a)
Zadane točke su $A(-2,2),$  $B(2,4)$ i  $C(7,-1).$ Točke tvore trokut koji je upisan u traženu kružnicu.

Prisjetimo se!

Središte trokutu opisane kružnice nalazi se u sjecištu simetrala stranica. Trebamo pronaći jednadžbe dviju simetrala stranica i njihovo sjecište.

Odredimo simetralu stranice $\overline{BC}.$ Simetrala prolazi polovištem stranice $\overline{BC}$ i okomita je na stranicu $.$

$P_{BC}=\left(\frac{2+7}{2},\frac{4-1}{2}\right)=\left(\frac{9}{2},\frac{3}{2}\right).$

Odredimo sada koeficijent smjera pravca na kojem leži stranica $\overline{BC}:$

$k_{BC}=\frac{-1-4}{7-2}=-\frac{5}{5}=-1$

Kako je koeficijent smjera pravca na kojem leži stranica $-1,$ zaključujemo da je koeficijent smjera simetrale $1.$

$y-\frac{3}{2}=1·\left(x-\frac{9}{2}\right)$

$y=x-3$  ‒ simetrala stranice $\overline{BC}$

Ako postupak ponovimo za stranicu $\overline{AB},$ dobit ćemo jednadžbu simetrale:

$y=-2x+3.$

Pronađimo sada sjecište tih dviju simetrale kao rješenje sustava dviju jednadžbi s dvjema nepoznanicama:

$y=-2x+3$
$y=x-3.$

Oduzimanjem tih dviju jednadžbi dobijemo rješenje koje je središte tražene kružnice: $S\left(2,-1\right)$ .

Udaljenost središta do bilo koje od zadanih točaka je polumjer kružnice i iznosi $5.$

Jednadžba kružnice na kojoj se nalaze zadne točke jest: ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=25.$

Riješimo sada zadatak na drugi način.

b)
Uvrstimo koordinate svih triju točkaka u centralnu jednadžbu kružnice:

${\left(-2-p\right)}^2+{\left(2-q\right)}^2=r^2$

${\left(2-p\right)}^2+{\left(4-q\right)}^2=r^2$

${\left(7-p\right)}^2+{\left(-1-q\right)}^2=r^2.$

Nakon kvadriranja binoma imamo sljedeće tri jednadžbe:

$p^2+q^2+4p-4q+8=r^2$

$p^2+q^2-4p-8q+20=r^2$

$p^2+q^2-14p+2q+50=r^2.$

Sada oduzmimo drugu jednadžbu od prve, pa treću od druge:

$8p+4q-12=0$

$10p-10q-30=0.$

Kao rješenje tih dviju jednadžbi imamo $p=2, q=-1.$

Uvrštavanjem $p$ i $q$ u bilo koju od početnih jednadžbi izračunat ćemo polumjer i jednadžba kružnice je:

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=25.$

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=25$