x
Učitavanje
  1. Matematika 7
  2. 8. Kružnica i krug
  3. 8.3 Središnji i obodni kut

8.3 Središnji i obodni kut

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Što ću naučiti?
Samostalno učenje
Procijenite svoje znanje
Sadržaj jedinice
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na slici je panoramski kotač u Londonu, Londonsko oko

Zanimljivost

London eye ili Londonsko oko je panoramski vrtuljak podignut 2000. godine u središtu  Londona. Kad je podignut, bio je najviša građevina na svijetu. Visok je 135 metara i promjer mu je 120 metara. Ima 32 kabine i u svaku stane 25 osoba. Kotaču je potrebno 30 minuta za puni okret.

Prvi panoramski vrtuljak izgrađen je u Chicagu 1893. kao vidikovac na Svjetskoj izložbi. Osmislio ga je inženjer George Washington Gale Ferris i po njemu se panoramski vidikovci zovu i Ferris wheel (Ferrisovi kotači). U Beču postoji takav Ferrisov kotač od 1897. godine. Danas mnogo gradova diljem svijeta ima Ferrisov kotač u svojoj turističkoj ponudi.

Pogledajte panoramski kotač na slici i uočite kut koji zatvaraju nosači panoramskog kotača.

Gdje se nalazi vrh toga kuta, s obzirom na kružnicu koju čini kotač?

Središnji kut kružnice

Središnji kut kružnice je kut kojem se vrh nalazi u središtu kružnice.

Na slici je središnji kut nad kružnim lukom AB

Primijetimo da točke A i B na slici određuju dva kružna luka, manji i veći. Uobičajeno se oznaka A B ⌢ odnosi na manji kružni luk. Pravilno se kružni luk označava obrnuto od kazaljke na satu.

Za označeni središnji kut kažemo da je središnji kut nad kružnim lukom A B ⌢ ili središnji kut nad tetivom A B ¯ .

Katkad kažemo da se luk A B ⌢ ili tetiva A B ¯ vide pod kutom ASB iz točke S .

Uočite na slici i veći središnji kut nad većim lukom B A ⌢ .

Primjer 1.

Nacrtajmo kružnicu k ( S , 3 cm ) i jedan njezin središnji kut veličine 60 ° .

Na slici je središnji kut nad lukom AB veličine 60°

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Na slici je središnji kut nad manjim kružnim lukom AB

Kojoj vrsti kuta pripada središnji kut nad manjim lukom kružnice sa slike?

Pomoć:

Šiljasti kut je kut manji od 90 ° , tupi kut je kut veći od 90 ° i manji od 180 ° , izbočeni kut je kut veći od 180 ° i manji od 360 ° .

null

Zadatak 2.

Nacrtajte u bilježnici kružnicu u ravnini i središnji kut koji ima veličinu 135 ° .

Na slici je središnji kut veličine 135°
Zatvori

Obodni kut kružnice

Na slici je plava traka na obodu šešira

Obod ili rub šešira je plave boje.

Na slici je ljubičastom bojom označen obod kruga, kružnicaKrug i kružnica

Obod kruga je njegov rub. Obod kruga je kružnica.

Na slici je obodni kut nad kružnim lukom AB

Obodni kut kružnice je kut kojem je vrh jedna točka kružnice, a krakovi sijeku tu kružnicu u dvije točke.

Za obodni kut sa slike kažemo da je obodni kut nad lukom A B ⌢ ili obodni kut nad tetivom A B ¯ . Možemo reći i da obodni kut pripada kružnom luku A B ⌢ ili tetivi A B ¯ .

Primjer 2.

Nacrtajmo kružnicu k ( S , 35 mm ) i jedan njezin obodni kut veličine 50 ° . Pripadni kružni luk označimo s A B ⌢ .

Na slici je obodni kut veličine 50°

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Na slici je središnji kut
A
Na slici je kut s vrhom V
B
Na slici je obodni kut s vrhom V
C
Na slici je obodni kut s vrhom V
D
Na slici je kut s vrhom V
E

​

Na kojim slikama su nacrtani obodni kutovi?

null
null

Zadatak 4.

Nacrtajte u bilježnicu kružnicu i jedan njezin obodni kut veličine 70 ° . Pripadni kružni luk označite s A B ⌢ .

Na slici je obodni kut veličine 70°
Zatvori

Obodni kutovi nad istim lukom

Zadatak 5.

Nacrtajte u bilježnicu kružnicu i označite manji kružni luk A B ⌢ .

  1. Nacrtajte jedan obodni kut nad tim lukom.
  2. Gdje se nalazi vrh toga obodnog kuta koji ste nacrtali?
  3. Koliko točaka ima na kružnici, izvan označenog kružnog luka A B ⌢ ?
  4. Može li svaka točka kružnice izvan označenog kružnog luka biti vrh obodnog kuta čiji krakovi prolaze krajnjim točkama toga označenog luka?
  5. Koliko ima obodnih kutova nad zadanim kružnim lukom A B ⌢ ?
Na slici je obodni kut nad lukom AB
a)

b. Vrh obodnog kuta nalazi se na dijelu kružnice, izvan označenog manjeg kružnog luka A B ⌢ .

c. Točaka na kružnici izvan označenog kružnog luka ima beskonačno mnogo.

d. Svaka točka na kružnici izvan označenog kružnog luka može biti vrh obodnog kuta nad označenim kružnim lukom A B ⌢ .

e. Obodnih kutova nad označenim kružnim lukom ima beskonačno mnogo.

Na slici je nekoliko obodnih kutova nad istim kružnim lukom AB

Nad svakim kružnim lukom postoji beskonačno mnogo obodnih kutova.

Zadatak 6.

  1. Nacrtajte u bilježnicu kružnicu k ( S , 4 cm ).
  2. Nacrtajte tetivu A B ¯ duljine 5 cm .
  3. Označite manji kružni luk A B ⌢ .
  4. Nacrtajte četiri obodna kuta nad označenim kružnim lukom A B ⌢ .
Na slici su obodni kutovi nad manjim kružnim lukom AB

Projekt

Što primjećujete?

Na slici su obodni kutovi nad istim kružnim lukom

Svi obodni kutovi nad istim kružnim lukom međusobno su jednakih veličina.

Uvjerite se da su svi obodni kutovi nad istim kružnim lukom jednaki za svaku kružnicu i za svaki kružni luk u sljedećoj GeoGebrinoj simulaciji. Pomicanjem točkaka A i B po kružnici ili središta S kružnice mijenjate veličine obodnih kutova.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 7.

Na slici je antičko kazalište u Efezu

Pogledajte gledalište ovog antičkog kazališta. S kojeg mjesta je najbolji pogled? Što mislite, je li kut gledanja sa svakog mjesta u istom redu jednake veličine?

Najbolji pogled je nasuprot pozornici, u prednjim redovima. Međutim, kut gledanja sa svakog mjesta u istom redu jednake je veličine jer svaki red možemo smatrati obodom jedne kružnice, a svi obodni kutovi nad istom tetivom su jednake veličine.

Zanimljivost

Na slici je antičko kazalište u Efezu. Efez je antički grad u današnjoj Turskoj. U antici su se kazališta gradila polukružno, na otvorenom. Na odabranoj padini brijega usjekli bi kamene stepenice koje bi služile kao sjedišta za gledatelje. U središtu je bila kružna ili polukružna pozornica.

Poučak o središnjem i obodnom kutu

Na slici su obodni kutovi i pripadajući središnji kut

Zadatak 8.

Obodnih kutova nad istim lukom ima beskonačno mnogo. Koliko ima središnjih kutova nad tim istim lukom?

Pomoć:

Kružnica ima samo jedno središte, a središnjem kutu je vrh u središtu kružnice.


null

Svakom kružnom luku pripada točno jedan središnji kut.

Ako su obodni kutovi nacrtani nad istim lukom kao i središnji kut, kažemo da su obodni kutovi pripadni središnjem kutu nad istim lukom.

Primjer 3.

  • Nacrtajmo kružnicu k ( S , 42 mm ) i središnji kut veličine 100 ° .
  • Nacrtajmo nekoliko pripadnih obodnih kutova nad istim lukom.
  • Izmjerimo veličine tih obodnih kutova.
Na slici su obodni kutovi i pripadajući središnji kut veličine 100°

Dovoljno je izmjeriti samo jedan obodni kut, jer su svi obodni kutovi nad istim lukom jednakih veličina. Izmjereni kut je veličine 50 ° .


Zadatak 9.

  1. Nacrtajte u bilježnicu kružnicu k ( S , 38 mm ) i središnji kut veličine 70 ° .
  2. Nacrtajte nekoliko pripadnih obodnih kutova nad istim lukom.
  3. Izmjerite veličine tih obodnih kutova.

Veličine tih obodnih kutova su .

Pomoć:

Pažljivo izmjerite jedan obodni kut kao u prethodnom primjeru.


Postupak:

Obodni kutevi nad središnjim kutem

 ​

Projekt

Što primjećujete?

Primijetili ste da je za bilo koju kružnicu i kružni luk veličina središnjeg kuta dvostruko veća od veličine pripadnog obodnog kuta.

Uvjerite se da je veličina središnjeg kuta uvijek dvostruko veća od veličine pripadnog obodnog kuta nad istim kružnim lukom u sljedećoj GeoGebrinoj simulaciji. Pomicanjem točkaka A i B po kružnici ili središta S mijenjate veličine središnjeg kuta i obodnih kutova. U simulaciji su veličine kutova zaokružene na dvije decimale, pa će zbog zaokruživanja u nekim slučajevima zadnja decimala veličine središnjeg kuta biti uvećana ili umanjena za jednu stotinku.

Povećaj ili smanji interakciju

Poučak o središnjem i obodnom kutu:Veličina središnjeg kuta dvostruko je veća od veličine obodnog kuta nad istim lukom.

Na slici su označeni središnji i pripadni obodni kut

Ako središnji kut označimo s α , a pripadni obodni kut nad istim lukom s β , za njih vrijedi α = 2 β .

Zanimljivost

Na slici je označena simetrala središnjeg i obodnog kuta
Slika 1
Na slici je označena simetrala središnjeg i obodnog kuta
Slika 2

Poučak se može dokazati.

Promjer koji prolazi točkama V i S na slici 1 dijeli središnji kut na dva kuta α 1 i α 2 , a obodni kut na β 1 i β 2 .

Trokuti A S V i V S B su jednakokračni pa su im kutovi uz osnovicu jednakih veličina (slika 2).

Kut α 1 je vanjski kut trokuta A S V , pa vrijedi α 1 = β 1 + β 1 = 2 β 1 (slika 2).

Kut α 2 je vanjski kut trokuta V S B , pa vrijedi α 2 = β 2 + β 2 = 2 β 2 (slika 2).

Kako je središnji kut α = α 1 + α 2 , a obodni kut β = β 1 + β 2 ,

pišemo: α = α 1 + α 2 = 2 β 1 + 2 β 2 = 2 β 1 + β 2 = 2 β .

Primjer 4.

Ako je veličina središnjeg kuta kružnice 120 ° , kolika je veličina pripadnog obodnog kuta?

Veličina središnjeg kuta je dvostruko veća od veličine pripadnog obodnog kuta. Veličina pripadnog obodnog kuta je 120 : 2 = 60 ° .

Zadatak 10.

Veličina obodnog kuta kružnice je 37 ° . Veličina središnjeg kuta nad istim lukom je °.
null
null

Ponovimo mjerne jedinice za kut:

  1. Kutni stupanj ima 60 kutnih minuta, 1 ° = 60 ' .
  2. Kutna minuta ima 60 kutnih sekundi, 1 ' = 60 ' ' .

Zadatak 11.

Spojite parove.

22.5 '
  0.5 °
4.5 °
  4 ° 30 '
75 '
22 ' 30 ' '
30 '
  1 ° 15 '

Pomoć:

1 ° = 60 '

1 ' = 60 ' '

Postupak:

30 ' : 60 = 0.5 °

4.5 ° = 4 ° + 0.5 ° , 0.5 ° · 60 = 30 '

75 ' = 60 ' + 15 ' = 1 ° 15 '

22.5 ' = 22 ' + 0.5 ' , 0.5 ' · 60 = 30 ' '

Primjer 5.

Ponovimo:

  1. 125 ° 45 ' : 2 =
  2. 47 ° 38 ' · 2 =

  1. 125 ° 45 ' : 2 (najprije podijelimo posebno kutne stupnjeve i posebno kutne minute s 2 )

    = 62.5 ° 22.5 ' (preračunamo 0.5 ° u 30 ' i 0.5 ' u 30 ' ' )

    = 62 ° 30 ' i 22 ' 30 ' ' (zbrojimo 30 ' i 22 ' )

    = 62 ° 52 ' 30 ' ' ​

  2. 47 ° 38 ' · 2 (najprije pomnožimo posebno kutne stupnjeve i posebno kutne minute s 2 )

    = 94 ° 76 ' (preračunamo 76 ' u 60 ' + 16 ' = 1 ° 16 ' )

    = 94 ° i 1 ° 16 ' (zbrojimo 94 ° i 1 ° )

    = 95 ° 16 '

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 12.

Veličina središnjeg kuta je 140 ° 20 ' . Veličina pripadnog obodnog kuta nad istim lukom te kružnice je 70 ° 10 ' .

Pomoć:

Kutni stupanj ima 60 kutnih minuta.


Postupak:

140 : 20 = 70

20 : 2 = 10

Zadatak 13.

Veličina obodnog kuta kružnice je 78 ° 35 ' . Kolika je veličina pripadnog središnjeg kuta nad istim lukom te kružnice?

Pomoć:

78 ° · 2 = 156 °

35 ' · 2 = 70 '

60 ' = 1 °

Postupak:

70 ' = 60 ' + 10 '

70 ' = 1 ° + 10 '

156 ° + 1 ° = 157 °

156 ° 70 ' = 157 ° 10 '

Zadatak 14.

Ako je α središnji kut kružnice nad lukom A B ⌢ , a β pripadni obodni kut nad istim lukom te kružnice, spojite parove.

β = 20 ° 38 '
  β = 75 ° 50 °
  α = 123 °
α = 72 ° 40 '
β = 36 ° 20 '
α = 41 ° 16 '
α = 151 ° 40 '
β = 61 ° 30 '

Pomoć:

α = 2 · β

β = α : 2

Postupak:

123 ° : 2 = 61.5 ° = 61 ° 30 '

36 ° 20 ' · 2 = 72 ° 40 '

151 ° 40 ' : 2 = 75.5 ° 20 ' = 75 ° 30 ' + 20 ' = 75 ° 50 '

20 ° 38 ' · 2 = 40 ° 76 ' = 40 ° i 60 ' + 16 ' = 40 ° + 1 ° i 16 ' = 41 ° 16 '

Zatvori

Talesov poučak o obodnom kutu nad promjerom kružnice

Zadatak 15.

Na slici je označen obodni kut nad promjerom kružnice

Vrh kuta ∠ B C A nalazi se na obodu kružnice, a krakovi kuta sijeku kružnicu u dvije točke, pa je to kut kružnice nad tetivom A B ¯ , odnosno nad promjerom kružnice.
null
null

Pogledajmo pripadni središnji kut na istoj slici. Krakovi tog kuta su suprotni polupravci istog pravca, a vrh mu je u središtu kružnice S .

Na slici je označen obodni kut nad promjerom i središnji kut koji je ispruženi kut

Središnji kut ∠ A S B kružnice na slici je kut. Veličina središnjeg kuta nad polukružnicom A B ⌢  je °.

Pomoć:

Polukružnica je kružni luk kojemu su krajnje točke rubne točke promjera.


null
Kut ∠ B C A je pripadni obodni kut središnjeg kuta ∠ A S B nad polukružnicom A B ⌢ odnosno nad promjerom A B ¯ . Veličina kuta ∠ B C A je °. Kut ∠ B C A je kut.
null

Talesov poučak o obodnom kutu nad promjerom:Svaki obodni kut nad promjerom kružnice je pravi kut.

Na slici vidimo da je promjer kružnice zapravo hipotenuza pravokutnog trokuta kojemu je ta kružnica opisana

Na slici vidimo da je promjer kružnice zapravo hipotenuza pravokutnog trokuta kojemu je ta kružnica opisana. Središte opisane kružnice pravokutnom trokutu nalazi se u polovištu hipotenuze.

Zanimljivost

Na slici je karikatura matematičara i filozofa Talesa iz Mileta

O Talesu iz Mileta već smo govorili kad smo govorili o mjerenju visine s pomoću sjene, odnosno o dijeljenju dužine na jednake dijelove i u zadanom omjeru. Bio je jedan od prvih grčkh filozofa koji su tražili razumna objašnjenja prirodnih pojava. Bavio se geometrijom, astronomijom i filozofijom.

Legenda kaže da je bio siromašan i da su mu mještani prigovarali kako su znanost i filozofija kojima se bavio beskorisni. Odlučio je pokazati da se može obogatiti ako to želi, ali da mu to nije važno, čime je dokazao svoju mudrost. Jedne je zime s pomoću astronomije predvidio da će urod maslina biti dobar, pa je po niskoj cijeni otkupio sve sprave za tiještenje ulja u okolici. Kad su masline rodile, iznajmljivao je te sprave po cijeni koju je sam odredio i tako se obogatio.

Možemo reći da je postavio temelje dokazivanju u matematici jer je govorio da se matematičke tvrdnje moraju dokazivati, a ne samo opažati. Dokazao je nekoliko poučaka, a dva su po njemu i nazvana: Talesov poučak o proporcionalnim dužinama na krakovima kuta i Talesov poučak o obodnom kutu nad promjerom kružnice.

Primjer 6.

S pomoću Talesova poučka konstruirajmo pravokutan trokut A B C s hipotenuzom A B ¯   duljine 5 cm i katetom A C ¯ duljine 3 cm .

Detaljan postupak konstrukcije pogledajte u GeoGebrinoj animaciji. S pomoću klizača možete pratiti korake konstrukcije pravokutnog trokuta A B C zadane duljine hipotenuze A B ¯ i katete A C ¯ .

Povećaj ili smanji interakciju

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 16.

Primjenom Talesova poučka konstruirajte pravokutni trokut A B C kojem je hipotenuza A B = 6 cm , a kateta B C = 3 cm .

Na slici je konstruiran pravokutni trokut s pomoću Talesovog poučka

Zadatak 17.

Primjenom Talesova poučka konstruirajte pravokutni trokut A B C kojem je hipotenuza A B = 57 mm , a šiljasti kut ∠ B A C = 60 ° .

Na slici je konstruiran pravokutni trokut s pomoću Talesovog poučka
Zatvori

Primjer 7.

Zadatak u kojem treba izračunati nepoznate veličine kutova sa slike

Odredite nepoznate kutove sa slike.

Prema Talesovu poučku, kut ∠ B C A   je pravi kut, pa je u pravokutnom trokutu A B C drugi šiljasti kut veličine 90 ° - 48 ° = 42 ° .

Trokut S B C je jednakokračni trokut kojem su stranice S C ¯ i S B ¯  polumjeri kružnice, pa su to krakovi trokuta. Stranica B C ¯ je osnovica tog trokuta, a kutovi uz osnovicu su jednakih veličina. Znači da je i kut ∠ B C S = 42 ° .

Veličine kutova sa slike su β = γ = 42 ° .

Zadatak 18.

Zadatak u kojem treba odrediti nepoznate veličine kutova sa slike

Odredite nepoznate kutove sa slike.

Trokut A S C je jednakokračan s krakovima S A = S C = r , pa je α = 53 ° .

Kut ∠ B C A je pravi kut po Talesovu poučku pa je ∠ B C S = 90 ° - 53 ° = 37 ° . Kut β = ∠ B C S jer je trokut S B C također jednakokračan s krakovima S B = S C = r .

Veličine kutova sa slike su α = 53 ° i β = 37 ° .

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 19.

Konstruirajte u bilježnicu jednakokračni pravokutni trokut A B C upisan kružnici s promjerom A B = 5 cm . Gdje se nalazi vrh C jednakokračnog pravokutnog trokuta A B C koji je upisan toj kružnici promjera A B ¯ ?

Pomoć:

Jednakokračan trokut i opisana mu kružnica
 

Zadatak 20.

Na slici je prikazan jednakokračni trokut, njemu opisana križnica i veličina središnjeg kuta od 100°

Trokut A B C je jednakokračni trokut s osnovicom A B . Središnji kut nad tetivom A B opisane kružnice tom trokutu je veličine 100 ° . Odredite veličine kutova trokuta A B C .

Rješenje pogledajte u videozapisu.


Zatvori

...i na kraju

U ovoj jedinici naučili smo dva poučka: Poučak o obodnom i središnjem kutu i Talesov poučak o obodnom kutu nad promjerom kružnice. Ponovite i provjerite naučeno kratkom procjenom znanja.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Na slici označite središnji kut s α , a pripadni obodni kut nad istim lukom s β .

Na slici treba označiti središnji kut slovom alfa i pripadni obodni kut slovom beta.

α

β

Pomoć:

Središnji kut kružnice je kut kojemu je vrh u središtu kružnice.

Obodni kut kružnice je kut kojem je vrh na obodu kružnice, a krakovi sijeku kružnicu.

null
2

Obodnih kutova nad istim lukom ima i svi su međusobno veličina.

Pomoć:

Nacrtajte kružnicu i nekoliko obodnih kutova nad istim lukom, razmislite koliko ih možete nacrtati. Izmjerite im veličine i prisjetite se interaktivnih simulacija kojima smo istraživali obodne kutove.

null
3

Ako je središnji kut kružnice označen s α , a pripadni obodni kut nad istim lukom te kružnice označen s β , spojite parove.

α = 120 ° 30 '
β = 60 ° 15 '
α = 70 °
α = 78 ° 52 '
β = 39 ° 26 '
β = 35 °
β = 48 °
α = 96 °

Pomoć:

Veličina središnjeg kuta dvostruko je veća od veličine pripadnog obodnog kuta nad istim lukom kružnice.

null
4
Talesov poučak o obodnom kutu nad promjerom kružnice glasi: Svaki kut nad je kut.

Pomoć:

Nacrtajte kružnicu, označite promjer i nad promjerom nacrtajte pripadni obodni kut. Ako je središnji kut ispruženi kut, razmislite kakav je pripadni središnji kut.

null
5

Odredite veličine kutova sa slike.

Treba izračunati veličine nepoznatih kutova sa slike

Pomoć:

∠ B C A je pravi kut prema Talesovu poučku.

S A = S C = S B = r , pa su trokuti A S C i C S B jednakokračni.

Postupak:

γ = 90 ° - 40 ° , prema Talesovu poučku ∠ B C A je pravi kut.

α = ∠ C A S i β = γ   jer su trokuti A S C i C S B jednakokračni.

6

Središte pravokutnom trokutu opisane kružnice nalazi se u polovištu hipotenuze tog trokuta.

Pomoć:

Nacrtajte sliku i razmislite o Talesovu poučku o obodnom kutu nad promjerom kružnice.

Pravokutni trokut konstruiran s pomoću Talesovog poučka
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

8.4 Kružnica i pravac