2.2 Računanje s logaritmima

Pojam logaritma

U prošlom ste zadatku za zadani argument određivali vrijednost funkcije $f\left(x\right)=2^x.$

Popunite tablicu tako da za zadanu vrijednost funkcije odredite argument.

$-1$

$-2$

$0$

$2$

$1$

null

null

Logaritam

Logaritam broja $y$ po bazi $a$ jest eksponent kojim treba potencirati zadanu bazu $a$ da bi se dobio $y.$ Dakle,

ako je $a^x=y,$ onda je ${\log }_{a}y=x.$

Primjer 1.

Izračunajmo.

${\log }_{3}81=4,$ zato što je $3^4=81$ 

${\log }_{10}10000=4,$ zato što je ${10}^4=10000$ 

${\log }_{16}\frac{1}{4}=-\frac{1}{2},$ zato što je ${16}^{-\frac{1}{2}}=4$

Pravila za računanje s logaritmima

Pravila za računanje s logaritmima

${\log }_{a}a=1,$ zato što je $a^1=a$

${\log }_{a}1=0,$ zato što je $a^0=1$

${\log }_a\left(m·n\right)={\log }_{a}m+{\log }_{a}n$ $m,$ $n>0$ (pravilo umnoška)

${\log }_a{m}^p=p·{\log }_{a}m$ $m>0$ (pravilo potencije)

${\log }_a\frac{m}{n}={\log }_{a}m-{\log }_{a}n$ $m,$ $n>0$ (pravilo kvocijenta)

${\log }_a{a}^x=x$

${\log }_{x}a+{\log }_{x}b={\log }_x\left(a·b\right)$

Da

Ne

null

null

${\log }_{x}a-{\log }_{x}b={\log }_x\left(a-b\right)$  ​

Da

Ne

null

null

$\frac{{\log }_{x}a}{n}={\log }_x\sqrt[n]{a}$  ​

Da

Ne

null

null

${\log }_a{\left(ab\right)}^n=n+n{\log }_{a}b$  ​

Da

Ne

null

null

Ako je ​ ${\log }_{a}x=2$ i ${\log }_{a}y=7,$ onda je ​ ${\log }_a\left(x·y\right)=$

$5$

$14$

$9$

null

null

Primjer 2.

Primijenimo pravila za računanje s logaritmima na sljedećim zadatcima.

1. ${\log }_5\left(5·25\right)={\log }_{5}5+{\log }_{5}25=1+2=3$
2. ${\log }_{10}{100}^3=3{\log }_{10}100=3·2=6$
3. ${\log }_{b}32-{\log }_{b}8={\log }_b\frac{32}{8}={\log }_{b}4$
4. ${\log }_{n}10000-{\log }_{n}100={\log }_n(10000:100)={\log }_{n}100$
5. ${\log }_2\left(\frac{4}{b}\right)={\log }_{2}4-{\log }_{2}b=2-{\log }_{2}b$
6. $\frac{1}{2}{\log }_{x}a-{\log }_{x}2={\log }_x{a}^{\frac{1}{2}}-{\log }_{x}2={\log }_x\sqrt{a}-{\log }_{x}2={\log }_x\frac{\sqrt{a}}{2}$

Povežite odgovarajuće parove.

${\log }_{2}10-{\log }_{2}5$	$5$
${\log }_{2}32$	$-3$
${\log }_{11}{11}^{-3}$	$\frac{1}{2}$
${\log }_7\sqrt[4]{49}$	$1$

null

null

Primjer 3.

U sljedećem videu pogledajte jedan složeniji primjer.