x
Učitavanje
  1. Matematika 1
  2. 8. Sukladnost i sličnost
  3. Aktivnosti za samostalno učenje

Aktivnosti za samostalno učenje

    Europska unija, Zajedno do fondova EU
    Što ću naučiti?
    Samostalno učenje
    Procijenite svoje znanje
    Sadržaj jedinice
    Sadržaj jedinice
    Povećanje slova
    Smanjenje slova
    Početna veličina slova Početna veličina slova
    Visoki kontrast
    a Promjena slova
    • Verdana
    • Georgia
    • Dyslexic
    • Početni
    Upute za korištenje

    Na početku...

    Na slici je Trokut Sierpinskog.

    Trokut Sierpinskoga jest fraktal koji je opisao Waclaw Franciszek Sierpinski. Sastoji se od jednakostraničnih trokuta.

    Na slici jeTrokut Sierpinskog 1. korak
    1. korak
    Na slici je Trokut Sierpinskog 2. korak
    2. korak
    Na slici je trokut Sierpinskog 3. korak
    3. korak
    Na slici je trokut Sierpinskog 4. korak
    4. korak

    Pogledajmo korake nastajanja trokuta Sierpinskoga.

    Treći korak ponavljamo.

    Projekt

    Istražite pravilnosti u trokutu Sierpinskoga. Odgovorite na pitanja:

    1. Kojim preslikavanjem iz prvog trokuta nastaje drugi?
    2. Koliko je obojenih trokuta u 1. koraku, koliko u 2., 3., 4., 10., n -tom koraku?
    3. Ako je duljina stranice početnog trokuta 1 cm , kolika je duljina stranice u 1. koraku, kolika u 2., 3., 4., 10., n -tom koraku?
    4. Koliki je opseg pojedinog malog obojenog trokuta u 1. koraku, koliki u 2., 3., 4., 10., n -tom koraku?
    5. Koliki je zbroj svih opsega obojenih trokuta u 1. koraku, koliki u 2., 3., 4., 10., n -tom koraku?
    6. Koliki je zbroj svih površina obojenih trokuta u 1. koraku, koliki u 2., 3., 4., 10., n -tom koraku?

    Ponovimo

    Kolekcija zadataka 1

    Zadatak 1.

    Povežite slike i pojmove.

     

    Na slici je trokut ABC, točka D na stranici AC takva da je AD=CD.
    Dužina B D ¯ jest
    Na slici je trokut ABC, točka D na stranici AC takva da je AD=CD. Pravac ED okomit je na stranicu AC.
    Pravac D E jest
    Na slici je trokut ABC i polupravac BD.
    Ako je ∠ A B D ≅ ∠ D B C , onda je polupravac B D
    Na slici je trokut ABC i dužina BD okomita na stranicu AC.
    Dužina B D ¯ jest
    Na slici je trokut ABC i polovišta D i E stranica BC i AC.
    Dužina D E ¯ jest
    null
    null

    Zadatak 2.

    Označite točane odgovore.

    1. Ako je △ P Q R ≅ △ X Y Z , onda je

      null
      null

    2. Ako je △ R S T ∼ △ I J K , onda je

      null
      null

    Zadatak 3.

    Na slici su dva okomita pravca središtem kvadrata.

    Središtem kvadrata konstruirana su dva okomita pravca. Dokažite da su odsječci tih pravaca unutar kvadrata jednakih duljina.

    Na slici su dva okomita pravca središtem kvadrata. Označeni su sukladni trokuti.

    Dokažite po K-S-K poučku sukladnost označenih trokuta na slici.

    Zadatak 4.

    U pravokutnom trokutu P Q R s pravim kutom u vrhu R konstruirana je srednjica S T ¯   paralelna sa stranicom Q R ¯ . Izračunajte površinu trapeza Q R T S ako je Q R = 6.4 cm , R P = 5.2 cm .

    Na slici je srednjica trokuta.

    Površina je 12.48 cm 2 .

    Zadatak možemo riješiti na više načina:

    1. način: direktno računamo površinu trapeza S T = 1 2 Q R = 3.2 cm , R T = 1 2 R P = 2.6 cm .
    2. način: površina trokuta S T P jest p △ S T P = 1 4 p △ Q R P pa je površina trapeza p = 3 4 p △ Q R P = 3 4 · 6.4 · 5.2 2 = 12.48 cm 2 .

    Zatvori

    Kolekcija zadataka 2

    Zadatak 5.

    Na slici je okrugli .

    Krojačica želi iskoristiti ostatak platna trokutastog oblika kako bi napravila okrugli stolnjak što većeg promjera. Dimenzije platna iznose 220 cm , 290 cm i 315 cm . Promjer okruglog stola za koji želi izraditi stolnjak jest 120 cm . Hoće li moći izraditi dovoljno velik stolnjak?

    Treba izračunati polumjer trokutu upisane kružnice. Površinu trokuta izrazimo na dva načina: Heronovom formulom i formulom za površinu trokuta pomoću polumjera upisane kružnice.

    s s - a s - b s - c = r s
    2 s s - a s - b s - c s = 2 r
    2 r = 149.32 cm  

    Krojačica će moći izraditi dovoljno velik stolnjak.

    Zadatak 6.

    Na slici je skica zadatka s podatcima.

    Promotrite sliku pa odgovorite na pitanja.

    Zatvori

    1. Trokuti O P M i L K M sukladni su.

      null
      null

    2. Trokuti O P M i L K M slični su.

      null
      null

    3. Odgovarajući elementi trokuta O P M i L K M jesu

      ∠ M P O   ​
      		∠ M L K   ​
      ∠ M O P  
      		∠ L M K   ​
      ∠ O M P  
      		K M ¯   
      O P ¯   ​
      		L M ¯   ​
      O M ¯   ​
      		∠ M K L   ​
      P M ¯   ​
      		L K ¯   
      null
      null
    4. Koeficijent sličnosti trokuta O P M i L K M  jest .
      null
      null
    5. Duljina stranice L M ¯ jest .

      null
      null
    6. Duljina stranice O P ¯ jest .
      null
      null

    Zadatak 7.

    Promotrite likove na slici. Odredite središte i koeficijent homotetije kojom se manji lik preslikava u veći. Postavite središte homotetije na sliku.

    Na slici su mala i velika kuća,

    S   ​

    null
    null
    Koeficijent homotetije jest .
    null
    null

    Četvrta geometrijska proporcionala

    Neka su zadane tri dužine i njihove duljine a , b , c . Četvrta geometrijska proporcionala jest dužina duljine x = a b c . Promotrite konstrukciju četvrte geometrijske proporcionale.

    Zadatak 8.

    Opravdajte ispravnost konstrukcije četvrte geometrijske proporcionale.

    Feuerbachova kružnica ​

    Zadatak 9.

    Prisjetite se Eulerova pravca pa označite točne odgovore.

    Eulerovu pravcu uvijek pripadaju

    null
    null

    Eulerov pravac nije jedina zanimljiva veza između točaka trokuta. Istražit ćete još jednu zanimljivu vezu.

    Zadatak 10.

    U interaktivnom predlošku nacrtan je raznostranični trokut A B C .

    Povećaj ili smanji interakciju
    Na slici je Feuerbachova kružnica devet točaka.

    Devet točaka D , E , F , G , H , I , K , L , M leži na istoj kružnici. Ta se kružnica zove Feuerbachova kružnica devet točaka. Njezino središte leži na Eulerovu pravcu, a polumjer joj je dvostruko manji od polumjera trokutu opisane kružnice.

    Zanimljivost

    Na slici je Karl Wilhelm Feuerbach.

    Kružnica devet točaka ili Feuerbachova kružnica sadrži: 3 polovišta stranica trokuta, 3 nožišta visina i 3 polovišta dužina koje spajaju vrh trokuta s ortocentrom. Ovu su vezu 1802. godine otkrili francuski matematičari Brianchon i Poncelet, a dokazao ju je godinu dana poslije njemački matematičar Karl Wilhelm Feuerbach.​

    Kutak za znatiželjne

    U interakciji smo se uvjerili da bez obzira na to kako mijenjamo položaj vrhova trokuta, devet istaknutih točaka pripada istoj kružnici. Naravno, to nije matematički dokaz, nego provjeravanje velikog broja konkretnih primjera. Kako dokazati da za proizvoljni trokut A B C 3 polovišta stranica trokuta, 3 nožišta visina i 3 polovišta dužina koje spajaju vrh trokuta s ortocentrom pripadaju istoj kružnici? Dokaz se provodi u nekoliko koraka. Možete ga pročitati na linku http://mnm.hr/wp-content/uploads/2016/10/Feuerbachova_kruznica.pdf .

    ...i na kraju

    Na slici je trkaća staza.

    Mještani triju naselja dogovaraju se o izgradnji zajedničkih sportskih terena. Žele izgraditi terene na prostoru između svojih naselja. Naselja su udaljena 22 km , 23 km i 16 km , a već su izgrađene ravne ceste koje spajaju naselja. Dio projekta izgradnje terena jest i izgradnja prilaznih cesta kako bi sva tri naselja bila povezana s terenima. Predložite moguće položaje za izgradnju terena kao i prilaznih cesta uzimajući u obzir različite kriterije: udaljenost terena do pojedinih naselja, duljine prilaznih cesta, ukupne duljine puta do terena. Predočite prednosti pojedinih položaja, odredite duljine prilaznih cesta, obrazložite jesu li prijedlozi pravedni, je li neki prijedlog povoljniji za neka naselja.