8.1 Sukladnost

Sukladni likovi

Za likove koji izgledaju potpuno jednako i s obzirom na veličinu i s obzirom na oblik reći ćemo da su sukladni. Sukladni likovi izgledaju jednako, ali se nalaze na različitim mjestima u ravnini. Možemo ih pomicati i okretati sve dok se potpuno ne poklope.

Praktična vježba

Podijelite se u grupe. Uzmite list papira i preklopite ga po sredini. Izrežite neki lik. Dobit ćete dva lika koji su potpuno jednaki s obzirom na veličinu i oblik - dva sukladna lika. Pomiješajte likove svih učenika u grupi. Zamijenite mjesta s učenicima druge grupe. Pronađite sukladne likove te grupe pa ih preklopite jedan preko drugoga.

Kako ćemo likove dovesti u položaj u kojem se potpuno podudaraju? Jednog od njih treba pomaknuti u ravnini dok se ne poklopi s drugim. Pri pomicanju u ravnini likovi moraju zadržati svoj oblik i veličinu. To znači da se udaljenosti među točkama lika koji pomičemo ne smiju mijenjati pri pomicanju, kažemo da se udaljenosti čuvaju. Možemo li matematičkim pojmovima opisati takvo pomicanje likova u ravnini?  Preslikavanja ravnine koja čuvaju udaljenosti zovemo izometrije. U osnovnoj ste školi učili o translaciji, osnoj i centralnoj simetriji i rotaciji. Sva su ova preslikavanja izometrije.
Možemo reći da su dva geometrijska lika sukladna ako postoji izometrija koja jedan lik preslikava u drugi.

Zadatak 1.

Jesu li likovi na slici sukladni? Označite točan odgovor.

1. 

   
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

2. 

   
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

3. 
   

   

   Da

   Ne

   

   null

   null

4. 
   

   

   Da

   Ne

   

   null

   null

5. 

   
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

Sukladnost dužina i kutova

Primjer 1.

Promotrite dužine na slici i uočite one koje su sukladne. Što možete reći o njihovim duljinama? Dopunite rečenicu.

Ako su dužine jednakesukladne njihove su duljine sukladnejednake .

null

null

Primjer 2.

Promotrite kutove na slici i uočite one koji su sukladni. Što možete reći o njihovim mjerama? Dopunite rečenicu.

Sukladni mjerekutoviimaju jednake kutovemjere.

null

null

Zaključimo.

Dužine $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ sukladne su ako i samo ako su im duljine jednake. Pišemo $\overline{AB}\cong \overline{CD}$ i čitamo: dužine $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ sukladne su.

Kutovi su sukladni ako i samo ako su im mjere jednake. Pišemo $\angle aPb\cong \angle cQd$ i čitamo: kutovi $\angle aPb$ i $\angle cQd$ sukladni su.

Sukladnost trokuta

Primjer 3.

Promotrite sukladne trokute u interakciji. Što možete zaključiti o njihovim stranicama i  kutovima? Promijenite položaj vrhova $A,B,C.$ Vrijede li i za nove trokute isti zaključci?

Trokuti $ABC$ i $DEF$ sukladni su ako i samo ako su im sukladne odgovarajuće stranice i odgovarajući kutovi. Pišemo $△ABC\cong △DEF$ i čitamo: trokuti $ABC$ i $DEF$ sukladni su.

Poučci o sukladnosti trokuta

Rekli smo da su trokuti sukladni ako su im sve odgovarajuće stranice i svi odgovarajući kutovi sukladni. Ukupno je to šest elemenata. Moramo li provjeravati svih šest elemenata? Poučci o sukladnosti govore o tome koje je elemente dovoljno provjeriti.

Dva su trokuta sukladna ako i samo ako su im sukladne dvije stranice i kut među njima. Ovaj poučak nazivamo S-K-S poučak o sukladnosti trokuta.

Promotrite u animaciji konstrukciju trokuta kojemu su zadane dvije stranice i kut među njima.

Zadatak 2.

Promotrite trokute na slici. Jesu li ispunjeni uvjeti S-K-S poučka o sukladnosti trokuta? Jesu li trokuti sukladni? Označite točan odgovor.

Da

Ne

null

null

Dva su trokuta sukladna ako i samo ako su im sukladne jedna stranica i dva kuta uz tu stranicu. Ovaj poučak nazivamo K-S-K poučak o sukladnosti trokuta.

Promotrite u animaciji konstrukciju trokuta kojemu je zadana stranica i dva kuta uz tu stranicu. 

Zadatak 3.

Trokuti na slici sukladni su. Mjera kuta $\angle FED$ jest $°$ ​

null

null

Dva su trokuta sukladna ako i samo ako su im sukladne sve tri stranice. Ovaj poučak nazivamo S-S-S poučak o sukladnosti trokuta.

Dva su trokuta sukladna ako i samo ako su im sukladne dvije stranice i kut nasuprot većoj stranici. Ovaj poučak nazivamo S-S-K poučak o sukladnosti trokuta.

Zadatak 6.

Promotrite u animaciji konstrukciju trokuta kojemu su zadane dvije stranice i kut nasuprot jedne od njih.

Promijenite veličinu zadanog kuta i duljine zadanih stranica. Koliko rješenja može biti? Jesu li rješenja sukladni trokuti? Zašto?

Rješenje

---

Kutak za znatiželjne

Propozicija $4$ u Euklidovim elementima:

Ako dva trokuta imaju dvije strane jednake dvjema stranama i imaju kutove koji sadrže jednake ravne linije, tada također imaju osnovicu jednaku osnovici, trokut je jednak trokutu, a preostali kutovi jednaki su preostalim kutovima, naime oni koji su suprotni jednakim stranama.

O kojem poučku o sukladnosti govori propozicija $4?$ Primijetite da Euklid ne koristi riječ sukladnost, nego kaže da su trokuti jednaki.

Pogledajmo dokaz u kojem ćemo koristiti današnje oznake i terminologiju.

Neka su dani trokuti $△ABC$ i $△DEF$ tako da vrijedi $\left|AB\right|=\left|DE\right|,\left|AC\right|=\left|DF\right|,\angle BAC\cong \angle EDF.$ Položimo vrh $A$ na vrh $D$ tako da se poklope zrake $AB$ i $DE.$ Budući da su jednaki kutovi pri vrhu $A$ i vrhu $D,$ pri tome će se poklopiti i zrake $AC$ i $DF.$ Poklopit će se točke $B$ i $E$ jer su dužine $\overline{AB}$ i $\overline{DE}$ jednakih duljina. Također su jednakih duljina dužine $\overline{AC}$ i $\overline{DF}$ pa će se poklopiti i točke $C$ i $F.$ To znači da će se poklopiti dužine $\overline{BC}$ i $\overline{EF},$ a onda i kutovi pri vrhovima $B$ i $E,$ kao i kutovi pri vrhovima $C$ i $F.$

Zaključujemo da su u trokutima $ABC$ i $DEF$ svi odgovarajući elementi sukladni pa su i trokuti sukladni.

Pokušajte sami dokazati ostale poučke o sukladnosti trokuta.