Matematika 1 - 3.3 Računske radnje s polinomima

Geometrijska interpretacija

Već smo prije opseg i površinu različitih likova zapisivali brojevnim ili algebarskim izrazima. Obratno, neki algebarski izraz geometrijski možemo često interpretirati na više načina. U sljedećim ćemo razmatranjima upotrijebiti jednostavan prikaz koristeći se površinama pravokutnika.

Primjer 2.

Na sljedećoj je slici prikazana geometrijska interpretacija ili prikaz broja $1,$ varijable $x$ i umnoška varijabli $a b .$

Opišite riječima nacrtanu geometrijsku interpretaciju.

Broj jedan interpretirat ćemo površinom jediničnog kvadrata

(kvadrat kojemu je duljina stranice jednaka nekoj odabranoj jediničnoj duljini).

Za prikaz varijable $x$ koristit ćemo se pravokutnikom sa stranicama duljine $1$ i $x$ jediničnih duljina jer je njegova površina jednaka $x \cdot 1 = x .$

Umnožak $a b = a \cdot b$ geometrijski interpretiramo površinom pravokutnika sa stranicama duljina $a i b .$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Koristeći se površinom pravokutnika , kao u drugom primjeru, prikažite na papiru algebarski izraz $x + 1 .$

Na slici je prikaz pomoću pravokutnika algebarskog izraza x+1.

Zadatak 2.

Koristeći se površinom pravokutnika, kao u drugom primjeru, prikažite na papiru zbroj dvaju monoma, odnosno algebarski izraz $x^{2} + 2 x .$ Možete li površinu istog pravokutnika zapisati koristeći se nekim drugim algebarskim izrazom?

Na slici je grafička interpretacija jednakosti x^2+2x = x(x+2)

Algebarski izraz $x^{2} + 2 x$ možemo prikazati koristeći se površinom pravokutnika koji se sastoji od kvadrata stranice $x$ i dvaju pravokutnika stranica $x$ i $1 .$ Oni zajedno tvore jedan pravokutnik duljina stranica $x$ i $x + 2$ i njegova je površina zato jednaka $x (x + 2) .$

Zaključujemo $x^{2} + 2 x = x (x + 2) .$

Zadatak 3.

Koristeći se površinom pravokutnika, kao u drugom primjeru, interpretirajte algebarski izraz $a (b + 1) .$ Možete li površinu istog pravokutnika zapisati koristeći se nekim drugim algebarskim izrazom?

Na slici je grafička interpretacija jednakosti ab+a=a(b+1)

Nacrtani pravokutnik, sa stranicama $a$ i $b + 1$ , sastoji se od dvaju pravokutnika: jedan je površine $a b,$ a drugi površine $a .$

Zaključujemo $a (b + 1) = a b + a$ .

Zatvori

Prethodni primjeri upućuju na geometrijsku interpretaciju svojstva distributivnosti.

Svojstvo distributivnosti množenja prema zbrajanju

Geometrijski nam je prikaz pomogao predočiti algebarski izraz i objasnio svojstvo distributivnosti koje će nam biti potrebno u računanju s algebarskim izrazima.

Zbrajanje i oduzimanje algebarskih izraza

Primjer 3.

Prisjetimo se.

Istoimeni članovi (monomi) imaju isti varijabilni dio i mogu se razlikovati samo u koeficijentu, na primjer:

Istoimeni su članovi $12 a x^{2} i - 3 a x^{2}$ kao i $5 x y i 2.5 x y.$

Nisu istoimeni članovi $4 a x^{2} i - 6 a^{2} x$ kao ni $10 x y i 10 x .$

Mogu se zbrajati samo istoimeni članovi višečlanoga algebarskog izraza ili polinoma.

Zato polinome obično zapisujemo u najjednostavnijem obliku u kojem nema više istoimenih članova.

Zadatak 4.

Pojednostavnite algebarske izraze.

$- 2 a x + 3 b x - 8 a x - b x + 3 a - 5 b x =$
$5 y^{5} + 2 y^{2} - 8 y - y^{5} + 3 y^{2} - y =$
$5 a^{2} - 6 a + 5 - 3 a + 8 =$
$3 (a + 2) - 4 (a + 2) - 2 (a + 2) + 5 (a + 2) =$

$- 2 a x + 3 b x - 8 a x - b x + 3 a - 5 b x = - 10 a x - 3 b x + 3 a$
$5 y^{5} + 2 y^{2} - 8 y - y^{5} + 3 y^{2} - y = 4 y^{5} + 5 y^{2} - 9 y$
$5 a^{2} - 6 a + 5 - 3 a + 8 = 5 a^{2} - 9 a + 13$
$3 (a + 2) - 4 (a + 2) - 2 (a + 2) + 5 (a + 2) = 2 (a + 2)$

Napomena

Ako u zadatku s brojevnim izrazima piše „izračunajte ”, jasno je da moramo primijeniti osnovna svojstva računanja s brojevima i provesti osnovne računske radnje, a rezultat će biti broj. Što ako se radi o algebarskim izrazima?

Rezultat računanja s algebarskim izrazima uglavnom je algebarski izraz. Ali znamo da svaki algebarski izraz postaje brojevni kad varijable zamijenimo brojevima.

Zato ćemo dogovorno i u zadatcima s algebarskim izrazima pod „izračunajte ” podrazumijevati da treba provesti osnovne računske radnje i primjenjujući svojstva računanja pojednostavniti izraz koliko je god moguće.

Zadatak 5.

Izračunajte i popunite prazna mjesta.

$\frac{3}{5} x - \frac{3}{4} y + \frac{12}{5} x + y - x - \frac{9}{4} y =$ $x +$ $y$

null

null
$7 x^{3} y^{2} + 1 - 5 x^{3} y^{2} + 6 =$ $x^{3} y^{2}$ +

null

null
$a b - a^{2} + 3 a b + 5 a^{2} + 10 a b - 2 =$ $a^{2} +$ $a b -$

null

null

Primjer 4.

Zbrojimo algebarske izraze $4 x^{3} - 2 x^{2} + 7$ i $- 6 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x .$

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 7) + (- 6 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x) =$

$(4 x^{3} - 6 x^{3}) + (- 2 x^{2} + 5 x^{2}) + (- 2 x) + 7 = - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + 7 .$

Koja smo svojstva primjenjivali pri zbrajanju?

Svojstva komutativnosti i asocijativnosti omogućila su nam da pregrupiramo članove zbroja u skupine istoimenih ili odgovarajućih članova.

Primjer 5.

Ako zbrajamo algebarske izraze koji imaju istoimene članove, možemo ih i potpisati jedan ispod drugog, kao u pisanom zbrajanju brojeva. Pogledajmo kako to izgleda na prethodnom primjeru.

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 7) + (- 6 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x) =$ $\begin{array}{l} 4 x^{3} - 2 x^{2} + 0 x + 7 \\ \underline{+ (- 6 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 0)} \\ - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + 7 \end{array}$

Pritom treba paziti da istoimene članove potpišemo jedan ispod drugog, a preporučuje se pisati koeficijent nula ondje gdje nedostaje odgovarajući član.

Množenje algebarskih izraza

Primjer 6.

Izračunajmo.

$3 x y \cdot \frac{4}{5} x y^{2}$

$2 (x^{2} - 3)$

Kod množenja potencija naučili smo množiti monome.

$3 x y \cdot \frac{4}{5} x y^{2} = \frac{12}{5} x^{2} y^{3}$

Kako množimo konstantu i binom $2 (x^{2} - 3) ?$

Primijenit ćemo svojstvo distributivnosti. Pogledajmo u sljedećoj animaciji.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Primijenite svojstvo distributivnosti i izračunajte.

$2 a (a + 3)$
$- 2 x y (x - 2 y)$
$- 3 x^{3} (- x^{2} + 2 x - 4)$
$2 y (3 y - 2) - 4 (y^{2} - y)$

$2 a (a + 3) = 2 a^{2} + 6 a$
$- 2 x y (x - 2 y) = - 2 x^{2} y + 4 x y^{2}$
$- 3 x^{3} (- x^{2} + 2 x - 4) = 3 x^{5} - 6 x^{4} + 12 x^{3}$
$2 y (3 y - 2) - 4 (y^{2} - y) = 6 y^{2} - 4 y - 4 y^{2} + 4 y = 2 y^{2}$

Zadatak 10.

Upišite član koji nedostaje.

$5 x (x - 3) =$

$-$

.

$- 3 (2 x - 5 y + 1) =$

$+$

$-$

.

$3 x (2 x - 3) - x (3 x + 2) =$

$-$

.

$11 x$

$- 6 x$

$15 y$

$5 x^{2}$

$15 x$

$3 x^{2}$

$3$

Pomoć:

Ako je povratna informacija da rješenje nije točno, provjerite redoslijed pribrojnika. U rješenju je predviđeno njihovo zapisivanje u redoslijedu množenja člana ispred zagrade s članovima unutar onim redom kako su zapisani.

Zatvori

Primjer 7.

Otkrijimo pravilo za množenje dvaju binoma $(a + b) \cdot (c + d) .$

Koristit ćemo se geometrijskim prikazom .

Prazan pravokutnik kojemu su stranice duljina $a + b i c + d$ prekrijte povlačenjem danim pločicama (pravokutnicima) bez preklapanja. Upišite na svaku pločicu njezinu površinu.

Zaključak.

Umnožak dvaju binoma računa se tako da svaki član jednoga binoma pomnožimo sa svakim članom drugoga binoma te dobivene članove zbrojimo.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 11.

Kako pomnožiti $(x + 3) (x - 2)$ ?

Zadatak 12.

Izračunajte primjenjujući prikazani postupak.

$(x - 1) (x + 5)$
$(2 x - 1) (- x + 3)$
$(a - 2 b) (2 a - b)$
$(a^{2} - 3 a) (a + 2)$
$- 2 (3 + x) (x - 1)$

$(x - 1) (x + 5) = x^{2} + 4 x - 5$
$(2 x - 1) (- x + 3) = - 2 x^{2} + 7 x - 3$
$(a - 2 b) (2 a - b) = 2 a^{2} - 5 a b + 2 b^{2}$
$(a^{2} - 3 a) (a + 2) = a^{3} - a^{2} - 6 a$
$- 2 (3 + x) (x - 1) = - 2 (x^{2} + 2 x - 3) = - 2 x^{2} - 4 x + 6$

Zatvori

Primjer 8.

Može li se isti postupak primijeniti i kad faktori imaju više od dvaju članova? Koliko je, primjerice, $(a + 2) (a + b + 1) ?$

Na slici je grafička interpretacija umnoka binoma i trinoma.

Promotrimo sliku.

Iz geometrijskog ćemo prikaza lako zaključiti da je

$(a + 2) (a + b + 1) = a^{2} + a b + 3 a + 2 b + 2,$

odnosno da se do rješenja dolazi, kao i u prethodnim primjerima, množenjem svakog člana iz jedne zagrade sa svakim članom iz druge zagrade.

Zadatak 13.

Poredajte elemente povlačenjem tako da dobijete redoslijed računanja sljedećeg umnoška.

$- 3 (- x + 3 y) (2 x - y - 1) =$

$- 3 (- 2 x^{2} - 3 y^{2} + 7 x y + x - 3 y) =$
$6 x^{2} + 9 y^{2} - 21 x y - 3 x + 9 y$
$- 3 (- 2 x^{2} + x y + x + 6 x y - 3 y^{2} - 3 y) =$

null

Računske radnje s polinomima

Do sada smo naučili zbrajati, oduzimati i množiti algebarske izraze, pa tako i polinome.

Postupak dijeljenja provodit ćemo samo s polinomima jedne varijable.

Primjer 10.

Zadana su dva polinoma $P (x) = 3 x^{3} - 4 x - 1, Q (x) = - 2 x^{2} + 3 x .$

Polinom $P$ je 3. stupnja, a polinom $Q$ je 2. stupnja.

Izračunajmo njihov zbroj, razliku i umnožak.

$\begin{array}{l} P (x) + Q (x) = \\ = (3 x^{3} - 4 x - 1) + (- 2 x^{2} + 3 x) = \\ = 3 x^{3} - 2 x^{2} + (- 4 x + 3 x) - 1 = \\ = 3 x^{3} - 2 x^{2} - x - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} P (x) - Q (x) = \\ = (3 x^{3} - 4 x - 1) - (- 2 x^{2} + 3 x) = \\ = 3 x^{3} + 2 x^{2} + (- 4 x - 3 x) - 1 = \\ = 3 x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} P (x) \cdot Q (x) = \\ = (3 x^{3} - 4 x - 1) \cdot (- 2 x^{2} + 3 x) = \\ = 3 x^{3} \cdot (- 2 x^{2}) + 3 x^{3} \cdot 3 x + (- 4 x) \cdot (- 2 x^{2}) + (- 4 x) \cdot 3 x + (- 1) \cdot (- 2 x^{2}) + (- 1) \cdot 3 x = \\ = - 6 x^{5} + 9 x^{4} + 8 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x^{2} - 3 x = - 6 x^{5} + 9 x^{4} + 8 x^{3} - 10 x^{2} - 3 x \end{array}$

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 16.

Izračunajte zbroj, razliku i umnožak zadanih polinoma. Upišite rješenja na odgovarajuća mjesta. Pri tome koristite zapis $x$ ^ $n$ za potenciju $x^{n} .$ Za svaki točan odgovor, otkrit će vam se jedno polje skrivene slike.

Zadatak 17.

Koristeći rješenja zadatka 16. odredite stupnjeve zadanih polinoma, njihovog zbroja, razlike i umnoška. Rješenja upišite u tablicu na odgovarajuća mjesta.

Zadatak 18.

Promotrite tablicu u zadatku 17. Usporedite stupnjeve polinoma $P i Q$ sa stupnjevima njihova zbroja, razlike i umnoška koje ste zapisali u tablici. Što zaključujete?

Ako polinomi $P i Q$ nisu nul-polinomi, označite za svaku od sljedećih tvrdnji je li točna uvijek, katkad ili nikad?

$st P + st Q = st(P + Q)$

uvijek

katkad

nikad

null

null
$st (P - Q) = st P$

uvijek

katkad

nikad

null

null
$st (P \cdot Q) = st P + st Q$

uvijek

katkad

nikad

null

null

Zadatak 19.

Što od ponuđenog treba pisati kako bi dana tvrdnja bila točna?

Stupanj zbroja ili razlike polinoma je uvijek stupnju svakog od polinoma koje zbrajamo ili oduzimamo.

null

Zatvori

Dijeljenje polinoma

Već smo kod potencija naučili podijeliti monom s monomom.

Primjerice, $18 x^{6} : 6 x^{2} = (18 : 6) \cdot (x^{6} : x^{2}) = 3 x^{3}$ .

Polinome dijelimo s monomom tako da svaki njegov član podijelimo s tim monomom (primjenjujući distributivnost), na primjer:

$(12 x^{5} - 15 x^{3}) : (3 x^{3}) = 12 x^{5} : 3 x^{3} - 15 x^{3} : 3 x^{3} = 4 x^{2} - 5 .$

Provjera: $12 x^{5} - 15 x^{3} = 3 x^{3} \cdot (4 x^{2} - 5) .$

Kako se dijeli polinom s polinomom?

Primjer 11.

Prisjetimo se postupka pisanog dijeljenja brojeva.

$\begin{array}{l} 2372 : 4 = \overset{k o l i č n i k}{\overset{⏞}{593}} \\ \underline{- 20} \\ 37 \\ \underline{- 36} \\ 12 \\ \underline{- 12} \\ \underset{n e m a o s t a t k a}{\underset{⏟}{0}} \end{array}$

Provjera: $593 \cdot 4 = 2 372$

$\begin{array}{l} 5324 : 21 = \overset{k o l i č n i k}{\overset{⏞}{253}} \\ \underline{- 42} \\ 112 \\ \underline{- 105} \\ 74 \\ \underline{- 63} \\ \underset{o s t a t a k}{\underset{⏟}{11}} \end{array}$

Provjera: $253 \cdot 21 + 11 = 5 324$

Primjer 12.

Primijenimo sličan postupak za dijeljenje:

polinoma s monomom

$\begin{array}{l} (12 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2}) : (2 x^{2}) = 6 x^{2} - 3 x + 2 \\ \underline{- (12 x^{4})} \\ 0 - 6 x^{3} + 4 x^{2} \\ \underline{- (- 6 x^{3})} \\ 0 + 4 x^{2} \\ \underline{- (4 x^{2})} \\ 0 \end{array}$

polinoma s binomom

$\begin{array}{l} (x^{2} - 4 x + 3) : (x - 3) = x - 1 \\ \underline{- (x^{2} - 3 x)} \\ - x + 3 \\ \underline{- (- x + 3)} \\ 0 \end{array}$

Primjer 13.

Pogledajte postupak dijeljenja polinoma u sljedećim videozapisima.

Primjer 14.

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 20.

Podijelite sljedeće polinome i napravite provjeru.

$(x^{5} - 2 x^{3} + x^{2} + 1) : (x^{3} - 3 x - 2)$

$\begin{array}{l} (x^{5} - 2 x^{3} + x^{2} + 1) : (x^{3} - 3 x - 2) = x^{2} + 1 \\ \underline{- (x^{5} - 3 x^{3} - 2 x^{2})} \\ x^{3} + 3 x^{2} + 1 \\ \underline{- (x^{3} - 3 x - 2)} \\ 3 x^{2} + 3 x + 3 \end{array}$

Provjera:

$(x^{2} + 1) \cdot (x^{3} - 3 x - 2) + (3 x^{2} + 3 x + 3) = (x^{5} - 2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 2) + (3 x^{2} + 3 x + 3)$

$= x^{5} - 2 x^{3} + x^{2} + 1 .$

Zadatak 21.

Podijelite zadane polinome i popunite prazna mjesta u rečenicama povlačenjem točnog odgovora.

Količnik pri dijeljenju polinoma $x^{3} - x^{2} - 6 x sa x - 3$ je

, a ostatak je

.
Tu činjenicu možemo zapisati u sljedećem obliku $x^{3} - x^{2} - 6 x =$

.

$0$

$(x^{2} + 2 x) (x - 3)$

$x^{2} + 2 x$

null

null
Dijelimo li polinom $- x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} + 4$ s $x^{2} - 5 x$ dobit ćemo ostatak

, a količnik

.

Tu činjenicu možemo zapisati u sljedećem obliku $- x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} + 4 =$

.

$- x^{2} + 2 x$

$4$

$(x^{2} - 5 x) (- x^{2} + 2 x) + 4$

null

null

Zatvori

Primjer 15.

Podsjetimo se teorema o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom:

„Za zadane prirodne brojeve $m$ i $n$ postoje jedinstveni brojevi $q$ i $r$ iz skupa $N_{0}$ za koje vrijedi

$r < n$ i $m = n \cdot q + r .$ ”

Kako bi to izgledalo na primjeru brojeva $350$ i $80 ?$

Broj $q = 4$ je količnik, a broj $r = 30$ je ostatak pri dijeljenju broja $350$ s $80$ i manji je od djelitelja, broja $80 .$ Traženi je zapis $350 = 80 \cdot 4 + 30,$ a služi nam za zapisivanje rezultata dijeljenja te za njegovu provjeru.

Sličan je tom teoremu i teorem o dijeljenju polinoma. Pokušajte ga samostalno zapisati.

Što znači uvjet $r < n$ u teoremu o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom?

Postupak dijeljenja provodimo dokle god je ostatak manji od djelitelja jer bismo u suprotnom, primjerice, mogli povećati količnik za $1$ kao u zapisu $350 = 80 \cdot 3 + 110,$

Što će biti uvjet $r < n$ za polinome?

Za zadane polinome $M$ i $N$ postoje jedinstveni polinomi $Q$ i $R$ tako da vrijedi

$M (x) = N (x) \cdot Q (x) + R (x), st R < st N .$

Polinom $Q$ je količnik, a polinom $R$ je ostatak pri dijeljenju polinoma $M$ s polinomom $N .$

Zadatak 22.

Za polinome $M$ i $N$ primijenite teorem o dijeljenju polinoma, odnosno odredite polinome $Q$ i $R$ tako da vrijedi $M (x) = N (x) \cdot Q (x) + R (x),$ $st R < st N .$

$M (x) = 4 x + 3$ i $N (x) = x - 2$
$M (x) = 3 x^{2} - 2 x + 6$ i $N (x) = - x + 1$
$M (x) = 6 x^{3} + x^{2} - x + 1$ i $N (x) = 3 x^{2} - x + 1$
$M (x) = 6 x^{4} - 2 x^{3} - 11 x^{2} + 1$ i $N (x) = 2 x^{2} - 3$
$M (x) = 5 x^{3} - x^{2} + 3 x - 1$ i $N (x) = 2 x - 1$
$M (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 7 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 3$ i $N (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 1$

$Q (x) = 4$ i $R (x) = 11$
$Q (x) = - 3 x - 1$ i $R (x) = 7$
$Q (x) = 2 x + 1$ i $R (x) = - 2 x$
$Q (x) = 3 x^{2} - x - 1$ i $R (x) = - 3 x - 2$
$Q (x) = \frac{5}{2} x^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{43}{8}$ i $R (x) = \frac{35}{8}$
$Q (x) = x^{2} - 2 x + 3$ i $R (x) = 0$

Kutak za znatiželjne

Dokažite da vrijedi Bezoutov poučak.

Ako je $P$ polinom $n$ -tog stupnja i $P (x_{0}) = 0,$ tada je polinom $P$ djeljiv s polinomom $x - x_{0} .$ Vrijedi i obratno: ako je $P$ djeljiv s polinomom $x - x_{0},$ onda je $P (x_{0}) = 0 .$

Pretpostavimo da je $P (x_{0}) = 0 .$ Prema poučku o dijeljenju polinoma postoje jedinstveni polinomi $Q i R$ tako da vrijedi

$P (x) = (x - x_{0}) Q (x) + R (x)$ za sve realne brojeve $x .$

Kako je djelitelj polinom prvog stupnja, ostatak može biti jedino nultog stupnja, odnosno konstanta. Označimo $R (x) = r .$ Tada za $x = x_{0}$ vrijedi

$\begin{array}{l} P (x_{0}) = (x_{0} - x_{0}) Q (x) + r \Rightarrow \\ 0 = 0 \cdot Q (x) + r \\ 0 = r . \end{array}$

To znači da je $P$ djeljiv s polinomom $x - x_{0} .$

Obratno:

Ako je $P$ djeljiv s polinomom $x - x_{0},$ tada je $P (x) = (x - x_{0}) Q (x)$ za sve realne brojeve $x .$ Tada je za $x = x_{0}$

$\begin{array}{l} P (x_{0}) = (x_{0} - x_{0}) Q (x_{0}) \Rightarrow \\ P (x_{0}) = 0 \cdot Q (x_{0}) \\ P (x_{0}) = 0 . \end{array}$

Nekoliko zadataka s polinomima...

Zadatak 23.

Polinom $P$ zapisan je u obliku umnoška polinoma, odnosno $P (x) = (2 x^{3} - 18 x) (x - 2) .$

Kojeg je stupnja polinom $P ?$
Pomnožite dane polinome i raspišite polinom $P$ po potencijama od najveće do najmanje.
Podijelite polinom $P$ s polinomima $x - 2 i x^{2} - 3 x .$
Koliko iznosi zbroj svih koeficijenata polinoma $P$ ?

Polinom $P$ je četvrtog stupnja.
$P (x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 36 x$
$P (x) : (x - 2) = 2 x^{3} - 18 x$ što slijedi iz zadanog zapisa polinoma $P .$

$P (x) : (x^{2} - 3 x) = 2 x^{2} + 2 x - 12$
Zbroj svih koeficijenata polinoma $P$ iznosi $16 .$

Na početku...

Geometrijska interpretacija

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zbrajanje i oduzimanje algebarskih izraza

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Množenje algebarskih izraza

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Polinomi s jednom varijablom

Zadatak 14.

A

B

Zadatak 15.

Računske radnje s polinomima

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 16.

Zadatak 17.

Zadatak 18.

Zadatak 19.

Dijeljenje polinoma

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 20.

Zadatak 21.

Zadatak 22.

Kutak za znatiželjne

Nekoliko zadataka s polinomima...

Zadatak 23.

...i na kraju

Kolekcija zadataka 7

Zadatak 24.

Zadatak 25.

3.4 Kvadrat i kub binoma