Matematika 1 - 8.8 Sličnost

Sličnost trokuta

Primjer 1.

Kada su dva trokuta slična, odnosno kada su istoga oblika?

Nacrtajmo dva slična trokuta.

Što možemo reći o njima? U čemu se ogleda njihov isti oblik?

Očito im se kutovi podudaraju.

Dva su trokuta $A B C$ i $A' B' C'$ slična ako i samo ako se podudaraju u sva tri kuta, odnosno $α = α', β = β', γ = γ' .$

Pišemo $△ A B C \sim △ A' B' C'$ i čitamo: trokut $A B C$ i $A' B' C'$ slični su.

Proučimo u interakciji još jedno svojstvo sličnih trokuta.

Ako su dva trokuta slična, tada su im odgovarajuće stranice proporcionalne, odnosno

$△ A B C \sim △ A' B' C' \Rightarrow \frac{|A' B'|}{|A B|} = \frac{|B' C'|}{|B C|} = \frac{|A' C'|}{|A C|} .$

Omjer duljina odgovarajućih stranica sličnih trokuta naziva se koeficijent sličnosti.

Zadatak 2.

Na slici su prikazana dva slična trokuta. Izračunajte nepoznate duljine stranica.

$|a'| =$ , $|c'| =$

null

null
$|A' C'| =$ , $|B' C'| =$

null

null
$|b'| =$ , $|c'| =$

null

null

Kada ćemo za neka dva trokuta moći zaključiti da su slični?

Poučci o sličnosti trokuta

Znamo u kakvu su međusobnom odnosu duljine stranica sličnih trokuta. Proučimo sada kakvi su trokuti kojima su duljine stranica proporcionalne.

Dva su trokuta slična ako i samo ako su im duljine odgovarajućih stranica proporcionalne. Ovaj poučak nazivamo S-S-S poučak o sličnosti trokuta.

Zadatak 3.

Provjerite.

Ako duljine stranica jednoga trokuta iznose $13 cm,$ $16 cm$ i $20 cm,$ a drugoga trokuta $19.5 cm,$ $24 cm$ i $30 cm,$ ta su dva trokuta slična.

Da

Ne

null

null
Ako duljine stranica jednoga trokuta iznose $6 cm,$ $8 cm$ i $12 cm,$ a drugoga trokuta $9.8 cm,$ $12.8 cm$ i $19.8 cm,$ ta su dva trokuta slična.

Da

Ne

null

null
Ako duljine stranica jednoga trokuta iznose $20 cm,$ $35 cm$ i $48 cm,$ a drugoga trokuta $10.5 cm,$ $6 cm$ i $14.4 cm,$ ta su dva trokuta slična.

Da

Ne

null

null
Ako duljine stranica jednoga trokuta iznose $5.5 m,$ $2.4 m$ i $3.2 m,$ a drugoga trokuta $3.3 cm,$ $1.92 cm$ i $1.44 cm,$ ta su dva trokuta slična.

Da

Ne

null

null

Primjer 2.

Za dva slična trokuta $A B C$ i $A' B' C'$ vrijedi $\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} = k .$ Možemo li reći u kakvu su odnosu opsezi tih trokuta?

Proučimo u interakciji.

Zadatak 4.

Dokažite dobivenu tvrdnju.

Iz proporcionalnosti duljina stranica možemo zapisati $a' = k a,$ $b' = k b,$ $c' = k c .$

Tada je opseg sličnog trokuta $o' = a' + b' + c' = k a + k b + k c = k (a + b + c) = k \cdot o .$

Možemo zapisati $\frac{o'}{o} = k,$ odnosno opsezi sličnih trokuta također su proporcionalni.

Neka su $A B C$ i $A' B' C'$ slični trokuti s koeficijentom sličnosti $k .$ Tada je $\frac{o'}{o} = k,$ tj. opsezi sličnih trokuta odnose se kao omjeri odgovarajućih stranica trokuta.

Zadatak 5.

Duljine stranica jednoga trokuta iznose $6 cm,$ $18 cm$ i $21 cm,$ a najkraća stranica njemu sličnog trokuta iznosi $4 cm .$ Izračunajte opseg drugoga trokuta.

Opseg prvoga trokuta iznosi $45 cm,$ a koeficijent sličnosti jest $k = \frac{2}{3}$ pa je opseg drugoga trokuta jednak $30 cm .$

Dva su trokuta slična ako i samo ako su im dva kuta sukladna. Ovaj poučak nazivamo K-K poučak o sličnosti trokuta.

Na slici su prikazana dva trokuta s duljinama nekih stranica i označenim sukladnim kutovima.

Poredajte korake dokaza sličnosti tih dvaju trokuta.
$△ A B C \sim △ D E F$

$∠ B A C ≅ ∠ E D F i$

$∠ C B A ≅ ∠ F E D \Rightarrow$
null

null
Koliki je koeficijent sličnosti?

$1.4$

$3.5$

null

null
Duljina stranice $\bar{A B}$ jednaka je

null

null

S-K-S poučak o sličnosti trokutaDva su trokuta slična ako i samo ako im je jedan kut sukladan, a stranice uz taj kut proporcionalne. Ovaj poučak nazivamo S-K-S poučak o sličnosti trokuta.

Na slici je ilustracija S-K-S poučka o sličnosti trokuta.

Neka su dana dva trokuta $A B C$ i $A' B' C'$ takva da je $∠ B A C ≅ ∠ B' A' C'$ i $\frac{|A' B'|}{|A B|} = \frac{|A' C'|}{|A C|} .$

Budući da su kutovi u vrhu $A$ i $A'$ sukladni, trokute možemo preklopiti na sljedeći način.

Na slici je skica dokaza S-K-S poučka o sličnosti trokuta.

Prema obratu Talesova poučka, stranice $\bar{B C}$ i $\bar{B' C'}$ paralelne su. Iz toga slijedi da su i ostala dva kuta trokuta sukladna pa su trokuti slični.

Zadatak 6.

Na stranicama $\bar{A C}$ i $\bar{B C}$ trokuta $A B C$ nalaze se točke $D$ i $E$ takve da je $|A D| = 27, |B E| = 7, |C D| = 6, |C E| = 11 .$ Dokažite da je $△ A B C \sim △ E D C .$

Kut u vrhu $C$ zajednički je. Dokažimo još proporcionalnost stranica.

Izračunajmo duljine stranica trokuta $A B C$ koje odgovaraju stranicama $\bar{E C}$ i $\bar{B D} .$ To su $|A C| = 33, |B C| = 18 .$

Provjerimo omjere $\frac{|A C|}{|E C|} = \frac{33}{11} = 3,$ $\frac{|B C|}{|B D|} = \frac{18}{6} = 3,$ što znači da su duljine odgovarajućih stranica proporcionalne pa su trokuti slični.

Računanje trokuta koristeći sličnost

Uočili smo već da su opsezi sličnih trokuta također proporcionalni. Što je s ostalim mjerivim elementima trokuta kao što su visina, težišnica, površina?

Zadatak 7.

Dokažite da su visine sličnih trokuta proporcionalne.

Poredajte korake dokaza.

po K-K poučku $\Rightarrow △ A N C \sim △ A' N' C'$
$∠ B A C ≅ ∠ B' A' C' i$
$\Rightarrow \frac{v'}{v} = \frac{|A' C'|}{|A C|} = k$
$∠ C N A ≅ ∠ C' N' A'$

null

Analogno se dokaže za ostale visine u trokutu.

Neka su $A B C$ i $A' B' C'$ slični trokuti s koeficijentom sličnosti $k .$ Tada je $\frac{v_{a'}}{v_{a}} = \frac{v_{b'}}{v_{b}} = \frac{v_{c'}}{v_{c}} = k,$ tj. visine sličnih trokuta odnose se kao omjeri odgovarajućih stranica trokuta.

Kutak za znatiželjne

Dokažite sami slične tvrdnje za težišnice i simetrale kutova sličnih trokuta.

Možemo li isto tvrditi za površine sličnih trokuta? Pogledajmo u interakciji.

Što smo zaključili?

Neka su $A B C$ i $A' B' C'$ slični trokuti s koeficijentom sličnosti $k .$ Tada je $\frac{p'}{p} = k^{2},$ tj. površine sličnih trokuta odnose se kao kvadrati omjera odgovarajućih stranica trokuta.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 8.

Dokažite ovu tvrdnju.

Neka su $p$ i $p'$ površine sličnih trokuta. Tada je

$\frac{p'}{p} = \frac{\frac{1}{2} a' \cdot v_{a'}}{\frac{1}{2} a \cdot v_{a}} = \frac{a'}{a} \cdot \frac{v_{a'}}{v_{a}} = k \cdot k = k^{2} .$

Zadatak 9.

Riješite sljedeće zadatke.

Zadane su duljine kateta pravokutnog trokuta

a = 10, b = 14 .

Površina toga trokuta jest

{cm}^{2} .

Duljina kraće katete njemu sličnoga trokuta jest

a' = 6 cm .

Koeficijent sličnosti jest

\frac{a'}{a} =

. Površina sličnog trokuta iznosi

{cm}^{2}

null

Zatvori

8.8 Sličnost

Na početku...

Zanimljivost

Zadatak 1.

Sličnost trokuta

Zadatak 2.

Poučci o sličnosti trokuta

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Računanje trokuta koristeći sličnost

Zadatak 7.

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 8.

Zadatak 9.

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

8.9 Euklidov poučak

su im duljine odgovarajućih stranica proporcionalne.
su im dva kuta sukladna.
im je jedan kut sukladan, a stranice uz taj kut proporcionalne.