Matematika 7 - 1.1 Koordinatni sustav na pravcu

Koordinatni sustav na pravcu

Prisjetimo se na koji način neki pravac postaje brojevni pravac. Najprije odaberemo neku točku na pravcu i označimo je slovom $O .$ Tu točku nazivamo ishodište brojevnog pravca i njoj je pridružen broj $0 .$ Nakon toga na pravcu desno od točke $O$ odaberemo drugu točku i označimo je s $E .$ Toj točki pridružimo broj $1 .$ Točku $E$ kojoj je pridružen broj $1$ nazivamo jedinična točka. Dužinu $\bar{O E}$ nazivamo jedinična dužina. Duljinu jedinične dužine označavamo s $|OE|$ i nazivamo jedinična duljina.

Brojevni pravac je pravac na kojem su označeni brojevi. Uzastopni cijeli brojevi međusobno su udaljeni za duljinu jedinične dužine. Na svom desnom (ili gornjem, ako je pravac položen okomito) kraju ima označen vrh strelice, što označava da brojevi rastu u tom smjeru.

Točki $O$ pridružen je broj $0,$ pišemo $O (0),$ a točki $E$ pridružen je broj $1,$ pišemo $E (1) .$ Točka $O$ je ishodište, a točka $E$ jedinična točka brojevnog pravca

Točke $O (0)$ i $E (1)$ te jedinična dužina $\bar{O E}$ određuju koordinatni sustav na zadanom pravcu.

U koordinatnom sustavu na pravcu svakome racionalnom broju možemo pridružiti jednu točku. Uzastopni cijeli brojevi na brojevnom pravcu međusobno su udaljeni za jediničnu duljinu $|OE| .$

Svakom racionalnom broju $x$ na brojevnom pravcu možemo pridružiti točno jednu točku $T .$ Kažemo da je racionalni broj $x$ koordinata točke $T .$ Pišemo $T (x) .$

Cjelobrojne koordinate na brojevnom pravcu

Primjer 1.

Na brojevnom pravcu u bilježnicu označimo jediničnu dužinu duljine $|O E| = 1$ i ucrtajmo točke s koordinatama $A (2),$ $B (4),$ $C (- 3) .$

Točke sa cjelobrojnim koordinatama na brojevnom pravcu

Točka $A$ je dvije jedinične duljine desno od ishodišta, točka $B$ četiri jedinične duljine desno od ishodišta, a točka $C$ je tri jedinične duljine lijevo od ishodišta.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Nacrtajte brojevni pravac u bilježnicu i ucrtajte točke $G (5),$ $R (—2),$ $U (3),$ $K (—4)$ pa očitajte riječ koju tvore.

Zanimljivost

Hrvatske vode su javna ustanova koja upravlja vodama u Republici Hrvatskoj.

U Hrvatskim vodama vodi se briga o zaštiti života, zdravlja i imovine od štetnog djelovanja voda te se osigurava trajna dostupnost vode svim stanovnicima Republike Hrvatske. Jedna od njihovih najvažnijih aktivnosti je praćenje i mjerenje vodostaja rijeka. Istražite koje opasnosti mogu nastati od visokoga ili niskog vodostaja rijeka te koje su mjere obrane od poplava.

Dodatne informacije o rijekama Republike Hrvatske i vodostajima možete pronaći na stranicama ustanove Hrvatske vode i prikaz vodostaja.

Zadatak 2.

Vodostaji nekih hrvatskih rijeka izmjereni 5. svibnja 2017. su:

Bednja (Ludbreg) — $9 cm,$
Bosut (Vinkovci) $150 cm,$
Cetina (Trilj žičara) $110 cm,$
Čabranka (Zamost) $50 cm,$
Česma (Čazma) — $54 cm,$
Drava (Terezino Polje) — $250 cm,$
Ombla (Komolac) $4 cm,$
Raša (Potpićan) — $9 cm$ i
Sava (Jesenice) — $123 cm .$

Mjesta u zagradama su nazivi postaja u kojima se provodi mjerenje.

Navedene podatke ucrtajte na isti brojevni pravac. Pripazite da dobro odaberete duljinu jedinične dužine.

Spomenute rijeke i mjerne postaje pronađite na karti na stranici Hrvatskih voda, prikaz vodostaja.

Ucrtavanje vodostaja rijeka na brojevni pravac

Zatvori

Primjer 2.

Očitajmo koordinate točaka s brojevnog pravca.

Očitati koordinate znači uočiti tražene točke na slici te napisati matematički zapis njihovih koordinata.

Točka $A$ udaljena je od ishodišta pet jediničnih duljina desno pa pišemo $A (5),$ a točka $B$ je od ishodišta udaljena dvije jedinične duljine lijevo pa pišemo $B (- 2) .$ Slično dobijemo i $C (- 4)$ i $D (3) .$

Zadatak 3.

Pogledajte sliku i riješite.

Očitavanje koordinata točaka brojevnog pravca

Očitajte koordinate točaka

A,

B,

C

D

sa slike.

A

(

Pažljivo pogledajte sliku.

)

B

(

Pažljivo pogledajte sliku.

)

C

(

Pažljivo pogledajte sliku.

)

D

(

Pažljivo pogledajte sliku.

)

Pomoć:

Rješenja upišite u obliku cijelih brojeva na za to predviđena mjesta.

null

Decimalne koordinate na brojevnom pravcu

Primjer 3.

Odaberimo prikladnu jediničnu dužinu i ucrtajmo na brojevni pravac točke $A (3.2),$ $B (4.7)$ i $C (- 1.4) .$

Kad su koordinate točaka decimalni brojevi, prikladno je odabrati jediničnu dužinu $|\begin{array}{l} O E \end{array}| = 1 cm .$ Tada dekadski dio broja predstavlja broj centimetara udaljen od ishodišta ulijevo ako je broj negativan, a udesno ako je pozitivan. Prva decimala broja predstavlja broj milimetara dalje od toga cijelog broja desno ako je pozitivan broj, a lijevo ako je negativan broj. Ako ima više decimala, broj zaokružimo na jednu ili dvije decimale.

Točke sa decimalnim koordinatama na brojevnom pravcu

Jedinična dužina je duljine $1 cm,$ točka $A$ udaljena je $3 cm$ i $2 mm$ desno od ishodišta, točka $B$ $4 cm$ i $7 mm$ desno od ishodišta i točka $C$ $1 cm$ i $4 mm$ lijevo od ishodišta.

Zanimljivost

GeoGebra je program dinamične matematike koji ujedinjuje geometriju, algebru, tablične proračune,crtanje grafova, statistiku i analizu. Ima jednostavno korisničko sučelje koje omogućuje izradu interaktivnih uradaka. GeoGebra je dostupna na hrvatskom jeziku, otvorenog je koda i besplatna za uporabu nekomercijalnim korisnicima.

Više informacija o GeoGebri dostupno je na stranici https://www.geogebra.org/.

Istražite i neke druge računalne programe koji vam mogu pomoći u učenju i proučavanju matematike, primjerice Desmos, The Geometer's Sketchpad ili WolframAlpha.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Tata je odlučio ispeći čupavce. U receptu piše da mu treba

$0.25 kg$ šećera,
$0.30 kg$ brašna i
$0.05 kg$ maslaca za biskvit,
$0.35 kg$ šećera,
$0.20 kg$ maslaca i
$0.16 kg$ čokolade za čokoladni umak te
$0.45 kg$ kokosova brašna za ukrašavanje.

Prikažite navedene količine na brojevnom pravcu.

Na slici kuhinjske vage nacrtan je vodoravni brojevni pravac. Precrtajte brojevni pravac u bilježnicu i na njemu prikažite količine sastojaka u gramima.

Zamolite starije da vam pokažu model kuhinjske vage kakav je bio uobičajen prije tridesetak godina pa otkrijte kako je trebalo pomicati utege na skali vage da se izvaže određena količina namirnica.

Na slici su ucrtane točke s decimalnim koordinatama iz zadatka, dva brojevna pravca, jedan je za kg, a drugi za grame

Zadatak 5.

Na brojevnom pravcu odaberite duljinu jedinične dužine $\bar{O E} .$ Ucrtajte točke s koordinatama $A (- 2.25),$ $B(3.5),$ $C (2),$ $D (- 0.75) .$ Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Ucrtavanje točaka na brojevni pravac sa decimalnim koordinatama

Zadatak 6.

Temperature zraka na Zemlji mogu biti vrlo različite. Jedno od najtoplijih naseljenih mjesta je Dolina smrti u Kaliforniji, gdje je 10. srpnja 1913. izmjerena temperatura od $56.7 ° C,$ dok su u pustinji Danakil u sjevernoj Etiopiji izmjerene temperature do $60 ° C .$ Najniža temperatura, $- 89.2 ° C,$ izmjerena je u istraživačkoj stanici Vostok na Antarktici, 21. srpnja 1983. U sibirskome mjestu Ojmjakonu izmjerena je temperatura od $- 67.8 ° C .$ U Hrvatskoj je najviša temperatura od $42.4 ° C$ izmjerena 5. srpnja 1950. u Karlovcu, a najniža temperatura od $- 34.6 ° C$ izmjerena je 13. siječnja 2003. u Gračacu.

Odaberite prikladnu duljinu jedinične dužine pa ucrtajte te temperature na brojevni pravac.

Podatke o ekstremnim temperaturama na Zemlji možete pronaći na stranici Crometeo.

Temperature zraka prikazane na brojevnom pravcu

Zatvori

Racionalne koordinate na brojevnom pravcu

Primjer 4.

Odaberimo prikladnu duljinu jedinične dužine i ucrtajmo na brojevni pravac točke $A (\frac{1}{2}),$ $B (- \frac{3}{4}),$ $C (1 \frac{1}{2}) .$

Kad su koordinate točaka racionalni brojevi zapisani u razlomačkom obliku za jediničnu duljinu, prikladno je odabrati zajednički višekratnik svih nazivnika (ne nužno najmanji) ili razlomke zapisati u decimalnom obliku pa izabrati $|\begin{array}{l} O E \end{array}| = 1 cm .$

Racionalne koordinate na brojevnom pravcu

Odabrat ćemo $|\begin{array}{l} O E \end{array}| = 2 cm$

Prisjetimo se kako je $2 cm = 20 mm .$

Za točku $A$ koja se nalazi između cijelih brojeva $0$ i $1$ trebamo izračunati $\frac{1}{2}$ od $20 mm,$ znači ucrtat ćemo je $10 mm$ desno od $0 .$

Za točku $B$ koja se nalazi između cijelih brojeva $- 1$ i $0$ trebamo izračunati $\frac{3}{4} \cdot 20 = 15 .$ Točku $B$ ucrtat ćemo $15 mm$ lijevo od $0 .$

Točka $C$ nalazi se između cijelih brojeva $1$ i $2 .$ Opet računamo $\frac{1}{2} \cdot 20 = 10,$ pa ćemo točku $C$ ucrtati $10 mm$ desno od $1 .$

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Ucrtajte na brojevni pravac točke s koordinatama $3 \frac{1}{4},$ $- \frac{3}{4},$ $\frac{1}{2},$ $- 1 \frac{1}{2} .$

Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Ucrtavanje točaka sa racionalnim koordinatama na brojevni pravac

Zadatak 8.

U bilježnici na brojevnom pravcu označite jediničnu dužinu duljine $|OE| =1.5 cm$ te ucrtajte točke s koordinatama $V (2 \frac{2}{3}),$ $M (- 1 \frac{1}{3}),$ $R (- 1),$ $A (\frac{2}{3}) .$ Na kraju očitajte riječ koju tvore.

Ucrtavanje točaka kojima su koordinate racionalni brojevi na brojevni pravac

Zadatak 9.

Otkrijte skriveno blago dvorca Trakošćan tako da pronađete pravo mjesto na brojevnom pravcu.

Zatvori

Primjer 5.

S brojevnog pravca očitajmo koordinate zadanih točaka.

Koordinate točaka su:

$A (- 2 \frac{1}{3}),$ $B (- 1 \frac{5}{6}),$ $C (\frac{1}{2}),$ $D (1 \frac{2}{3}) .$

Zajednički nazivnik je $6 .$

Koordinata točke $A$ nalazi se između cijelih brojeva $- 2$ i $- 3 .$ Cijeli dio podijeljen je na šest jednakih dijelova i točka je na drugom podjeljku (jer je $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ ) od $- 2$ lijevo pa pišemo $A (- 2 \frac{1}{3}) .$

Koordinata točke $B$ je između $- 1$ i $- 2 .$ Cijeli dio podijelimo opet na šest jednakih dijelova i točka je na petom podjeljku lijevo pa pišemo $B (- 1 \frac{5}{6}) .$

Koordinata točke $C$ je između $0$ i $1 .$ Cijeli dio podijelimo na šest jednakih dijelova i točka je na trećem podjeljku desno, tj. točno na pola pa pišemo $C (\frac{1}{2}) .$

Koordinata točke $D$ je između $1$ i $2 .$ Cijeli dio podijelimo na šest jednakih dijelova i točka je na četvrtom podjeljku desno ( jer je $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ ) pa pišemo $D (1 \frac{2}{3}) .$

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

Pogledajte sliku i riješite.

Cijeli brojevi su podijeljeni na desetine, točka A na brojevnom pravcu je 4 dijela lijevo od 0, B je 4 desno od 0, C je pet dijelova desno od 2, D je 7 dijelova desno od 1

Spojite točku s očitanom koordinatom

$2 \frac{1}{2}$
$- \frac{2}{5}$
$1 \frac{7}{10}$
$\frac{2}{5}$

Pomoć:

Pažljivo pogledajte sliku!

null

Zadatak 11.

Pogledajte sliku i riješite.

Točka A je 2 cm i 5 mm desno od 0, točka B je 3 cm i 4 mm lijevo od 0, točka C je 2 cm i 8 mm desno od 0, točka D je 1 cm i 3 mm desno od 0

Upišite očitane u prazna polja
$A$ (

Pažljivo pogledajte sliku!

),
$B$ (

Pažljivo pogledajte sliku!

),
$C$ (

Pažljivo pogledajte sliku!

),
$D$ (

Pažljivo pogledajte sliku!

Pomoć:

Rezultat upišite u obliku cijelog ili decimalnog broja sa jednom decimalom na za to predviđeno mjesto.

null

Zadatak 12.

Pogledajte sliku i riješite.

Jedinična duljina je podijeljena na deset dijelova, točka A je 4 dijela lijevo od -1, točka B je 5 dijelova lijevo od -2, točka C je 9 dijelova desno od 1 i točka D je 4 dijela desno od 0

Očitajte koordinate sa slike i dovucite ih na ispravno mjesto.
$A$ (

)

B

(

)

$C ($

)

$D$ (

)

\frac{2}{5}

- \frac{5}{2}

- 1 \frac{2}{5}

1 \frac{9}{10}

Pomoć:

Pažljivo pogledajte sliku.

Zatvori

Uvježbajmo

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 13.

U koordinatnom sustavu na pravcu označite jediničnu dužinu duljine $|OE| =24 mm$ te ucrtajte točke s koordinatama $\frac{4}{3},$ $- 1 \frac{3}{4},$ $\frac{7}{2},$ $- \frac{1}{2} .$

Točke sa racionalnim koordinatama na brojevnom pravcu

Zadatak 14.

U koordinatnom sustavu na pravcu ucrtajte točke s koordinatama $- \frac{7}{6},$ $- 2,$ $1 \frac{1}{2},$ $- \frac{1}{3} .$

Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Zadatak 15.

Odaberite prikladnu duljinu jedinične dužine i ucrtajte na brojevni pravac točke $A (2.6),$ $B (- 3),$ $C (0.9), D$ $(- 1.4) .$ Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Točke s racionalnim koordinatama na brojevnom pravcu

Zadatak 16.

Odaberite prikladnu duljinu jedinične dužine i ucrtajte na brojevni pravac točke s koordinatama $- 0.5,$ $- 2 \frac{3}{4},$ $- 1.75,$ $2 \frac{1}{4} .$

Ucrtavanje točaka sa racionalnim koordinatama

Zatvori

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 17.

Odaberite prikladnu duljinu jedinične dužine i ucrtajte u koordinatni sustav na pravcu točke s koordinatama $- \frac{3}{4},$ $\frac{5}{4},$ $- 2 \frac{1}{2},$ $- \frac{7}{2} .$

Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Zadatak 18.

Očitajte koordinate točaka s brojevnog pravca ako je duljina jedinične dužine $|O E| = 1 cm .$

Jedinična duljina je 1 cm, točka A je 5 mm lijevo od -2, točka B je 7 mm lijevo od 0, točka C je 2 mm desno od 1, točka D je 1 mm desno od 2

Rješenje $A (- 2.5),$ $B (- 0.7),$ $C (1.2),$ $D (2.1) .$

Zadatak 19.

Pogledajte sliku i riješite.

Očitavanje točaka na brojevnom pravcu kojima su koordinate dekadske jedinice

Očitane koordinate upišite u prazna polja.

A

(

Pažljivo pogledajte sliku!

)
$B$ (

Pažljivo pogledajte sliku!

)
$C$ (

Pažljivo pogledajte sliku!

)

D

(

Pažljivo pogledajte sliku!

)

Pomoć:

Pažljivo pogledajte sliku. Rješenje upišite u obliku cijelih brojeva na za to predviđeno mjesto.

null

Zatvori

Kolekcija zadataka 7

Zadatak 20.

Odaberite prikladnu duljinu jedinične dužine pa na brojevnom pravcu označite točke $D (- 200),$ $B (- 140),$ $A (100),$ $C (150$ ).

1 cm je udaljenost od 0 do 100, točak A je 1 cm desno od 0, točka B je 1 cm i 4 mm lijevo od 0, točka c je 1 cm i 5 mm desno od 0, točka D je 2 cm desno od 0

Odabrat ćemo da je udaljenost između brojeva $0$ i $100$ na brojevnom pravcu jednaka $1 cm .$

Zadatak 21.

Odredite prikladnu duljinu jedinične dužine pa na brojevnom pravcu označite točke $D (2 500),$ $B (1 200),$ $A (- 1 000),$ $C (- 1 500) .$

Od 0 do 500 je 1cm, točka A je 2 cm lijevo od 0, točka B je 2 cm i 4 mmdesno od 0, točka C je 3 cm lijevo od 0 i točka D je 5 cm desno od 0

Odabrat ćemo da je udaljenost brojeva $0$ i $500$ na brojevnom pravcu jednaka $1 cm .$

Zadatak 22.

Pogledajte sliku i riješite.

Očitajte koordinate točaka sa slike i dovucite ih na ispravna mjesta.

Jedinična duljina je podijeljena na 6 dijelova, točka A je 4 dijela desno od 0, točka B je 5 dijelova lijevo od 0, točka c je jedan dio desno od 1, točka D je 3 dijela lijevo od -1

A

(

),

B

(

)

,
$C$ (

)

D

(

)

\frac{2}{3}

- \frac{5}{6}

1 \frac{1}{6}

- \frac{3}{2}

Pomoć:

Pažljivo pogledajte sliku.

null

Zatvori

...i na kraju

Koordinatni sustav na pravcu primjenjuje se na različitim područjima kada trebamo prikazati skale različith veličina.
Primjerice, na vremenskoj crti označavamo povijesne događaje, u fizici i meteorologiji termometrima mjerimo temperature zraka ili tla, toplomjerom mjerimo temperaturu tijela.

Za prikazivanje točaka čije su koordinate zapisane u razlomačkom obliku, za duljinu jedinične dužine odabiremo zajednički višekratnik svih nazivnika, a ako su koordinate zapisane u decimalnom obliku, odabiremo neku od dekadskih jedinica, na primjer $10$ ili $100 mm .$

Projekt

Potražite podatke o temperaturama zraka u svojemu mjestu stanovanja u rujnu nekoliko godina unatrag pa ih usporedite. Možete se organizirati u skupine pa istražiti temperature zraka u svojemu mjestu stanovanja u prošlom desetljeću.

Provedite malo istraživanje te ga iznesite ostalim učenicima.

Provjerite znate li riješiti zadatke. Zadatke najprije samostalno riješite, a zatim rješenja provjerite.

Zadatak 23.

Približno očitajte koordinate točaka s brojevnog pravca.

Rješenja $D (- 2.3),$ $B (- 1.4),$ $A (0.2),$ $C (1.5$ ).

Zadatak 24.

U bilježnicu na brojevni pravac ucrtajte točke $T (\frac{11}{5}),$ $S (0.6),$ $L(-2),$ $I (- \frac{1}{2}) .$

Dopunite tekst. Točka

O (0)

Pozorno pročitajte jedinicu

koordinatnog sustava na pravcu. Točka

Pozorno pročitajte jedinicu

je jedinična točka koordinatnog sustava na pravcu.
Dužina

\bar{O E}

Pozorno pročitajte jedinicu

. U zapisu

T (x)

racionalni broj

x

Pozorno pročitajte jedinicu

točke

T .

null

Koja je od ponuđenih jediničnih dužina najprikladnija za ucrtavanje racionalnih brojeva $1 \frac{3}{8},$ $- \frac{1}{4},$ $\frac{5}{6}$ i $- \frac{1}{3}$ na brojevni pravac? Kliknite na točan odgovor.

20 mm

Pozorno pročitajte jedinicu

7 cm

Pozorno pročitajte jedinicu

24 mm

12 km

Pozorno pročitajte jedinicu

null

Povežite točku s pripadnom koordinatom.

$M$	$- \frac{7}{4}$
$K$	$1 \frac{1}{2}$
$L$	$- 2 \frac{1}{2}$
$N$	$\frac{3}{4}$

null

Smjestite točke na odgovarajuća mjesta na brojevnom pravcu.

$A (0.5)$

$B (\frac{3}{4})$

$C (2.5)$

$D (- 3)$

null

Smjestite točke na odgovarajuća mjesta na brojevnom pravcu.

$- 1 2 / 3$

$8 / 3$

$5 / 6$

$3 / 2$

null

ZAVRŠITE PROCJENU

Na početku...

Koordinatni sustav na pravcu

Cjelobrojne koordinate na brojevnom pravcu

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zanimljivost

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Decimalne koordinate na brojevnom pravcu

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Racionalne koordinate na brojevnom pravcu

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Uvježbajmo

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 13.

Zadatak 14.

Zadatak 15.

Zadatak 16.

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 17.

Zadatak 18.

Zadatak 19.

Kolekcija zadataka 7

Zadatak 20.

Zadatak 21.

Zadatak 22.

...i na kraju

Projekt

Zadatak 23.

Zadatak 24.

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

1.2 Uređeni par