10.3 Jednadžba pravca

Crtanje pravca u pravokutnom koordinatnom sustavu

U sljedećem je primjeru zadana linearna funkcija. Možemo li i nju prikazati u pravokutnom koordinatnom sustavu? Pokušajmo.

Primjer 1.

U interakciji koja slijedi zadana je formula linearne funkcije $f\left(x\right)=2x-3.$

Izračunajte vrijednosti funkcije za zadane argumente pa odredite položaj dobivenih točaka u koordinatnom sustavu. 

Uputa: Ukoliko ste točno izračunali traženu vrijednost, lijevo od tablice će se pojaviti točka koju je potrebno alatom Pomicanje postaviti na odgovarajući položaj u koordinatnom sustavu u ravnini.

Alati koje možete koristiti su, redom: Pomicanje, Pravac, Izbriši.

Točke koje ste ucrtali u koordinatni sustav pripadaju jednom pravcu. Nacrtajte ga koristeći se alatom za crtanje pravca.

Rješenje

---

Primjer 2.

Nacrtajte skup svih točaka $\left(x,y\right)$ u pravokutnom koordinatnom sustavu ako za njihove koordinate vrijedi  $y=\frac{1}{2}x+1.$ 

Uputa: Ako ste točno izračunali traženu vrijednost, pored tablice pojavit će se točka koju je potrebno alatom Pomicanje postaviti na odgovarajući položaj u koordinatnom sustavu u ravnini. 

Rješenje

---

Umjesto zadanih vrijednosti za $x,$ mogli smo zadati i bilo koje druge racionalne brojeve. Zadajte ponovno nekoliko vrijednosti broja $x$ i za svaki od njih izračunajte odgovarajuću vrijednost $y,$ a zatim točku $\left(x,y\right)$ istaknite u istom koordinatnom sustavu. Što primjećujete?

Rješenje

---

S obzirom na to da smo vrijednosti argumenata uzeli proizvoljno, možemo zaključiti da bi bilo koja točka čije koordinate povezuje zadana jednadžba pripadala istom pravcu pa kažemo da smo nacrtali pravac čija je jednadžba $y=\frac{1}{2}x+1.$

Želimo li u koordinatnom sustavu u ravnini nacrtati pravac koji je zadan jednadžbom, dovoljno je znati koordinate dviju točaka koje mu pripadaju.

Argument $x$ 

 

, a vrijednost ​ $y$

 

 .

izračunavamo

 biramo po volji

Svaki je pravac određen s dvjema točkamajednom točkombeskonačno mnogo točaka .

Pomoć:

Dvjema zadanim točkama može se nacrtati točno jedan pravac.

 

Ako je koeficijent smjera razlomak, praktično je kao argument zadati broj koji je:

nula

višekratnik nazivnika 

djelitelj nazivnika.

Pomoć:

Praktično je skratiti argument i nazivnik.

Zadatak 1.

Uvježbajte crtati pravce u koordinatnom sustavu u ravnini koristeći se danim predloškom.

Rješenje

---

U prethodnim primjerima i zadatcima mogli smo primijetiti da je svaki od pravaca bio zadan jednadžbom oblika $y=ax+b.$ Takav oblik jednadžbe pravca naziva se eksplicitna jednadžba pravca.

Eksplicitna jednadžba pravca je jednadžba oblika $y=ax+b,$ a određena je racionalnim brojevima $a$ i $b.$

Zadatak 2.

Dovucite dane jednadžbe u odgovarajuća polja.

$y+3x=7$ 

$4x-5y=1$  ​

$-x+9y=0$  ​

$y=5x$ 

$y=2x-7$ 

$y=-\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}$ 

Eksplicitna jednadžba pravca

NIJE eksplicitna jednadžba pravca

Pomoć:

Eksplicitna jednadžba pravca lako se prepoznaje jer u njezinu zapisu s lijeve strane uvijek je samo $y.$

null

Značenje koeficijenata eksplicitne jednadžbe pravca

Iz eksplicitnog oblika jednadžbe pravca možemo očitati koeficijente $a$ i $b,$ a jednako tako možemo zapisati jednadžbu pravca ako su koeficijenti zadani. Provjerimo.

Zadatak 3.

1. Odredite koeficijente eksplicitne jednadžbe pravca $y=x-1:$
   

   $\begin{array}{l}a=0\\ b=1\end{array}$

   $\begin{array}{l}a=0\\ b=-1\end{array}$

   $\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\end{array}$

   

   Pomoć:

   Koeficijent $a$ je broj uz $x.$ U zapisu jednadžbe $x$ možemo čitati kao $1x.$

   null
2. Zadana je eksplicitna jednadžba pravca čiji su koeficijenti $a=-3$ i $b=4.$ Umetnite zadane brojeve na odgovarajuće mjesto.
   $y=$ ​

    

   $x+$

    

   $-3$

   $4$  

   

   null

Primjer 3.

Proučite kako koeficijenti utječu na položaj pravca u koordinatnom sustavu. Pomičite klizače i promatrajte nastale promjene. Pratite istodobno vrijednosti postavljenih klizača i eksplicitnu jednadžbu pravca.

Radi jednostavnosti, koeficijenti su u ovom primjeru cijeli brojevi.

1. Riješite kviz kako biste provjerili svoje zaključke.

   Ako je koeficijent $a=\mathrm{0,}$ tada je pravac:

   usporedan s osi $y$ 

   usporedan s osi $x$ 

   položaj pravca ne ovisi o $\mathrm{a.}$

   

   Pomoć:

   Vratite se na prethodni aplet, postavite klizač na položaj $a=0.$

   null
2. O koeficijentu $a$  ovisine ovisi nagib pravca.

   

   Pomoć:

   Mijenjajte klizač i promatrajte nagib pravca u odnosu na apscisu. Mijenja li se?

   null

3. Vrijednost koeficijenta $a$ možemo izračunati pomoću duljina kateta istaknutog trokuta. Na koji način?

   Pomnožimo duljine kateta.

   Podijelimo duljinu uspravne katete s duljinom vodoravne.

   Podijelimo duljinu vodoravne katete s duljinom uspravne.

   

   Pomoć:

   Na apletu odaberite pomoć kako biste vidjeli istaknuti pravokutni trokut.

   null

4. Ovisi li nagib pravca o koeficijentu $b?$

   Da

   Ne

   

   Pomoć:

   Postavite klizač $a$ na neku vrijednost, a mijenjajte položaj klizača $b.$ Mijenja li se nagib pravca?
   

   null
5. Koeficijent $b$ određuje točku u kojoj pravac siječe os .

   

   null
6. Koeficijent $b$ ima vrijednost kao i apscisaordinata točke u kojoj pravac siječe os xos y.

   

   null

U eksplicitnoj jednadžbi pravca $y=ax+b$ koeficijent $a$ nazivamo koeficijent smjera pravca ili nagib pravca.

U eksplicitnoj jednadžbi pravca $y=ax+b$ koeficijent $b$ određuje točku u kojoj pravac siječe os $y$ i nazivamo ga odsječak na osi $\mathbf{y}.$

Zadatak 4.

Rješavajući sljedeću interakciju, provjerit ćete usvojenost značenja koeficijenata eksplicitne jednadžbe pravca. Ponovimo:

• koeficijent $b$ određuje točku u kojoj pravac siječe os $y$​

• koeficijent $a$ je nagib pravca, a vrijednost koeficijenta određena je količnikom duljine vertikalne (uspravne) katete i duljine horizontalne (vodoravne) katete pomoćnog pravokutnog trokuta

• radi jednostavnosti, odaberite onaj pravokutni trokut kojemu vrhovi šiljastih kutova imaju cjelobrojne koordinate, a katete su usporedne s koordinatnim osima (ili upotrijebite gumb Pomoć)

Određivanje jednadžbe pravca

Odrediti eksplicitnu jednadžbu pravca znači odrediti vrijednosti koeficijenata $a$ i $b$ i zapisati jednadžbu u obliku $y=ax+b.$

To možemo učiniti ako imamo zadane sljedeće podatke:

• ​koeficijent smjera pravca (nagib) i koordinate jedne točke kojom pravac prolazi
• odsječak na osi $y$ i koordinate jedne točke kojom pravac prolazi ili

• koordinate dviju točaka kojima pravac prolazi.

Primjer 4.

Odredimo eksplicitnu jednadžbu pravca kojemu pripada točka ​ $T\left(2,7\right)$ i kojemu je koeficijent smjera jednak $4.$

Rješenje

---

Primjer 5.

Odredimo eksplicitnu jednadžbu pravca koji sadrži točku $B\left(2,-8\right)$ i kojemu je odsječak na osi $y$ jednak $2.$

Rješenje

---

Zadatak 7.

Kako glasi eksplicitna jednadžba pravca koji siječe os ​ $y$ u točki $\left(0,-5\right),$ a sadrži točku $\left(-2,-9\right)?$

Rješenje

---

Primjer 6.

Odredimo eksplicitnu jednadžbu pravca koji prolazi točkama $T_1\left(1,-1\right)$ i $T_2\left(-1,-7\right).$

Rješenje

---

Zadatak 8.

Uz pomoć ponuđene interakcije možete uvježbati određivanje jednadžbe pravca koji prolazi zadanim točkama. Za rješavanje pripremite olovku i papir.

Kutak za znatiželjne

Za one koji žele znati malo više slijede teme Posebni pravci i Implicitna jednadžba pravca.

Posebni pravci

Je li baš svaki pravac u koordinatnom sustavu graf linearne funkcije? Pogledajmo pravce prikazane na slikama. 

Možete se koristiti predloškom za crtanje kako biste istražili ove i slične pravce. 

Jesu li i ovo grafovi nekih funkcija?

Ovisi li vrijednost ordinate o vrijednosti apscise?

Imaju li ovi pravci nagib?

Možemo li odrediti odsječak na osi ordinata?

Implicitna jednadžba pravca

Jednadžba pravca ne mora uvijek biti zapisana u eksplicitnom obliku. Na primjer, ako je zapisana u obliku takvom da je s lijeve strane jednakosti izraz s cjelobrojnim koeficijentima, a s desne strane jednakosti samo nula, govorimo o implicitnom obliku jednadžbe pravca. Takvu jednadžbu jednostavno je prevesti u eksplicitni oblik. Proučimo primjer.

Dana je linearna jednadžba $2x+3y-6=0.$

Zapišimo jednadžbu tako da s lijeve strane bude $y$ (s pripadnim koeficijentom), a zatim izrazimo $y.$

$3y=-2x+6/:3$

$y=-\frac{2}{3}x+2$

Želite li se poigrati prevođenjem implicitnog zapisa jednadžbe pravca u eksplicitni, možete to učiniti uz interakciju autorice Željke Dijanić.