x
Učitavanje

9.2 Opći oblik jednadžbe kružnice

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica

Na početku...

U prirodi svaki dan susrećemo kružne oblike. Priroda ih stvara savršene. Pogledajmo neke primjere savršenstva prirode. I čovjek prema uzoru na prirodu pokušava napraviti savršene oblike.

Kružnice u prirodi
Kružnice u prirodi

Kružnicu možemo zadati jednadžbom ili grafički. Za jedan i drugi oblik potrebni su nam središte i polumjer. Iz jednadžbe (x-p)2+(y-q)2=r2(xp)2+(yq)2=r2 lako iščitamo koordinate središta S(p,q)S(p,q) i polumjer kružnice r.r.


Jednadžba i graf kružnice
Kružnica i njezina jednadžbe

Iz grafičkog prikaza očitamo koordinate središta i jedne točke na kružnici i izračunamo njihovu udaljenost kako bismo dobili polumjer kružnice.

Što ako nam kružnica nije zadana tako da odmah možemo iščitati koordinate i polumjer?

Opći oblik jednadžbe kružnice

Opći je oblik jednadžbe kružnice

x2+y2+Ax+By+C=0,A,B,CR.x2+y2+Ax+By+C=0,A,B,CR.

Uočite da je uz x2iy2x2iy2 koeficijent 1.1. Jedino u tom obliku takva jednadžba može biti jednadžba kružnice. Kako tako zadanoj kružnici odrediti koordinate središta i polumjer?

Prisjetimo se najprije formule za kvadrat binoma.

Složite formule za kvadrat zbroja i kvadrat razlike.

(x+y)2=(x+y)2=  
x2-2xy+y2x22xy+y2 
(x-y)2=(xy)2= 
x2+2xy+y2x2+2xy+y2 
null
null

Svaku stranu dobivenih formula imenujte.

  x2±2xy+y2x2±2xy+y2 
kvadrat binoma
  (x±y)2(x±y)2 
potpun kvadrat
null
null

Primjer 1.

Odredimo koordinate središta i polumjer kružnice x2+y2+4x-2y-13=0.x2+y2+4x2y13=0.

Pogledajte animaciju kako, svođenjem na potpun kvadrat, opći oblik jednadžbe kružnice prelazi u standardni. Iz standardnog oblika znamo odrediti koordinate središta i polumjer.
00:00
00:00
 

S(-2,1),r=32S(2,1),r=32

 

Kružnica zadana grafički
Kružnica zadana grafički

Zadatak 1.

Iz grafičkog prikaza odredite opći oblik jednadžbe kružnice.

S(2,-3),T(0,0)S(2,3),T(0,0)r=(0-2)2+(0+3)2=13r=(02)2+(0+3)2=13
x2+y2-4x+6y=0x2+y24x+6y=0

Poopćimo postupak prijelaza iz standardnog oblika u opći oblik jednadžbe kružnice.


Počnimo od poznate jednadžbe kružnice (x-p)2+(y-q)2=r2, S(p,q)(xp)2+(yq)2=r2, S(p,q) je središte i rr polumjer dane kružnice. Kvadriranjem i sređivanjem izraza dolazimo do opće jednadžbe kružnice x2+y2+Ax+By+C=0.x2+y2+Ax+By+C=0. Prikažimo realne koeficijente  A,BiCA,BiC s pomoću poznatih koordinata središta i polumjera,  p,qir.p,qir.

Označite redoslijed koraka prijelaza iz jednog oblika jednadžbe kružnice u drugi.

x2+y2-2px-2qy+p2+q2=r2x2+y22px2qy+p2+q2=r2 
x2+y2-2px-2qy+p2+q2-r2=0x2+y22px2qy+p2+q2r2=0
x2-2px+p2+y2-2qy+q2=r2x22px+p2+y22qy+q2=r2
null

Povežite koeficijente A,BiCA,BiC iz općeg oblika jednadžbe kružnice s dobivenim koeficijentima uz nepoznanice i sa slobodnim koeficijentom.

  B=B= 
-2p2p 
  C=C= 
-2q2q 
  A=A= 
p2+q2-r2p2+q2r2 
null
null

Čemu je jednak r2?r2?

null
null

Zanimljivost

Za polumjer se često koristi riječ radijus (latinskog je podrijetla, od nje dolazi i oznaka r). Pojam se prvi put pojavljuje 1569. godine u Geometriji (djelo francuskog matematičara Ramusa), ali je opće prihvaćen tek u 17. stoljeću. U ovom kontekstu prvi put ga spominje Ciceron u često citiranoj rečenici: Krug je sastavljen od jednakih radijusa koji izlaze iz njegova središta.

Primjer 2.

Iz općeg oblika jednadžbe kružnice x2+y2-2x=4 odredimo koordinate središta i polumjer.

Izjednačimo koeficijente s izrazima koje smo dobili kvadriranjem standardnog oblika jednadžbe kružnice.

-2p=-2p=1-2q=0q=0r2=12+0-(-4)r2=5}  S(1,0),r=5 


Na isti način riješte sljedeće zadatke.

Skup točaka u ravnini opisan jednadžbom x2+y2+Ax+By+C=0

Vidjeli smo da nije baš svaki oblik x2+y2+Ax+By+C=0 jednadžba kružnice.

Možete li odrediti uvjete kada je kružnica dobro zadana, odnosno kada postoji r>0?

Iz linearnih koeficijenata pronađemo koordinate središta moguće kružnice te s pomoću sljedećih uvjeta provjerimo postoji li neprazan skup točaka opisan jednadžbom.

p2+q2=C 
Skup opisan jednadžbom je prazan skup.
p2+q2<C 
Skup opisan jednadžbom je točka.
p2+q2>C 
Skup opisan jednadžbom je kružnica.
null
null

Koje jednadžbe opisuju skupove točaka različitih od praznog skupa?

null
null

...i na kraju

Zapamtimo!

Rješenje jednadžbe x2+y2+Ax+By+C=0 ovisi o tome postoji li realni broj  r  za koji vrijedi r2=A24+B24-C.

Uvjet Skup točaka (x,y)  u ravnini opisan jednadžbom
A24+B24>C  kružnica k(S(p,q),r) 
A24+B24=C  točka S(p,q) 
A24+B24<C  prazan skup

Usavršite vještinu traženja središta i polumjera iz zadane jednadžbe kružnice s pomoću sljedeće interakcije. Rješenje prikažite grafički pomicanjem točke središta i točke na kružnici kojom određujete polumjer kružnice.

Povratak na vrh