8.7 Homotetija

Homotetija

Kako to izgleda.

Primjer 1.

Neka je zadano središte homotetije $S$ i točka ravnine $T.$ Konstruirajmo točku $T\text{'}$ ako je koeficijent homotetije jednak $3.$

Nacrtajmo pravac $ST.$ Budući da je $k=3,$ točke su s iste strane točke $S.$ A mora vrijediti da je $\left|ST\text{'}\right|=3·\left|ST\right|,$ dužinu $\overline{ST}$ nanesemo tri puta na pravac $ST,$ počevši od točke $S.$ Tako ćemo dobiti točku $T\text{'}.$

Uočimo da je za svaku homotetiju slika točke opet točka. Istaknimo još neka svojstva homotetije.

Pri preslikavanju homotetijom s koeficijentom homotetije $k$ 

1. pravac se preslika u pravac paralelan s njim
2. kut se preslika u njemu sukladan kut
3. dužina $\overline{AB}$ preslika se u paralelnu dužinu $\overline{A\text{'}B\text{'}}$ čija je duljina $\left|A\text{'}B\text{'}\right|=\left|k\right|·\left|AB\right|.$
   

Primjer 2.

Konstruirajmo homotetičnu sliku dužine​ $\overline{AB}$ ako je točka $S$ središte homotetije, a $k=2.5$ koeficijent homotetije.

Zamislimo da smo svakoj točki dužine $\overline{AB}$ konstruirali homotetičnu sliku, dobili smo dužinu $\overline{A\text{'}B\text{'}}.$ 

Mijenjajte koeficijent homotetije i pomičite središte homotetije. Možete li predvidjeti gdje će se nalaziti slika?

Koeficijent homotetije

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Točka $T$ se homotetijom sa središtem $S$ i koeficijentom homotetije $k$ preslikala u točku $T\text{'}.$ Odaberite odgovarajući koeficijent homotetije za svaku sliku.

1. 
   

   

   $k=\frac{1}{2}$   ​

   ​ $k=-\frac{1}{2}$ 

   $k=-1$  ​

   $k=\frac{5}{2}$  ​

   

   null

   null

2. 
   

   

   $k=\frac{5}{2}$​

   $k=-1$​

   ​ $k=-\frac{1}{2}$

   $k=\frac{1}{2}$​

   

   null

   null

3. 
   

   

   $k=\frac{1}{2}$​

   ​ $k=-\frac{1}{2}$

   $k=-1$​

   $k=\frac{5}{2}$​

   

   null

   null

4. 
   

   

   $k=\frac{1}{2}$​

   ​ $k=-\frac{1}{2}$

   $k=-1$​

   $k=\frac{5}{2}$​

   

   null

   null

Zadatak 2.

Na slici je prikazana homotetija sa središtem $S$ kojom se dužina $\overline{AB}$ preslikala u dužine $\overline{A_1{B}_1},$ $\overline{A_2{B}_2},$ $\overline{A_3{B}_3}$ i $\overline{A_4{B}_4}.$

Za svaku od njih odredite koeficijent homotetije.
Za dužinu $\overline{A_1{B}_1}$ koeficijent homotetije $k=$ , za dužinu $\overline{A_2{B}_2}$ koeficijent homotetije $k=$ , za dužinu $\overline{A_3{B}_3}$ koeficijent homotetije $k=$ i za dužinu $\overline{A_4{B}_4}$ koeficijent homotetije $k=$ .

null

null

Zatvori

Primjer 3.

Nacrtajmo homotetičnu sliku pravokutnika $ABCD$ ako je zadano središte homotetije $S$ i koeficijent homotetije $k=2.$

Preslikali smo vrhove pravokutnika $ABCD$ u točke $A\text{'},B\text{'},C\text{'},D\text{'},$ vrhove novoga pravokutnika.

Svaka se stranica početnog pravokutnika preslikala u njoj paralelnu, a duljina je svake stranice novoga pravokutnika jednaka dvostrukoj duljini stranice početnog pravokutnika.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Preslikajte homotetijom lik prikazan na slici ako je točka $S$ središte homotetije, a koeficijent homotetije $k=3.$

Rješenje

---

Zadatak 4.

1. 

   
   

   ​Kvadrat $ABCD$ preslikao se homotetijom u kvadrat $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}.$ Koliki je koeficijent homotetije?

   $\frac{1}{3}$​

   $\frac{1}{2}$  ​

   $2$ 

   $3$  ​

   

   null

   null

2. 

   
   

   Trapez $ABCD$ preslikao se homotetijom u trapez $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}.$ Koliki je koeficijent homotetije?

   $\frac{1}{3}$  ​

   $\frac{1}{2}$  ​

   $2$  

   $3$  

   

   null

   null

3. 

   
   

   Trokut $ABC$ preslikao se homotetijom u trokut $A\text{'}B\text{'}C\text{'}.$ Koliki je koeficijent homotetije?

   $\frac{1}{3}$  ​

   $\frac{1}{2}$  

   $3$  ​

   $4$  ​

   

   null

   null

4. 

   
   

   ​Lik $ABCD$ preslikao se homotetijom u $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}.$ Koliki je koeficijent homotetije?

   $\frac{1}{3}$  ​

   $\frac{1}{2}$ 
   

   $3$  ​

   $4$  

   

   null

   null

Zatvori

Središte homotetije

Podsjetimo se, homotetija je zadana koeficijentom homotetije i središtem homotetije. Koeficijent homotetije određuje veličinu lika koji dobijemo preslikavanjem.

Na sljedećim je slikama prikazan pravokutnik $ABCD$ preslikan homotetijom u pravokutnik $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}.$

Ima li sličnosti?

Sva su tri pravokutnika  $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ sukladna, odnosno dimenzije su im iste. Koeficijent homotetije jednostavno je odrediti, gledamo koliko je puta duljina stranice homotetične slike veća ili manja od duljine odgovarajuće stranice početnog pravokutnika. Zaključimo da je koeficijent homotetije  $k=3.$

U čemu je razlika ako je koeficijent homotetije isti?

Kada je zadano središte homotetije, koeficijent homotetije i početni lik, znamo konstruirati homotetičnu sliku. Kako iz početnoga lika i homotetične slike odrediti središte homotetije?

Pogledajmo animaciju.

Zadatak 5.

Kutak za znatiželjne

U bilježnicu nacrtajte koordinatni sustav i u njemu peterokut s vrhovima $A(-6,-3),B(3,0),C(9,-3),D(6,6)$ i $E(-3,9).$ Opišite što se dogodi s peterokutom kada sve koordinate vrhova pomnožimo s $\frac{2}{3}?$

Početni smo peterokut $ABCDE$ homotetijom sa središtem u ishodištu i koeficijentom homotetije $\frac{2}{3}$ preslikali u peterokut $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}E\text{'}.$

Dokažite da su odgovarajuće stranice peterokuta paralelne. Kako im se odnose duljine? Provjerite.