Matematika 7 - 8.5 Opseg kruga i duljina kružnog luka

Kružni luk je dio kružnice, a duljina kružnice je opseg kruga. Ako možemo računati duljinu kružnice, možemo računati i duljinu njezinih dijelova.

Zadatak 10.

Na slikama su kružnice istog polumjera. Sa slika vidimo da ako je veći središnji kut, onda je pripadni kružni luk.

Pomoć:

Pažljivo pogledajte slike.

null

Zadatak 11.

Na slici je narančastom bojom označen kružni luk koji je polukružnica

Polumjer kruga je $3 cm,$ opseg kruga je
Upišite rješenje u brojčanom obliku, izračunajte točan opseg.
$π cm .$

null

null
Duljina polukružnice je opsega kruga, tj. u ovom slučaju $π cm .$

Pomoć:

Polukružnica je pola kružnice.

null
Središnji kut od $180 °$ je pola punog kuta od $360 ° .$

Da.

Ne.
Krajnje točke polukružnice leže na promjeru kružnice, pa je pripadni središnji kut ispruženi kut.

null

Zadatak 12.

Na slici je narančastom bojom označena četvrtina kružnice

Središnji kut na slici je kut i iznosi .

Pomoć:

Pažljivo pogledajte sliku.

null
Središnji kut od $90 °$ je punog kuta od .

Pomoć:

Prisjetite se veličina kutova i njihovih naziva.

null
Duljina pripadnog kružnog luka je opsega kruga.

Pomoć:

Ako središnji kut podijelimo na $4$ jednaka dijela, i krug je podijeljen na $4$ jednaka dijela, pa je i kružnica podijeljena na $4$ jednaka dijela.

null

Zadatak 13.

Cijeloj kružnici pripada središnji kut od $360 ° .$ Spojite parove dijelova kružnice i pripadnog središnjeg kuta.

petina kružnice	središnji kut $60 °$
trećina kružnice	središnji kut $120 °$
šestina kružnice	središnji kut $36 °$
desetina kružnice	središnji kut $72 °$

Pomoć:

Nacrtajte kružnicu bilo kojeg polumjera. Puni kut iznosi $360 ° .$ Podijelite puni kut, nacrtajte kutomjerom središnji kut.

null

Zatvori

Zadatak 14.

Polumjer kruga je $6 cm .$ Izračunajte opseg toga kruga.

o = 6 π cm

Ponovite formulu za opseg kruga.

o = 12 π cm

o = 3 π cm

Ponovite formulu za opseg kruga.

o = 24 π cm

Ponovite formulu za opseg kruga.

null

Opseg kruga je duljina pripadne kružnice. Za krug polumjera $6 cm$ spojite parove dijela kružnice i duljine pripadnog kružnog luka.

četvrtina kružnice	$π cm$
šestina kružnice	$4 π cm$
trećina kružnice	$2 π cm$
dvanaestina kružnice	$3 π cm$

Pomoć:

Podijelite kružnicu na tri, četiri, šest i dvanaest dijelova, zatim podijelite opseg s tri, četiri, šest ili dvanaest.

Postupak:

Zadatak 15.

Pogledajte još jedanput prethodna četiri zadatka i razmislite o promjenama veličine središnjeg kuta i duljine pripadnog kružnog luka. Što možete zaključiti?

Koliko se puta povećala veličina središnjeg kuta, toliko se puta duljina pripadnog kružnog luka iste kružnice. Koliko se puta smanjila veličina središnjeg kuta, toliko se puta duljina pripadnog kružnog luka iste kružnice.

Pomoć:

Dobro pogledajte prethodne zadatke i promotrite veličine središnjih kutova i duljine pripadnih kružnih lukova.

null

Duljina kružnog luka i veličina pripadnog središnjeg kuta iste kružnice međusobno su veličine.

Pomoć:

Ako za dvije veličine vrijedi: koliko puta se poveća ili smanji jedna veličina, toliko će se puta povećati ili smanjiti i druga veličina, za te dvije veličine kažemo da su proporcionalne veličine.

null

Zatvori

Duljina kružnog luka

l

i veličina pripadnog središnjeg kuta

α

su proporcionalne veličine pa vrijedi razmjer:
duljina kružnog luka $l$ : opseg kruga $2 r π$ = veličina pripadnog središnjeg kuta $α$ : veličina punog kuta $360 °$ , odnosno

l : 2 r π = α : 360 ° .

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 16.

Polumjer kruga je $8 cm .$ Izračunajte duljinu kružnog luka kojem pripada središnji kut od $20 ° .$

Uvrstimo $r = 8 cm$ i $α = 20 °$ u formulu za duljinu kružnog luka.

$l = \frac{8 \cdot π \cdot 20 °}{180 °}$

$l = \frac{8 π}{9} \approx 2.8 cm$

Zadatak 17.

Primijetimo da su u primjeru i zadatku središnji kutovi jednakih veličina, ali su polumjeri kružnica različitih duljina. Što možete zaključiti za duljine pripadnih kružnih lukova?

Ako je polumjer kružnice dvostruko dulji, za središnji kut jednake veličine dobit ćemo kružni luk.

Pomoć:

Usporedite polumjere, središnje kutove i duljine kružnih lukova primjera i zadatka.

null

Duljina kružnog luka i duljina polumjera kružnice međusobno su veličine.

Pomoć:

Ako za dvije veličine vrijedi: koliko se puta poveća jedna veličina, toliko će se puta povećati i druga veličina, za te veličine kažemo da su proporcionalne.

null

Zadatak 18.

Izračunajte duljinu kružnog luka $l$ kojem pripada središnji kut $α$ kružnice polumjera $r .$

$r = 2 cm,$ $α = 90 °$	$l = \frac{π}{4} cm$
$r = 1 cm,$ $α = 45 °$	$l = \frac{2 π}{3} cm$
$r = 3 cm,$ $α = 120 °$	$l = 2 π cm$
$r = 2 cm,$ $α = 60 °$	$l = π cm$

Pomoć:

Uvrstite duljinu polumjera i veličinu kuta u formulu za duljinu kružnog luka, skratite razlomak i pomnožite preostale brojeve ili zadatak riješite logički s pomoću dijelova punog kuta i proporcionalno dijela opsega kruga.

null

Zadatak 19.

Velika kazaljka sata duga je $9 cm .$ Koliki kut napravi kad se pomakne od broja $3$ do broja $10 ?$

35 °

Pogledajte na sat ili uputu.

150 °

Pogledajte na sat ili uputu.

300 °

Pogledajte na sat ili uputu.

210 °

Pomoć:

Sat je podijeljen na $12$ brojeva. Između svaka dva broja je kut $360 ° : 12 = 30 ° .$

Postupak:

$7 \cdot 30 °$

Kazaljka pri tome prijeđe put od približno

Decimalni dio odvojite decimalnom točkom.

cm .

Pomoć:

$π \approx 3.14$

Zatvori

Zadatak 20.

Izračunajte duljinu promjera kruga ako je duljina kružnog luka približno

23.55 cm

i pripadni središnji kut

270 ° .

Zadatak 21.

Zadatak 22.

Odredite opseg kruga opisanog pravilnom šesterokutu kojem je duljina kružnog luka nad jednom stranicom

\frac{9 π}{5} cm .

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 23.

U kružnicu promjera $12.6 cm$ upisan je pravilni mnogokut. Koji je to mnogokut ako je duljina kružnog luka nad jednom stranicom približno $3.9564 cm ?$

U formulu za duljinu kružnog luka uvrstimo podatke i dobijemo $α = 36 ° .$ Iz formule za veličinu središnjeg kuta pravilnog mnogokuta dobijemo $n = 10 .$

Mnogokut je pravilni deseterokut.

Zadatak 24.

Na slici je motiv listića na platnenoj božićnoj salveti čiji su rubovi dva kružna luka

Izračunajte duljinu zelenog konca potrebnog za obrub zelenog lika koji predstavlja motiv listića na platnenoj božićnoj salveti. Duljina stranice kvadrata je 3 cm, a konca treba tri puta više od duljine obruba listića.

Rub listića sastoji se od dva kružna luka polumjera $3 cm$ i pripadnog središnjeg kuta od $90 ° .$
Duljina jednog kružnog luka je $4.71 cm,$ duljina ruba listića je $4.71 \cdot 2 = 9.42 cm,$ a duljina konca je $9.42 \cdot 3 = 28.26 cm$ .

Zelenog konca treba $28.26 cm .$

Zadatak 25.

Na slici je traktor sa dva velika i dva mala kotača

Promjer prednjeg kotača traktora je $0.9 m,$ a stražnjeg $1.2 m .$ Koliki je put prešao traktor ako je stražnji kotač načinio $100$ okreta manje nego prednji.

Označimo s $n_{1}$ broj okreta prednjeg kotača i s $o_{1}$ opseg prednjeg kotača, a s $n_{2}$ broj okreta stražnjeg kotača i $o_{2}$ opseg stražnjeg kotača. Tada je $n_{1} = 100 + n_{2}$ $.$ Put koji je prešao prednji kotač jednak je putu koji je prešao stražnji kotač. Put koji je prešao prednji kotač je $n_{1} \cdot o_{1} = n_{1} \cdot 0.9 \cdot π,$ a put koji je prešao stražnji kotač je $n_{2} \cdot o_{2} = n_{2} \cdot 1.2 \cdot π$ . Izjednačimo te jednadžbe i uvrstimo $n_{1} = 100 + n_{2}$ .

$(n_{2} + 100) \cdot 0.9 = n_{2} \cdot 1.2$

$0.9 n_{2} + 90 = 1.2 n_{2}$

$n_{2} = 300,$ $n_{1} = 400 .$

Put je $n_{1} \cdot o_{1} = n_{1} \cdot 0.9 \cdot π$ $\approx 1130.4 m .$

Traktor je prešao put od $1130.4 m .$

Zatvori

$r = 4 cm$	$o = 8 π cm$
$r = 3 cm$	$o \approx 21.98 cm$
$d = 5 cm$	$o = 5 π cm$
$d = 7 cm$	$o \approx 18.84 cm$

$r = 1.5 cm,$ $α = 20 °$	$l = \frac{5 π}{4} cm$
$r = 2 cm,$ $α = 72 °$	$l \approx 2.512 cm$
$r = 2.5 cm,$ $α = 90 °$	$l = \frac{π}{6} cm$
$r = 3 cm,$ $α = 45 °$	$l \approx 2.355 cm$

Na početku...

Broj π

Projekt

Zanimljivost

Projekt

Zadatak 1.

Opseg kruga

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Zanimljivost

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Duljina kružnog luka

Zadatak 9.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 14.

Zadatak 15.

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 16.

Zadatak 17.

Zadatak 18.

Zadatak 19.

Zadatak 20.

Zadatak 21.

Zadatak 22.

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 23.

Zadatak 24.

Zadatak 25.

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

8.6 Površina kruga i kružnog isječka

Broj $π$