x
Učitavanje

9.6 Aktivnosti za samostalno učenje

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Bazna stanica mobilnog signala ima domet 10 kilometara. Putujemo iz točke koja je 5 kilometra sjevernije i 10 kilometra zapadnije od bazne stanice do točke koja je 5 kilometra sjevernije i 12 kilometra istočnije od bazne stanice. Koliko ćemo kilometara voziti u dometu te bazne stanice? Ako vozimo brzinom od 60 kilometara na sat, koliko ćemo vremena biti u dometu te bazne stanice?

Pogledajmo grafički prikaz kretanja automobila i dometa predajnika (odašiljača).

Domet odašiljača - grafički prikaz
Domet odašiljača – grafički prikaz

U kojoj će točki automobil prvi put doći u domet predajnika (odašiljača)?

null
null

Do koje će točke automobil biti u dometu predajnika (odašiljača)?

null
null

Što predstavlja putanja automobila?

null
null

Što predstavlja domet predajnika (odašiljača)?

null
null

Automobil će biti u dometu odašiljača od točke C do točke D . Da bismo odredili koordinate tih točaka, potrebno je izračunati presjek pravca i kružnice. Odredimo ga.

Jednadžba pravca glasi y = 5 (pravac usporedan s osi x ).

Jednadžba kružnice glasi x 2 + y 2 = 100 (središnja kružnica polumjera 10 ).

Presjek pravca i kružnice dobijemo rješavajući sustav linearne i kvadratne jednažbe. Uvrstimo li u kvadratnu jednadžbu y = 5 , dobijemo x 2 + 5 2 = 100 , iz čega dobijemo dva rješenja za x .
x 1,2 = ± 5 3 . Zato je udaljenost od točke  C do točke  D jednaka d = 10 3 km .

S obzirom na to da je t = s v , dobijemo t = 10 3 60 = 3 6 . Vrijeme približno iznosi 0.28868 h , što je 17 min i 19 s .

Presjek pravca i kružnice

Istražimo

Mijenjajte kružnicu i pravac te pratite u kakvom su odnosu pravac i kružnica. Što se događa s udaljenosti središta kružnice do pravca i polumjerom kružnice?

Koliko zajedničkih točaka mogu imati pravac i kružnica?

null
null

U kakvom su odnosu d i r kad pravac i kružnica nemaju zajedničkih točaka?

null
null

U kakvom su odnosu d i r kad pravac i kružnica imaju jednu zajedničku točku?

null
null

U kakvom su odnosu d i r kad pravac i kružnica imaju dvije zajedničke točke?

null
null

Pravac i kružnica mogu imati jednu, dvije ili nijednu zajedničku točku.

Sekanta kružnice

Pravac koji siječe kružnicu u dvjema točkama naziva se sekanta. U tom je slučaju udaljenost središta kružnice od pravca manja od polumjera kružnice.

Presjek pravca i kružnice - 2 točke
Presjek pravca i kružnice – 2 točke

Tangenta kružnice

Pravac koji dodiruje kružnicu u samo jednoj točki naziva se tangenta kružnice. U tom je slučaju  udaljenost središta kružnice od pravca jednaka polumjeru kružnice. 

Presjek pravca i kružnice - 1 točka
Presjek pravca i kružnice – 1 točka

Pravac i kružnica se ne sijeku ako je udaljenost središta kružnice od pravca veća od polumjera kružnice. 

Presjek pravca i kružnice - 0 točaka
Presjek pravca i kružnice – 0 točaka

Posebno nam je zanimljiva situacija kada je pravac tangenta na kružnicu, tj. pravac i kružnica imaju samo jednu zajedničku točku.

Prikažemo li pravac u obliku y = k x + l i kružnicu x - p 2 + y - q 2 = r 2 , tada je udaljenost pravca od središta kružnice jednaka d = q - k p - l 1 + k 2 .

Pravac y = k x + l bit će tangenta na kružnicu x - p 2 + y - q 2 = r 2 ako vrijedi q - k p - l 1 + k 2 = r , što možemo zapisati kao q - k p - l 2 = r 2 1 + k 2 .

Primjer 1.

Odredimo odsječak na osi y ( l ) tako da pravac y = 1 2 x + l bude tangenta na kružnicu x + 3 2 + y + 3 2 = 5 .

Tangente na kružnicu
Tangente na kružnicu

Iz uvjeta da je d = r slijedi - 3 - 1 2 · - 3 - l 1 + 1 2 2 = 5 .
Rješavanjem te jednadžbe dolazimo do kvadratne jednadžbe l 2 + 3 l - 4 = 0 čija rješenja su l 1 = 1 i

l 2 = - 4 .

Dobili smo dva pravca s istim koeficijentom smjera koji su tangente kružnice.


Normala na kružnicu

Pravac koji prolazi diralištem tangente i okomit je na nju.

Primjer 2.

Odredimo jednadžbu tangente na kružnicu  x - 1 2 + y - 1 2 = 25   u njezinoj točki  T 5 , - 2 .

Određivanje tangente pomoću normale
Određivanje tangente pomoću normale

Da bismo odredili tangentu, može nam pomoći normala.

Središte kružnice je točka S 1 , 1 , normala prolazi kroz točku T 5 , - 2 pa je koeficijent smjera normale k n = - 2 - 1 5 - 1 = - 3 4 . Tangenta je okomita na normalu, k t · k n = - 1 , zato je k t = 4 3 . Tangenta prolazi kroz T 5 , - 2 pa ćemo jednadžbu dobiti iz y + 2 = 4 3 x - 5 .

Jednadžba tangente je y = 4 3 x - 26 3 .


Provedemo li taj postupak općenito, dobit ćemo jednadžbu tangente na kružnicu x - p 2 + y - q 2 = r 2 u njezinoj točki T 0 x 0 , y 0 .

Jednadžba tangente kružnice u njezinoj točki

Jednadžba tangente na kružnicu x - p 2 + y - q 2 = r 2 u njezinoj točki T 0 x 0 , y 0 glasi x 0 - p x - p + y 0 - q y - q = r 2 .

Zadatak 1.

Odredite jednadžbu tangente na kružnicu x - 1 2 + y - 1 2 = 25   u njezinoj točki  T 5 , 4 .

y = - 4 3 x + 32 3


A što je s krugom? Kako ćemo krug prikazati u kordinatnom sustavu?

Primjer 3.

Prikažimo u kordinatnom sustavu skup točaka prikazan nejednadžbom x 2 + y 2 + 8 x + 2 y + 8 0 .

Jednadžba x 2 + y 2 + 8 x + 2 y + 8 = 0 predstavlja kružnicu sa središtem u točki S - 4 , - 1 i polumjerom r = 3 . S obzirom na to da tražimo točke kordinatnog sustava kojima je vrijednost lijeve strane manja od 0 ili jednaka 0 , rješenje će biti sve točke kruga (uključujući i kružnicu).

Unutrašnjost kruga
Unutrašnjost kruga

Geometrijske konstrukcije

Geometrijske konstrukcije su dio geometrije u ravnini koji geometrijske probleme rješavaju konstruktivnom metodom. Osnovni elementi u konstrukcijama su točke, pravci i ravnine. Ako se za konstrukcije koristi samo jednobridno ravnalo (samo jedna strana ravnala) i šestar, govorimo o euklidskim konstrukcijama.

Koraci geometrijskih konstrukcija

U izvođenju geometrijskih konstrukcija prolazimo sljedeće korake:

1. analiza problema

2. konstrukcija

3. dokaz

4. rasprava.

Primjer 4.

Za nacrtanu kružnicu, koristeći se nekim od digitalnih alata, ili šestarom i ravnaloom, odredite središte kružnice.

Analiza:

Da bismo odredili nepoznato središte, potrebno je konstruirati simetrale dviju tetiva.

Konstrukcija:

1. Upotrebom ravnala povucite bilo koje dvije tetive.

2. Za svaku tetivu konstruirajte simetrale dužina.

3. Sjecište simetrala je središte kružnice.

Dokaz:

Simetrale tetiva prolaze središtem kružnice jer su trokuti A B S i C D S jednakokračni S A = S B = S C = S D = r .

Rasprava:

Rješenje je jedinstveno, svaka kružnica ima jedinstveno središte.

Zadatak 2.

Neka je zadana kružnica sa središtem u točki S . Konstruirajte tangentu na kružnicu u točki A te kružnice.

Uputa: Tangenta je okomita na dužinu koja spaja središte i točku na kružnici.

Konstrukcija tangente u točki na kružnici
Konstrukcija tangente u točki na kružnici

Zadatak 3.

Konstruirajte tangente na kružnicu sa središtem u točki S , iz točke P koja leži izvan kružnice.

Spojimo li središte kružnice i točku koja se nalazi izvan kružnice, dobit ćemo dužinu S P - . Simetrala te dužine prolazi kroz točku M . Sada konstruiramo jednakokračni trokut A M S . Spojnica  A P - leži na tangenti kružnice. Kao dokaz trebamo dokazati da je kut kod vrha A pravi. To se može lako izračunati iz zbroja kutova jednakokračnih trokutova A M S i A M P .

Konstrukcija tangente iz točke izvan kružnice
Konstrukcija tangente iz točke izvan kružnice

Zanimljivost

Apolonije iz Perge (262. pr. Krista – 190. pr. Krista) bio je grčki matematičar. Kao i većina Euklidovih sljedbenika bavio se geometrijom te je poznat po nadimku "veliki geometar". U svojemu glavnom djelu Elementi konika u 15 knjiga temeljito je geometrijski obradio teoriju presjeka stošca i ravnine. Uz njegovo ime vezuje se nakoliko matematičkih pojmova: Apolonijeva kružnica, Apolonijeva mreža i Apolonijev problem.

Projekt

Apolonijev problem glasi: "Konstruirajte sve kružnice u ravnini koje dodiruju tri zadane kružnice."  Taj se problem može podijeliti u deset jednostavnijih problema. Potražite koji su to pa pokušajte riješiti barem neke od njih. Konstrukciju kružnice kroz tri zadane točke već ste naučili.

...i na kraju

Za kraj razmislite u kojem položaju mogu biti dvije kružnice i kako će izgledati njihove zajedničke tangente te koliko će zajedničkih tangenata imati.

Povratak na vrh