x
Učitavanje

10.2 Određivanje vrijednosti i argumenta linearne funkcije

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Slika prikazuje rukopisom ispisane razne funkcije

Na početku ćemo, kroz kratki kviz, ponoviti značenja osnovnih pojmova povezanih s linearnom funkcijom kako bismo bez poteškoća mogli usvajati nova znanja.

  1. U zapisu formule linearne funkcije f x = a x + b argument glasi:

    null
  2. Formuli funkcije pridružite odgovarajuće koeficijente.

    f x = - x + 1
    a = - 2 ,   b = 2
    f x = 2 - 2 x
    a = - 1 ,   b = 1
    f x = 2 x - 2
    a = 2 ,   b = - 2  
    f x = x - 1  
    a = 1 ,   b = - 1  

    Pomoć:

    Koeficijent a  prepoznat ćete po tome što množi argument x .

    null
  3. Dopunite rečenicu povlačenjem odgovarajućeg pojma na crtu. 

    Linearna funkcija kazuje da ćemo

     
    funkcije dobiti tako da 
     
    pomnožimo koeficijentom
     
    i dobivenom umnošku pribrojimo koeficijent
     
    .

     b
    argument 
    a
    vrijednost

    null
  4. Vrijednost broja x  možemo uzeti po volji pa kažemo da je argument   veličina. 

    null
    null
  5. Vrijednost funkcije potpuno je određena vrijednošću argumenta i zadanim pravilom pridruživanja.

    null
    null

Određivanje vrijednosti linearne funkcije

Primjer 1.

Odredite vrijednost linearne funkcije  f x = - 2 x + 3  za argument 5 .

U zadanu formulu linearne funkcije uvrstimo vrijednost argumenta, odnosno, umjesto x   pišemo 5 .

f x = - 2 x + 3

f 5 = - 2 · 5 + 3 = - 10 + 3 = - 7

Dakle, vrijednost zadane funkcije za argument 5 iznosi - 7 .

Možemo reći i na sljedeći način: zadana funkcija broju 5 pridružuje broj - 7 .


Argument linearne funkcije i njezini koeficijenti ne moraju uvijek biti cijeli brojevi.

U tom slučaju zadatak rješavamo na isti način, ali moramo biti pažljivi pri računanju s razlomcima ili decimalnim brojevima.

Zadatak 1.

Linearna funkcija zadana je formulom f x = 4 x - 5 . Dopunite tablicu tako da za zadane argumente izračunate vrijednost funkcije.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 2.

Zadana je funkcija f x = 4 5 x + 3 . Izračunajte vrijednosti funkcije za argumente 0 , 5  i - 2 .

  1.   Funkcija ima najmanju vrijednost za argument .

    Pomoć:

    Zapis rješenja potrebno je napisati u obliku broja. 

    null
  2. Dopišite vrijednost funkcije za zadani argument. Ako je rješenje razlomak, zapišite ga u obliku neskrativog razlomka, a umjesto razlomačke crte upotrijebite oznaku   / .
    f - 2 =  
    null

Zadatak 3.

Zadana je linearna funkcija f x = - 3 x + 5 . Izračunajte vrijednost funkcije za svaki od argumenata - 2 , 0  i 3  pa izračunajte njihov zbroj.

Zbroj dobivenih vrijednosti iznosi:

 

null

Zadatak 4.

Zadana je funkcija f x = - 1 4 x + 0.5 . Spojite odgovarajuće parove tako da vrijedi jednakost.

f 0 =
0
f 1 =
1 4
f ( 2 ) =  
1 2

Pomoć:

Umjesto x uvrstite zadani broj te izračunajte vrijednost funkcije.

null

Određivanje vrijednosti argumenta linearne funkcije

Primjer 2.

Za koju vrijednost argumenta x  linearna funkcija f x = - 2 7 x + 5  poprima vrijednost 1 ?

Zadana je vrijednost funkcije, a traži se vrijednost argumenta, tj.  x = ?  

Ako funkcija poprima vrijednost 1 , znači da njezina vrijednost jest 1 . Zapišimo to.

f x = - 2 7 x + 5 = 1  

Riješimo jednadžbu.

- 2 7 x + 5 = 1           / - 5  

- 2 7 x = - 4           / · 7  

- 2 x = - 28           / : - 2  

x = 14  

Dakle, f 14 = 1 .


Zadatak 5.

Linearna funkcija zadana je formulom f x = 2 x - 1 . Dopunite tablicu tako da izračunate nepoznate argumente. Razlomak zapišite u obliku neskrativog razlomka, a umjesto razlomačke crte upotrijebite oznaku  / .

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 6.

Izračunajte vrijednost argumenta ako je zadano pravilo pridruživanja i vrijednost funkcije.

Uputa: ako je rješenje razlomak, umjesto razlomačke crte upotrijebite oznaku  /  , a ako je rješenje negativan broj između predznaka i prve znamenke ne smije biti razmak.

Povećaj ili smanji interakciju

Linearna funkcija oko nas

Zadatak 7.

Djevojčica važe svoju putnu torbu i vaga pokazuje 23 kg.

Marta i Ana vraćaju se zrakoplovom s putovanja. Osim karte, moraju platiti i prijevoz putne torbe. Prtljaga mase do 20 kg plaća se 50 kn , a za  svaki kilogram viška naplaćuje se 70 kn .  


  1. Ako je x  višak kilograma u odnosu na 20 kg , tada pravilo pridruživanja možemo zapisati na sljedeći način:

     

  2. Koliko će platiti Marta za svoju prtljagu ako je vaga pokazala 23 kg ?

    Pomoć:

    Prvo odredite višak kilograma jer o njemu ovisi trošak.

    Postupak:

    f x = 70 x + 50 , pri čemu je x  višak broja kilograma u odnosu na zadanih 20 kg .

  3. Ako Ana za prijevoz prtljage može potrošiti najviše 300 kn , masa izmjerena na vagi smije biti najviše kg .

    Pomoć:

    Iznos koji Ana smije potrošiti je vrijednost funkcije. 

    Postupak:

    70 x + 50 = 300

    70 x = 250 / : 70

    x = 3.57

    Torba smije imati 3.57 kg viška, znači smije imati 23.57 kg .

Zadatak 8.

Ribič Ante gleda u torbu punu štapova za pecanje i razmišlja koliko će ih izvaditi.

Ante u subotu planira poći u ribolov na obližnje pecalište. Dnevna karta iznosi 30 kn , a u tu cijenu uključen je ulaz te uređeno mjesto za ribolov. Svaki štap koji se koristi plaća se 10 kn .

  1. Formula kojom prikazujemo ovisnost cijene f x o broju štapova x koji se koriste za ribolov glasi:
    f x =   x +   .

    Pomoć:

    Razmislite o tome koji je od zadanih brojeva povezan s promjenjivom veličinom (argumentom).

     

  2. Koliko najviše štapova Ante može upotrijebiti ako ima ukupno 150 kn , a želi nakon ribolova otići i u pizzeriju za koju mu treba barem 80 kn ?

    Pomoć:

    Kako bismo izračunali koliko Anti ostaje novaca za pecalište, potrebno je od ukupne svote novca oduzeti 80 kn . Tada dobiveni iznos treba rasporediti za ulaz i cijenu po štapu za ribolov.

    Postupak:

    Ako odvoji novac za pizzeriju, Anti ostaje 150 kn- 80 kn= 70 kn   za pecalište.

    10 x + 30 = 70  

    10 x = 40  

    x = 4  

    Ako bude upotrijebio najviše četiri štapa, Ante će imati dovoljno novca.

Zadatak 9.

Slika prikazuje šampinjone

Teta Mira već godinama srijedom i subotom na tržnici prodaje šampinjone, a pristojba za mjesto na tržnici (tzv. placovina) plaća se 250 kn mjesečno. Kilogram šampinjona teta Mira prodaje za 22 kn .

  1. Dovucite zadane elemente u odgovarajuća polja:

    zavisna veličina

    x

    f x

     

     

  2. Odredite formulu linearne funkcije, tj. pravilo pridruživanja koje prikazuje ovisnost prihoda o količini prodanih gljiva.

  3. Teta Mira mora prodati kg gljiva da bi bila "u plusu", odnosno da bi nadoknadila plaćenu placovinu za tekući mjesec.

    Pomoć:

    Postavite vrijednost funkcije na nulu. Vodite računa o smislu dobivenog rješenja u kontekstu postavljenog zadatka.

    Postupak:

    f x = 22 x - 250 = 0  

    22 x = 250 / : 22  
    x = 11.36  

    Zaokruživanjem na cijeli broj dobijemo rješenje 11 kg, ali uvrštavanjem u formulu funkcije možemo uočiti da će dobiveni iznos biti još uvijek manji od iznosa placovine. Dakle, potrebno je prodati najmanje 12 kg gljiva.
  4. Koliki je prihod ostvarila teta Mira ako je prošli mjesec prodala 95 kg gljiva?

    Pomoć:

    f 95 = ?  

    Postupak:

    f 95 = 22 · 95 - 250 = 1 840

Funkcija zadana tablicom

Osim formulom, funkcija može biti zadana i tablicom. 

Primjer 3.

Linearna funkcija zadana je tablicom. Napišimo formulu zadane linearne funkcije.

x   - 1 0 1 2
y = f ( x )   5 3 1 - 1

Da bismo mogli zapisati formulu linearne funkcije, moramo saznati vrijednosti koeficijenata ​ a b . Odaberimo dva uređena para x , y i uvrstimo ih u formulu linearne funkcije.

Parove možemo odabrati po volji, a najjednostavnije je odabrati onaj kojemu je jedna od vrijednosti  0 .

0 , 3 x = 0 , y = 3 1 , 1 x = 1 , y = 1

Uvrstimo svaki par brojeva u f x = a x + b i riješimo sustav jednadžbi s nepoznanicama a i b .

3 = a · 0 + b 1 = a · 1 + b _

3 = b 1 = a + b _

b = 3 a + 3 = 1

a = - 2

Sada možemo zapisati formulu linearne funkcije na dva načina:

f x = - 2 x + 3 ili y = - 2 x + 3


Zadatak 10.

Odredite redoslijed radnji koje je potrebno učiniti želimo li iz funkcije zadane tablicom odrediti formulu linearne funkcije.

  • - odabrati iz tablice dva para brojeva x , y  
  • - uvrstiti svaki par brojeva u  y = a x + b  
  • - zapisati formulu funkcije tako da uvrstimo izračunate koeficijente
  • - riješiti sustav jednadžbi s nepoznanicama a i b  

Pomoć:

Proučite još jedanput rješenje prethodnog primjera.

null

Zadatak 11.

Izračunajte koeficijente linearne funkcije koja je zadana tablicom.

x - 2
- 1 0 1 2
y = f ( x ) 4 - 9 2 5 11 2 6

Koeficijenti zadane linearne funkcije jesu:

Pomoć:

Proučite postupak iz prethodnog primjera. Možete odabrati bilo koja dva uređena para x , y , ali najjednostavniji su parovi brojeva 0 , 5 i 2 , 6 .

Postupak:

Riješite sustav jednadžbi

a · 0 + b = 5 a · 2 + b = 6 _

b = 5 2 a + 5 = 6 _

2 a = 1

a = 1 2

Uvježbajmo

Zadatak 12.

Zadanoj linearnoj funkciji odredite traženu nepoznatu vrijednost. rezultat zapišite u obliku neskrativog razlomka, a umjesto razlomačke crte upotrijebite oznaku ​ / . Prilikom upisivanja negativnog broja, iza predznaka nije potrebno upisati razmak.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 13.

Slika prikazuje otvorenu knjigu

Tena je dosad pročitala 78 stranica knjige za lektiru. Kako bi bila sigurna da će knjigu pročitati na vrijeme, odlučila je dnevno čitati 25 stranica knjige. 

  1. Za koliko će dana Tena pročitati knjigu ako knjiga ima 253 stranice?

    Pomoć:

    Označimo s x  broj dana. Broj pročitanih stranica knjige ovisi o broju dana.

    Postupak:

    f x = 25 x + 78 = 253  

    Rješenje jednadžbe je 7  pa možemo reći da će Tena pročitati knjigu za sedam dana.
  2. Je li točna sljedeća tvrdnja?

    Ako Tena knjigu mora pročitati za pet dana, dnevno treba pročitati 34 stranice knjige.

    Pomoć:

    Provjerite uvrštavanjem u formulu funkcije. 

    Postupak:

    f 5 = 34 · 5 + 78 = 248  

    Za pet dana, čitajući trideset i četiri stranice dnevno, uz već pročitanih 78 stranica, Tena će pročitati 248 stranica knjige, što znači da neće uspjeti pročitati cijelu knjigu.

Zadatak 14.

Napišite linearnu funkciju koja broju 3 pridružuje broj suprotan broju 1 , a broju 0 pridružuje broj - 2 .

Napišimo uređene parove brojeva: ​ 3 , - 1 i 0 , - 2 .

Uvrstimo svaki par brojeva u formulu linearne funkcije f x = a · x + b = y .

Riješimo sustav

a · 3 + b = - 1 a · 0 + b = - 2 _

i dobit ćemo rješenje a = 1 3 ,   b = - 2 .

Linearna funkcija glasi: f x = 1 3 x - 2.


Kutak za znatiželjne

Osmislite sami nekoliko zadataka s temom iz svakodnevnog života u kojima nalazimo linearnu funkciju.

...i na kraju

Pogledajmo nastavak razgovora Iskre i profesora Bistrića.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Koja od navedenih formula prikazuje linearnu zavisnost opsega lika o zadanoj veličini?

null
2

U gradskoj knjižnici naplaćuje se zakasnina pri vraćanju knjiga. Za kašnjenje se plaća 2 kn   plus 50 lipa po danu i po knjizi. Zapišite formulom ovisnost plaćene zakasnine o broju dana kašnjenja.

Slika prikazuje model za unos formule

f x  

0.50

x

2

 

null
3

Zadanim linearnim funkcijama očitajte koeficijente i pridružite odgovarajuće zapise.

f x = 5 x - 5
a = 5 , b = - 5  
f x = 5 - 5 x
a = 1 , b = 5   ​
f x = x + 5   ​
a = 5 , b = 0   ​
f x = 5 x
a = - 5 , b = 5   ​

Pomoć:

Koeficijent a množi se s argumentom.

null
4

Izračunajte vrijednost svake od zadanih funkcija za argument x = 2 . Funkciju čija je vrijednost za zadani argument najmanja stavite na prvo mjesto.

  • f x = - 1 2 x + 1
  • f x = 3 x - 8   ​
  • f x = - 4 x + 10
  • f x = 3 2 x - 2
null
5

Zadana je linearna funkcija f x = 1 2 x - 1 . Za koji će argument vrijednost funkcije biti jednaka 3 ?

 

null
6
Slika prikazuje taxi

Taksist za početak vožnje naplaćuje 20 kn , a za svaki prijeđeni kilometar još 9 kn . Zapišite formulu linearne funkcije koja prikazuje ovisnost cijene vožnje o broju prijeđenih kilometara.
f x =  ​ x +     .
null
7
Slika prikazuje šišanje
Frizer Jan s vlasnikom salona dogovorio je da će primati stalni dio plaće u iznosu od 2 800 kn i još 12 kn po svakom izvršenom šišanju. Da bi ostvario plaću veću od 5 000 kn , Jan treba odraditi najmanje šišanja.
null
null
8
Slika prikazuje putnu torbu
Matko je dobio 450 kn kao džeparac za ljetovanje. Planira svaki dan potrošiti najviše 30 kn . Nakon četrnaest dana ljetovanja Matku će preostati kn .
null
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

10.3 Jednadžba pravca