9.3 Posebni položaji kružnice u koordinatnom sustavu

Jednadžba središnje kružnice

Točku A povežimo s ortogonalnom projekcijom točke A na os apscisa i os ordinata. Koji smo lik nacrtali?

pravokutnik

trokut

kvadrat

null

null

Polumjer kružnice također je

katetahipotenuza pravokutnog

trokuta. Udaljenosti ortogonalnih projekcija točke A na os apscisa i ordinata od ishodišta su

katetehipotenuze istog

tokuta.

null

null

Ako na polumjer kružnice r i udaljenosti ortogonalnih projekcija točke A na koordinatne osi od ishodišta x i y primijenimo Pitagorin poučak, dobit ćemo sljedeću jednakost.

$r^2+x^2=y^2$ 

$x^2+y^2=r^2$ 

$r^2+y^2=x^2$ 

null

null

Kružnica sa središtem u ishodištu

Središnja jednadžba kružnice sa središtem u ishodištu jest $x^2+y^2=r^2.$ 

Kolekcija zadataka #1

1. 1
2. 2
3. 3

Kružnica je zadana središnjom jednadžbom ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=4.$ Središte kružnice je:

$\left(3,2\right)$ 

$\left(3,-2\right)$ 

$\left(-3,-2\right).$

null

null

Kružnica je zadana jednadžbom ${\left(x+5\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2=8.$ Polumjer kružnice jednak je:

$8$

$4$

$2\sqrt{2}.$

null

null

Jednadžba kružnice sa slike je:

${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=3$ 

${\left(x+2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=9$ 

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=9.$

null

null

Prethodni zadatak Sljedeći zadatak

Jednadžba kružnice koja dodiruje koordinatne osi

Primjer 1.

Na slici su prikazane dvije kružnice koje dodiruju os apscisa. Jedna dodiruje kružnicu ispod osi apscisa, a druga iznad osi apscisa. Što možemo zaključiti? Postoji li neka veza između koordinata središta kružnice i njezina polumjera?

Ako kružnica dodiruje os apscisa u točki D, tada je dodirna točka D od središta kružnice udaljena jednako koliko je os apscisa udaljena od

 

. To znači da je

 

jednak udaljenosti središta od osi

 

.

polumjer

središta

apscisa

null

Jednadžba kružnice koja dodiruje os apscisa

${\left(x-p\right)}^2+{\left(y\pm r\right)}^2=r^2.$

Primjer 2.

Pogledajmo kružnice na slici. Napišimo jednadžbe za obje kružnice.

$(x+5{)}^2+(y-3{)}^2=25$ i ${\left(x-3\right)}^2+y^2=9$

Što je zajedničko objema kružnicama?

Obje kružnice dodiruju os ordinata. Udaljenost od središta kružnice do osi ordinata jednaka je polumjeru kružnice.

Jednadžba kružnice koja dodiruje os ordinata

${\left(x\pm r\right)}^2+{\left(y-q\right)}^2=r^2.$ 

Zadatak 2.

Na slici su prikazane dvije kružnice.

Što je zajedničko kružnicama?

Napišite njihove jednadžbe?

U kojim su točkama središta kružnica?

Što je zajedničko središtima?

Rješenje

Jednadžba kružnice koja dodiruje obje koordinatne osi

${\left(x\pm r\right)}^2+{\left(y\pm r\right)}^2=r^2.$

Koncentrične kružnice

Primjer 3.

Zadana je jednadžba kružnice ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=4.$ Odredimo jednadžbu koncentrične kružnice kojoj je polumjer tri puta veći od polumjera zadane kružnice.

Kružnica čiju jednadžbu trebamo odrediti također ima središte $\left(3,4\right).$ Polumjer zadane kružnice je 2.

Ako je polumjer tražene kružnice tri puta veći, tada on iznosi $6.$

Jednadžba koncentrične kružnice je: ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=36.$