Matematika 4 - 6.1 Prostor elementarnih događaja

Na početku...

Slažete li se s odlukom trenera? Možete li obrazložiti njegovu odluku? Možete li sa sigurnošću reći koje su šanse za svakog od košarkaša da pogodi sljedeće slobodno bacanje?

U ovakvim i sličnim situacijama teorija vjerojatnosti nam može pomoći u donošenju odluke.

Teorija vjerojatnosti je područje u matematici koje proučava mogućnost ili šansu da se ostvari neki događaj. Tu mogućnost izražavamo brojem od $0$ do $1$ i zovemo vjerojatnost.

Podsjetimo se nekih osnovnih pojmova vezanih uz teoriju vjerojatnosti.

Osnovni pojmovi

Računanje vjerojatnosti je vezano uz neki pokus, eksperiment ili simulaciju. Promatramo rezultat pokusa ili ishod.

U prethodnoj je animaciji

bio izvođenje slobodnih bacanja, a

pogodak ili promašaj. Promatramo omjer broja pogodaka i ukupnog broja bacanja. Broj pogodaka nazivamo

događaja.
Što je broj bacanja veći, to će promatrani omjer bolje procijeniti šansu da košarkaš pogodi koš pri sljedećem izvođenju slobodnog bacanja. Taj se omjer zove

.
Vjerojatnost da košarkaš pogodi koš procjenjujemo na osnovi iskustva, rezultata njegovih izvođenja slobodnih bacanja. U tom slučaju govorimo o

relativna frekvencija

ishod

pokus

eksperimentalnoj vjerojatnosti

frekvencija

null

Eksperimentalna vjerojatnost nekog događaja jednaka je broju oko kojeg se grupiraju relativne frekvenciju pri velikom broju izvođenja pokusa.

Primjer 1.

U kutiji su čokoladni bomboni, oblikom i veličinom jednaki, ali različitih okusa i umotani u papiriće. Deset ih je od bijele čokolade, četiri od mliječne i šest od tamne čokolade. Na slučajan način izvlačimo jedan bombon.

Možemo li bez ranijeg iskustva procijeniti šansu da izvučemo omiljeni bombon od tamne čokolade?

Bomboni

Kada kažemo da na slučajan način izvlačimo jedan bombon, podrazumijevamo da ne znamo unaprijed ishod izvlačenja – ne možemo vidjeti koji ćemo bombon izvući, svi su jednakog oblika i veličine. Stoga procjenjujemo da je svaki od 20 bombona jednako moguć ishod izvlačenja. S obzirom na to da je šest bombona od tamne čokolade, i bez velikog broja ponavljanja pokusa, možemo reći da je šansa da izvučemo omiljeni bombon jednaka $\frac{6}{20} = 0.3 .$

Prostor elementarnih događaja

Ako se računanje vjerojatnosti temelji na slučajnosti i idealnim uvjetima izvođenja pokusa, tako da možemo pretpostaviti da je svaki od ishoda pokusa jednako moguć, onda govorimo o teorijskoj vjerojatnosti.

Za pokus kod kojeg ne znamo unaprijed koji će se od mogućih ishoda pojaviti, kažemo da je slučajni pokus, a njegove ishode zovemo elementarni događaji.

Skup svih elementarnih događaja slučajnog pokusa zovemo prostor elementarnih događaja i označavamo s $Ω .$ Svaki njegov podskup zovemo događaj.

Elementarni događaji

Na fotografiji je simetrična kocka za igre na sreću. — Igraća kocka

Promotrimo neke primjere slučajnih pokusa i različite prikaze prostora elementarnih događaja.

Primjer 2.

Bacanje novčića ili kocke smatramo slučajnim pokusom uz pretpostavku da su idealno simetrični ili pravedni. To znači da ni jedna strana nije teža, da su kod kockice svi brojevi točkica na njezinim stranama različiti i sl. Ishodi bacanja novčića su glava (G) i pismo (P), gdje je pismo ona strana na kojoj je brojčana vrijednost novčića.

Prostor elementarnih događaja za bacanje novčića zapisujemo kao $Ω = \{G, P\},$ a za bacanje kocke $Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} .$

Kolekcija zadataka #1

Dopunite prostor elementarnih događaja za izvlačenje kuglice iz šešira ako su na kuglicama prosti brojevi od $1$ do $20 .$

Brojeve upisujte bez razmaka, odvojene zarezom.

Ω = {2, 3, 5,

} .

null

Ako bacamo novčić dva puta zaredom, prostor elementarnih događaja je

\{GG, GP, PP\}

\{G, P\}

\{GG, GP, PG, PP\} .

null

Istovremeno bacamo simetrični novčić i kocku.

Prostor elementarnih događaja je $\begin{array}{l} \{G 1, G 2, G 3, G 4, G 5, G 6, P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6\} \end{array} .$

null

Slova $A,$ $M,$ $R$ napisana su na papiriće i stavljena u kutiju iz koje zatim, na slučajan način, izvlačimo dva slova, jedno po jedno, bez vraćanja u kutiju. Koji od sljedećih ishoda ne pripadaju prostoru elementarnih događaja za pokus izvlačenja dva slova.

AA

AR

MAR

MAM

null

Tablica, mreža...

Ponekad sve ishode nekog pokusa, odnosno elemente prostora elementarnih događaja, prikazujemo s pomoću tablice. Pogledajmo na primjeru.

Primjer 3.

Ako kocku bacamo dva puta zaredom (ili ako bacamo dvije kocke), prostor elementarnih događaja sadrži 36 elementarnih događaja. Možemo ih ispisati u obliku dugačke liste ishoda unutar skupa $Ω = \{(1, 1), (1, 2), . . ., (5, 6), (6, 6)\}$ ili malo preglednije u tablici:

$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$

$1$ $(1, 1)$ $(1, 2)$ $(1, 3)$ $(1, 4)$ $(1, 5)$ $(1, 6)$

$2$ $(2, 1)$ $(2, 2)$ $(2, 3)$ $(2, 4)$ $(2, 5)$ $(2, 6)$

$3$ $(3, 1)$ $(3, 2)$ $(3, 3)$ $(3, 4)$ $(3, 5)$ $(3, 6)$

$4$ $(4, 1)$ $(4, 2)$ $(4, 3)$ $(4, 4)$ $(4, 5)$ $(4, 6)$

$5$ $(5, 1)$ $(5, 2)$ $(5, 3)$ $(5, 4)$ $(5, 5)$ $(5, 6)$

$6$ $(6, 1)$ $(6, 2)$ $(6, 3)$ $(6, 4)$ $(6, 5)$ $(6, 6)$

Također, možemo se koristiti i prikazom s pomoću točaka u koordinatnom sustavu.

	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$1$	$(1, 1)$	$(1, 2)$	$(1, 3)$	$(1, 4)$	$(1, 5)$	$(1, 6)$
$2$	$(2, 1)$	$(2, 2)$	$(2, 3)$	$(2, 4)$	$(2, 5)$	$(2, 6)$
$3$	$(3, 1)$	$(3, 2)$	$(3, 3)$	$(3, 4)$	$(3, 5)$	$(3, 6)$
$4$	$(4, 1)$	$(4, 2)$	$(4, 3)$	$(4, 4)$	$(4, 5)$	$(4, 6)$
$5$	$(5, 1)$	$(5, 2)$	$(5, 3)$	$(5, 4)$	$(5, 5)$	$(5, 6)$
$6$	$(6, 1)$	$(6, 2)$	$(6, 3)$	$(6, 4)$	$(6, 5)$	$(6, 6)$

U sljedećim zadatcima upotrebljavajte ovaj prikaz ili prethodnu tablicu s ishodima za dva uzastopna bacanja kocke.

Ilustracija prikazuje prostor elementarnih događaja za bacanje jedne kocke dva puta za redom. — Prikaz za bacanje kocke

Zadatak 1.

Neka je prostor elementarnih događaja prikazan sljedećom tablicom.

	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$G$	$(G, 1)$	$(G, 2)$	$(G, 3)$	$(G, 4)$	$(G, 5)$	$(G, 6)$
$P$	$(P, 1)$	$(P, 2)$	$(P, 3)$	$(P, 4)$	$(P, 5)$	$(P, 6)$

Opišite pokus čiji je prostor elementarnih događaja prikazan tablicom.

Pokus se sastoji od bacanja novčića i jedne kocke.

Zadatak 2.

Prikažite tablicom sve moguće ishode u teniskom meču od dva seta koji igraju igrači $A$ i $B .$

Ako $AB$ znači da je prvi set dobio igrač $A,$ a drugi set igrač $B,$ tablica je:

	$A$	$B$
$A$	$AA$	$AB$
$B$	$BA$	$BB$

Fotografija prikazuje špil od 52 karte. — Snop od 52 igraće karte.

Primjer 4.

Prikažimo s pomoću točaka mreže u koordinatnom sustavu prostor elementarnih događaja za pokus izvlačenja jedne karte iz snopa od $52$ karte.

Koordinatni sustav kao pomoć za pokus izvlačenja karata

Jedan od slučajnih pokusa koji se često koriste u teoriji vjerojatnosti je i vrtnja spinera. To je kružna ploča podijeljena na određeni broj područja (kružnih isječaka) koja mogu biti obojena i/ili označena brojevima, slovima i slično. Nakon vrtnje strelica se slučajno zaustavlja na jednom od područja.

Ilustracija prikazuje spiner koji ima 8 područja. — Spiner

Zadatak 3.

Na slici je primjer spinera. Odredite prostor elementarnih događaja za prikazani spiner. Koliko je elementarnih događaja ili ishoda povoljno za događaj $\begin{array}{l} A = \{Strelica se zaustavila na plavom polju ili polju s brojem 2\} \end{array} ?$

$Ω = \{Z 1, Z 2, P 1, P 2, P 3, R 1, R 2, R 2\}$ gdje slova Z, P, R označavaju redom zelenu, plavu i ružičastu boju. Za događaj A povoljni su ishodi $\{Z2, P 1, P 2, P 3, R 2\} .$

Broj ishoda

Ponekad je broj ishoda u prostoru elementarnih događaja takav da nema smisla ispisati sve elementarne događaje, ali ih možemo pregledno prikazati i prebrojiti.

Primjer 5.

U tablici su podatci o broju učenika i učenica koji su na maturi odabrali jedan od izbornih predmeta Fiziku, Kemiju ili Biologiju.

Fizika Kemija Biologija

M $58$ $25$ $32$

Ž $45$ $25$ $40$

	Fizika	Kemija	Biologija
M	$58$	$25$	$32$
Ž	$45$	$25$	$40$

a. Pokus koji je opisan tablicom je

slučajan odabir učenika

slučajan odabir predmeta

slučajan odabir učenika i predmeta.

null

b. Koliko je ukupno elemenata u prostoru elementarnih događaja?

110

115

225

null

Zadatak 4.

a. Koliko je ukupno elementarnih događaja za pokus bacanja tri kocke?

Postupak:

Ukupno je $6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$ načina da se pojave tri broja pri bacanju simetrične kocke.

b. Koji su od sljedećih uređenih trojki elementi prostora elementarnih događaja za bacanje tri kocke?

(1, 1, 2)

(3, 2, 6)

(2, 0, 1)

6.1 Prostor elementarnih događaja

Na početku...

Osnovni pojmovi

Primjer 1.

Prostor elementarnih događaja

Elementarni događaji

Primjer 2.

Kolekcija zadataka #1

Tablica, mreža...

Primjer 3.

Kolekcija zadataka #2

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Primjer 4.

Zadatak 3.

Broj ishoda

Primjer 5.

Zadatak 4.

...i na kraju

Pokus