeficijenata.

  1. P 1 ( x ) = - 4 x 3 - 3 x 2 + 12 x + 9
  2. P 2 ( x ) = 3 x 200 - x 100 - x 2 + 2 x
  3. P 3 ( x ) = 45 x 5 - 12 x 4 + 41 x 3 - 20 x 2 + 30 x - 100
  4. P 4 ( x ) = - 20 x 4 + 19 x + 1
  5. P 5 ( x ) = 10 x 2018 - 9 x 2017 + 8 x 2016 - 7 x + 6

Jeste li otkrili neko svojstvo ili pravilnost računajući zbroj koeficijenata?

Prije nego što otkrijemo rješenja ovog zadatka, riješite još jedan zadatak.


Zadatak 25.

Za svaki od polinoma P 1 , P 2 , . . . , P 5  iz prethodnog zadatka izračunajte njegovu vrijednost za x = 1 .

Rješenja zapišite (povlačenjem) u poretku u kojem su i zadani polinomi P 1 , P 2 . . . , P 5 .

 

  • - 16   ​
  • 3
  • 14
  • 0
  • 8
null
null

Možete li sad donijeti zaključak koji će vam pomoći izračunati zbroj koeficijenata polinoma

P ( x ) = 2 x 2 - x + 1 2017 x 3 - 2 x + 2 2018 ?

Zbroj svih koeficijenata nekog polinoma s varijablom x ​jednak je vrijednosti tog polinoma za x = 1 .

Tada zbroj koeficijenata polinoma P ( x ) = 2 x 2 - x + 1 2017 x 3 - 2 x + 2 2018 iznosi

P ( 1 ) = 2 1 2 - 1 + 1 2017 1 3 - 2 · 1 + 2 2018 = 2 .

Idemo na sljedeću jedinicu

3.4 Kvadrat i kub binoma