Bazna stanica mobilnog signala ima domet
kilometara. Putujemo iz točke koja je
kilometra sjevernije i
kilometra zapadnije od bazne stanice do točke koja je
kilometra sjevernije i
kilometra istočnije od bazne stanice. Koliko ćemo kilometara voziti u dometu te bazne stanice? Ako vozimo brzinom od
kilometara na sat, koliko ćemo vremena biti u dometu te bazne stanice?
Pogledajmo grafički prikaz kretanja automobila i dometa predajnika (odašiljača).
U kojoj će točki automobil prvi put doći u domet predajnika (odašiljača)?
Do koje će točke automobil biti u dometu predajnika (odašiljača)?
Što predstavlja putanja automobila?
Što predstavlja domet predajnika (odašiljača)?
Automobil će biti u dometu odašiljača od točke
do točke
Da bismo odredili koordinate tih točaka, potrebno je izračunati presjek pravca i kružnice. Odredimo ga.
Jednadžba pravca glasi
(pravac usporedan s osi
).
Jednadžba kružnice glasi (središnja kružnica polumjera ).
Presjek pravca i kružnice dobijemo rješavajući sustav linearne i kvadratne jednažbe. Uvrstimo li u kvadratnu jednadžbu
dobijemo
iz čega dobijemo dva rješenja za
Zato je udaljenost od točke
do točke
jednaka
S obzirom na to da je dobijemo Vrijeme približno iznosi što je i
Istražimo
Mijenjajte kružnicu i pravac te pratite u kakvom su odnosu pravac i kružnica. Što se događa s udaljenosti središta kružnice do pravca i polumjerom kružnice?
Koliko zajedničkih točaka mogu imati pravac i kružnica?
U kakvom su odnosu
i
kad pravac i kružnica nemaju zajedničkih točaka?
U kakvom su odnosu
i
kad pravac i kružnica imaju jednu zajedničku točku?
U kakvom su odnosu
i
kad pravac i kružnica imaju dvije zajedničke točke?
Pravac i kružnica mogu imati jednu, dvije ili nijednu zajedničku točku.
Sekanta kružnice
Pravac koji siječe kružnicu u dvjema točkama naziva se sekanta. U tom je slučaju udaljenost središta kružnice od pravca manja od polumjera kružnice.
Tangenta kružnice
Pravac koji dodiruje kružnicu u samo jednoj točki naziva se tangenta kružnice. U tom je slučaju udaljenost središta kružnice od pravca jednaka polumjeru kružnice.
Pravac i kružnica se ne sijeku ako je udaljenost središta kružnice od pravca veća od polumjera kružnice.
Posebno nam je zanimljiva situacija kada je pravac tangenta na kružnicu, tj. pravac i kružnica imaju samo jednu zajedničku točku.
Prikažemo li pravac u obliku
i kružnicu
tada je udaljenost pravca od središta kružnice jednaka
Pravac
bit će tangenta na kružnicu
ako vrijedi
što možemo zapisati kao
Primjer 1.
Odredimo odsječak na osi ( ) tako da pravac bude tangenta na kružnicu
Iz uvjeta da je
slijedi
Rješavanjem te jednadžbe dolazimo do kvadratne jednadžbe
čija rješenja su
i
Dobili smo dva pravca s istim koeficijentom smjera koji su tangente kružnice.
Pravac koji prolazi diralištem tangente i okomit je na nju.
Primjer 2.
Odredimo jednadžbu tangente na kružnicu u njezinoj točki
Da bismo odredili tangentu, može nam pomoći normala.
Središte kružnice je točka
normala prolazi kroz točku
pa je koeficijent smjera normale
Tangenta je okomita na normalu,
zato je
Tangenta prolazi kroz
pa ćemo jednadžbu dobiti iz
Jednadžba tangente je
Jednadžba tangente na kružnicu
u njezinoj točki
glasi
Odredite jednadžbu tangente na kružnicu u njezinoj točki
A što je s krugom? Kako ćemo krug prikazati u kordinatnom sustavu?
Primjer 3.
Prikažimo u kordinatnom sustavu skup točaka prikazan nejednadžbom
Jednadžba predstavlja kružnicu sa središtem u točki i polumjerom S obzirom na to da tražimo točke kordinatnog sustava kojima je vrijednost lijeve strane manja od ili jednaka rješenje će biti sve točke kruga (uključujući i kružnicu).
Geometrijske konstrukcije su dio geometrije u ravnini koji geometrijske probleme rješavaju konstruktivnom metodom. Osnovni elementi u konstrukcijama su točke, pravci i ravnine. Ako se za konstrukcije koristi samo jednobridno ravnalo (samo jedna strana ravnala) i šestar, govorimo o euklidskim konstrukcijama.
Koraci geometrijskih konstrukcija
U izvođenju geometrijskih konstrukcija prolazimo sljedeće korake:
1. analiza problema
2. konstrukcija
3. dokaz
4. rasprava.
Primjer 4.
Za nacrtanu kružnicu, koristeći se nekim od digitalnih alata, ili šestarom i ravnaloom, odredite središte kružnice.
Analiza:
Da bismo odredili nepoznato središte, potrebno je konstruirati simetrale dviju tetiva.
Konstrukcija:
1. Upotrebom ravnala povucite bilo koje dvije tetive.
2. Za svaku tetivu konstruirajte simetrale dužina.
3. Sjecište simetrala je središte kružnice.
Dokaz:
Simetrale tetiva prolaze središtem kružnice jer su trokuti i jednakokračni
Rasprava:
Rješenje je jedinstveno, svaka kružnica ima jedinstveno središte.
Neka je zadana kružnica sa središtem u točki Konstruirajte tangentu na kružnicu u točki te kružnice.
Uputa: Tangenta je okomita na dužinu koja spaja središte i točku na kružnici.
Konstruirajte tangente na kružnicu sa središtem u točki iz točke koja leži izvan kružnice.
Spojimo li središte kružnice i točku koja se nalazi izvan kružnice, dobit ćemo dužinu
Simetrala te dužine prolazi kroz točku
Sada konstruiramo jednakokračni trokut
Spojnica
leži na tangenti kružnice. Kao dokaz trebamo dokazati da je kut kod vrha
pravi. To se može lako izračunati iz zbroja kutova jednakokračnih trokutova
i
Apolonije iz Perge (262. pr. Krista – 190. pr. Krista) bio je grčki matematičar. Kao i većina Euklidovih sljedbenika bavio se geometrijom te je poznat po nadimku "veliki geometar". U svojemu glavnom djelu Elementi konika u knjiga temeljito je geometrijski obradio teoriju presjeka stošca i ravnine. Uz njegovo ime vezuje se nakoliko matematičkih pojmova: Apolonijeva kružnica, Apolonijeva mreža i Apolonijev problem.
Apolonijev problem glasi: "Konstruirajte sve kružnice u ravnini koje dodiruju tri zadane kružnice." Taj se problem može podijeliti u deset jednostavnijih problema. Potražite koji su to pa pokušajte riješiti barem neke od njih. Konstrukciju kružnice kroz tri zadane točke već ste naučili.
Za kraj razmislite u kojem položaju mogu biti dvije kružnice i kako će izgledati njihove zajedničke tangente te koliko će zajedničkih tangenata imati.