U prirodi svaki dan susrećemo kružne oblike. Priroda ih stvara savršene. Pogledajmo neke primjere savršenstva prirode. I čovjek prema uzoru na prirodu pokušava napraviti savršene oblike.
Kružnicu možemo zadati jednadžbom ili grafički. Za jedan i drugi oblik potrebni su nam središte i polumjer. Iz jednadžbe (x-p)2+(y-q)2=r2(x−p)2+(y−q)2=r2 lako iščitamo koordinate središta S(p,q)S(p,q) i polumjer kružnice r.r.
Iz grafičkog prikaza očitamo koordinate središta i jedne točke na kružnici i izračunamo njihovu udaljenost kako bismo dobili polumjer kružnice.
Što ako nam kružnica nije zadana tako da odmah možemo iščitati koordinate i polumjer?
Opći je oblik jednadžbe kružnice
x2+y2+Ax+By+C=0,A,B,C∈R.x2+y2+Ax+By+C=0,A,B,C∈R.
Uočite da je uz
x2iy2x2iy2 koeficijent
1.1. Jedino u tom obliku takva jednadžba može biti jednadžba kružnice. Kako tako zadanoj kružnici odrediti koordinate središta i polumjer?
Prisjetimo se najprije formule za kvadrat binoma.
Složite formule za kvadrat zbroja i kvadrat razlike.
(x+y)2=(x+y)2=
|
x2-2xy+y2x2−2xy+y2 |
(x-y)2=(x−y)2=
|
x2+2xy+y2x2+2xy+y2 |
Svaku stranu dobivenih formula imenujte.
x2±2xy+y2x2±2xy+y2
|
kvadrat binoma |
(x±y)2(x±y)2
|
potpun kvadrat |
Primjer 1.
Odredimo koordinate središta i polumjer kružnice x2+y2+4x-2y-13=0.x2+y2+4x−2y−13=0.
S(-2,1),r=3√2S(−2,1),r=3√2
Poopćimo postupak prijelaza iz standardnog oblika u opći oblik jednadžbe kružnice.
Počnimo od poznate jednadžbe kružnice
(x-p)2+(y-q)2=r2, S(p,q)(x−p)2+(y−q)2=r2, S(p,q) je središte i
rr polumjer dane kružnice. Kvadriranjem i sređivanjem izraza dolazimo do opće jednadžbe kružnice
x2+y2+Ax+By+C=0.x2+y2+Ax+By+C=0. Prikažimo realne koeficijente
A,BiCA,BiC s pomoću poznatih koordinata središta i polumjera,
p,qir.p,qir.
Označite redoslijed koraka prijelaza iz jednog oblika jednadžbe kružnice u drugi.
x2+y2-2px-2qy+p2+q2=r2x2+y2−2px−2qy+p2+q2=r2 | |
x2+y2-2px-2qy+p2+q2-r2=0x2+y2−2px−2qy+p2+q2−r2=0 | |
x2-2px+p2+y2-2qy+q2=r2x2−2px+p2+y2−2qy+q2=r2 |
Povežite koeficijente
A,BiCA,BiC iz općeg oblika jednadžbe kružnice s dobivenim koeficijentima uz nepoznanice i sa slobodnim koeficijentom.
B=B=
|
-2p−2p |
C=C=
|
-2q−2q |
A=A=
|
p2+q2-r2p2+q2−r2 |
Čemu je jednak
r2?r2?
Za polumjer se često koristi riječ radijus (latinskog je podrijetla, od nje dolazi i oznaka
r). Pojam se prvi put pojavljuje 1569. godine u Geometriji (djelo francuskog matematičara Ramusa), ali je opće prihvaćen tek u 17. stoljeću. U ovom kontekstu prvi put ga spominje Ciceron u često citiranoj rečenici: Krug je sastavljen od jednakih radijusa koji izlaze iz njegova središta.
Primjer 2.
Iz općeg oblika jednadžbe kružnice x2+y2-2x=4 odredimo koordinate središta i polumjer.
Izjednačimo koeficijente s izrazima koje smo dobili kvadriranjem standardnog oblika jednadžbe kružnice.
-2p=-2⇒p=1-2q=0⇒q=0r2=12+0-(-4)⇒r2=5}
S(1,0),r=√5
Na isti način riješte sljedeće zadatke.
Vidjeli smo da nije baš svaki oblik x2+y2+Ax+By+C=0 jednadžba kružnice.
Možete li odrediti uvjete kada je kružnica dobro zadana, odnosno kada postoji
r>0?
Iz linearnih koeficijenata pronađemo koordinate središta moguće kružnice te
s pomoću sljedećih uvjeta
provjerimo postoji li neprazan skup točaka opisan jednadžbom.
p2+q2=C
|
Skup opisan jednadžbom je prazan skup. |
p2+q2<C
|
Skup opisan jednadžbom je točka. |
p2+q2>C
|
Skup opisan jednadžbom je kružnica. |
Koje jednadžbe opisuju
skupove točaka različitih od praznog skupa?
Zapamtimo!
Rješenje jednadžbe x2+y2+Ax+By+C=0 ovisi o tome postoji li realni broj r za koji vrijedi r2=A24+B24-C.
Uvjet | Skup točaka
(x,y)
u ravnini opisan jednadžbom
|
---|---|
A24+B24>C | kružnica
k(S(p,q),r) |
A24+B24=C | točka
S(p,q) |
A24+B24<C | prazan skup |
Usavršite vještinu traženja središta i polumjera iz zadane jednadžbe kružnice s pomoću sljedeće interakcije. Rješenje prikažite grafički pomicanjem točke središta i točke na kružnici kojom određujete polumjer kružnice.