Definicija vjerojatnosti

Prisjetimo se definicije vjerojatnosti.

Klasična definicija vjerojatnosti

Neka je $Ω$ konačni prostor elementarnih događaja i neka su svi elementarni događaji jednako mogući. Neka je $A \subset Ω$ događaj. Omjer broja elementarnih događaja povoljnih za $A$ i ukupnog broja elementarnih događaja zovemo vjerojatnost događaja $A .$

$p (A) = \frac{card (A)}{card (Ω)}$

Uočite da su u definiciji dvije bitne pretpostavke o prostoru elementarnih događaja:

Elementarnih je događaja konačno mnogo.
Svi su elementarni događaji jednako mogući.

Ako je pokus takav da ima beskonačno mnogo elementarnih ishoda, tada vjerojatnost nećemo moći računati po ovoj definciji. Na drugu pretpostavku treba paziti pri opisu elementarnih događaja za neki pokus. Naime, ponekad je moguće na više načina opisati elementarne događaje, a mi ćemo, ako je to moguće, birati onaj pri kojemu su elementarni ishodi jednako mogući.

Primjer 1.

Na slučajan način biramo jednu znamenku. Kolika je vjerojatnost da je djeljiva s tri?

Odredimo najprije prostor elementarnih događaja $Ω$ i broj elemenata skupa $Ω :$ $Ω = \{0, 1, 2, . . . 9\},$ $card (Ω) = 10 .$

Elementarnih je ishoda konačno mnogo. Svi su jednako mogući jer u zadatku piše da se znamenke biraju na slučajan način.

Događaj $A,$ čija se vjerojatnost traži, je $A = \{0,3,6,9\}$ pa je $card (A) = 4 .$

Vjerojatnost događaja $A$ je $p (A) = \frac{card (A)}{card (Ω)} = \frac{4}{10} = 0.4 .$

Zadatak 1.

Na slučajan način biramo dvije različite znamenke. Kolika je vjerojatnost da su obje djeljive s tri?

Redoslijed biranja znamenki nije bitan, a važno je da su znamenke različite. Prostor elementarnih događaja je skup $Ω = \{\{0, 1\}, \{0, 2\}, . . . \{8, 9\}\} .$ Odredimo broj elemenata skupa $Ω .$ Na koliko načina možemo iz skupa od $10$ elemenata odabrati $2 ?$ Prisjetite se kombinacija i binomnih koeficijenata: $(\begin{array}{l} n \\ k \end{array})$ označava broj načina na koji možemo iz skupa od $n$ elemenata odabrati $k$ elemenata.

Stoga je $card (Ω) = (\begin{array}{l} 10 \\ 2 \end{array}) = \frac{10 \cdot 9}{1 \cdot 2} = 45 .$

Odredimo događaj $A .$ Obje odabrane znamenke trebaju biti djeljive s tri. To znači da iz skupa $\{0, 3, 6, 9\}$ biramo dva pa je $card (A) = (\begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}) = \frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 2} = 6 .$ Vjerojatnost događaja $A$ je $p (A) = \frac{6}{45} = \frac{2}{15} .$

Zadatak 2.

Na slučajan način biramo šifru koja se sastoji od dviju znamenki. Kolika je vjerojatnost da su obje znamenke djeljive s tri?

U ovom je zadatku redoslijed znamenaka bitan jer se, naprimjer, šifre $21$ i $12$ razlikuju. Znamenke se mogu ponavljati, a prva od njih može biti $0 .$

Odredimo broj elemenata skupa $Ω .$ Na koliko načina možemo izabrati dvije znamenke uzimajući u obzir redoslijed? Prisjetite se varijacija. Prvu znamenku možemo odabrati na $10$ načina, drugu također na $10 .$ Stoga je $card (Ω) = 10 \cdot 10 = 100 .$

Odredimo događaj $A .$ Obje odabrane znamenke trebaju biti djeljive s tri. To znači da prvu možemo odabrati na $4$ načina, drugu također na $4$ pa je $card (A) = 4 \cdot 4 = 16 .$ Vjerojatnost događaja $A$ je $p (A) = \frac{16}{100} = 0.16 .$

Zadatci s kuglicama

Zadatak 4.

U posudi se nalaze četiri crvene i šest plavih kuglica. Nasumice izvlačimo jednu. Kolika je vjerojatnost da je izvučena plava kuglica.

$p (A) = 0.6$

Zadatak 5.

U posudi se nalaze četiri crvene i šest plavih kuglica. Nasumice izvlačimo dvije odjednom. Kolika je vjerojatnost da su obje kuglice plave?

$p (A) = \frac{(\begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array})}{(\begin{array}{l} 10 \\ 2 \end{array})} = \frac{1}{3}$

Zadatak 6.

U posudi se nalaze četiri crvene i šest plavih kuglica. Nasumice izvlačimo tri. Kolika je vjerojatnost da su izvučene dvije plave kuglice i jedna crvena?

$p (A) = \frac{(\begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array})}{(\begin{array}{l} 10 \\ 3 \end{array})} = 0.5$

Vjerojatnost unije

Kako računamo vjerojatnost unije dvaju događaja? Odgovorite na pitanja.

Skupovi $A$ i $B$ na slici

zajedničkih

elemenata. Zato je

card (A \cup B)

jednak

brojeva

card (A)

i

card (B)

pa je

p (A \cup B) = p (A)

p (B) .

null

Skupovi $A$ i $B$ na slici

zajedničkih

elemenata. Zato je

card (A \cup B)

jednak

brojeva

card (A)

i

card (B)

za

card (A \cap B) .

Vjerojatnost unije u ovom slučaju računamo po formuli:

p (A \cup B) = p (A)

p (B)

p (A \cap B) .

Pomoć:

U zbroju $card (A) + card (B)$ broj elemenata iz presjeka zbrojili samo dva puta pa taj broj treba oduzeti.

null

Zaključimo prethodna razmatranja.

Vjerojatnost unije

Za proizvoljne skupove $A$ i $B$ vjerojatnost unije računamo kao $\begin{array}{l} p (A \cup B) = p (A) + p (B) - p (A \cap B) \end{array} .$

Ako je $A \cap B = \emptyset,$ onda vrijedi $p (A \cup B) = p (A) + p (B) .$

Primjer 2.

Jednom bacamo kocku. Kolika je vjerojatnost da je pao neparan broj ili broj djeljiv s tri? Označimo događaje koji se pojavljuju u pitanju:

$A = \{pao je neparan broj\}$

$B = \{pao je broj djeljiv s 3\} .$

Treba odrediti $p (A \cup B) .$ S obzirom na to da postoji broj koji je neparan i djeljiv s $3$ događaji $A$ i $B$ imaju neprazni presjek pa vjerojatnost unije računamo formulom

$\begin{array}{l} p (A \cup B) = p (A) + p (B) - p (A \cap B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \end{array} .$

Kolekcija zadataka #2

U posudi je $10$ bijelih i $5$ plavih kuglica. Nasumice izvlačimo tri odjednom. Kolika je vjerojatnost da ćemo izvući više bijelih nego plavih kuglica?

Više bijelih nego plavih kuglica možemo izvući ako izvučemo sve bijele ili dvije bijele i jednu plavu. Događaji $A = \{izvučene su tri bijele\}$ i $B = \{izvučene su dvije bijele i jedna plava\}$ nemaju zajedničkih elemenata pa je:

$\begin{array}{l} p (A \cup B) = p (A) + p (B) = \frac{(\begin{array}{l} 10 \\ 3 \end{array})}{(\begin{array}{l} 15 \\ 3 \end{array})} + \frac{(\begin{array}{l} 10 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{l} 5 \\ 1 \end{array})}{(\begin{array}{l} 15 \\ 3 \end{array})} = \frac{69}{91} \end{array} .$

Jednom bacamo kocku. Kolika je vjerojatnost da padne broj veći od $3$ ili paran?

$p (A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{2}{3}$

Dva puta bacamo kocku. Kolika je vjerojatnost da padnu dva ista broja ili da su oba broja veća od $4 ?$

$p (A \cup B) = \frac{6}{36} + \frac{4}{36} - \frac{2}{36} = \frac{2}{9}$

...i na kraju

Odaberite u interakciji pokus s kockama ili kuglicama. Odaberite broj kockica ili broj kuglica plave i crvene boje. Izračunajte vjerojatnost zadanog događaja, upišite dobiveni broj pa provjerite rješenje. Odabirom novog zadatka pojavit će se novi događaj.

Procijenite svoje znanje

U razredu je

15

učenika i

10

učenica. Na slučajan se način bira delegacija od

5

članova. Vjerojatnost da će u delegaciji biti

3

učenika i

2

učenice iznosi

.

null

Postupak:

$p (A) = \frac{(\begin{array}{l} 15 \\ 3 \end{array}) (\begin{array}{l} 10 \\ 2 \end{array})}{(\begin{array}{l} 25 \\ 5 \end{array})}$

Tri puta bacamo igraći ikosaedar (tijelo koje ima $30$ strana). Vjerojatnost da padnu različiti brojevi je približno $0.9 .$

Da

Ne

null

Postupak:

$p (A) = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28}{30^{3}}$

Šifra se sastoji od dva slova i tri znamenke. Vjerojatnost da nasumice odabrana šifra ima jednaka slova i znamenke različite od nula iznosi

0.0123

0.0243

0.0345 .

null

Postupak:

$p (A) = \frac{30 \cdot 1 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9}{30 \cdot 30 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$

U posudi su

4

zelene i

6

crvenih kuglica. Nasumice izvlačimo tri. Vjerojatnost da izvučemo barem jednu zelenu iznosi

.

null

Postupak:

$p (A) = 1 - \frac{(\begin{array}{l} 6 \\ 3 \end{array})}{(\begin{array}{l} 10 \\ 3 \end{array})}$

Jednom bacamo igraću kocku. Vjerojatnost da padne prost ili paran broj iznosi

\frac{1}{6}

\frac{3}{6}

\frac{5}{6} .

null

Postupak:

$p (A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6}$

Pala je barem jedna šestica.
Svi brojevi su neparni.
Pale su točno dvije šestice.
Barem jedan broj je neparan.

6.3 Klasična definicija vjerojatnosti

Na početku...

Definicija vjerojatnosti

Klasična definicija vjerojatnosti

Primjer 1.

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatci s kockama

Kolekcija zadataka #1

Zadatak 3.

Zadatci s kuglicama

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Vjerojatnost unije

Vjerojatnost unije

Primjer 2.

Kolekcija zadataka #2

Vjerojatnost komplementa

Vjerojatnost komplementa

Kolekcija zadataka #3

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: