Matematika 4 - Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

U testu iz Geografije je $10$ pitanja na koje Tin može odgovoriti samo s da ili ne. Kako zbog bolesti dugo nije bio na nastavi i ne zna ništa od sadržaja koje se ispituje, pitao se je li pogađanje odgovora dobra strategija.

Fotografija prikazuje Da s kvačicom i Ne s križićem. — Da ili Ne

Pokus

Tin je odlučio upotrijebiti simulaciju bacanja novčića. Na pitanje iz testa će odgovoriti s Ne ako pri bacanju novčića padne glava, a odgovorit će s Da ako padne pismo. Može upotrijebiti interakciju u kojoj se za svako pitanje baca kovanica od 2 kune. U prvom redu tablice je niz točnih odgovora za test iz geografije. Odgovor Da je pogođen ako je na novčiću palo pismo ("broj 2"), a odgovor Ne je pogođen ako je na novčiću pala glava ("riba"). Za pogođeni odgovor u tablici se bilježi znak $\sqrt{},$ a ako odgovor nije pogođen znak $\times .$ Broj pogođenih odgovora se bilježi u zadnjem stupcu.

Što će Tin odlučiti ako je za prolaznu ocjenu potrebno najmanje sedam točnih odgovora?

Zadatak 1.

Izračunajte vjerojatnost da Tin

a. dobije prolaznu ocjenu na testu

b. dobije prolaznu ocjenu na testu ako na prva dva pitanja zna točan odgovor.

a. Računamo vjerojatnost događaja koji se ponavljaju, odnosno da se uspjeh desi bar sedam puta:

$\begin{array}{l} p (7) + p (8) + p (9) + p (10) & = (\begin{array}{l} 10 \\ 7 \end{array}) {(\frac{1}{2})}^{7} {(1 - \frac{1}{2})}^{3} + (\begin{array}{l} 10 \\ 8 \end{array}) {(\frac{1}{2})}^{8} {(\frac{1}{2})}^{2} + (\begin{array}{l} 10 \\ 9 \end{array}) {(\frac{1}{2})}^{9} {(\frac{1}{2})}^{1} + {(\frac{1}{2})}^{10} = \\ = 0.171875 \end{array} .$

b. Ako Tin zna odgovore na prva dva pitanja, računamo vjerojatnost da točno odgovori na bar pet pitanja od preostalih osam:

$p (5) + p (6) + p (7) + p (8) = (\begin{array}{l} 8 \\ 5 \end{array}) {(\frac{1}{2})}^{5} {(1 - \frac{1}{2})}^{3} + (\begin{array}{l} 8 \\ 6 \end{array}) {(\frac{1}{2})}^{6} {(\frac{1}{2})}^{2} + (\begin{array}{l} 8 \\ 7 \end{array}) {(\frac{1}{2})}^{7} {(\frac{1}{2})}^{1} + (\begin{array}{l} 8 \\ 8 \end{array}) {(\frac{1}{2})}^{8} {(\frac{1}{2})}^{0} \approx 0.363 .$

Prikažimo

U sljedećim zadatcima ponovit ćete različite prikaze prostora elementarnih događaja i računanje vjerojatnosti korištenjem tih prikaza.

Zadatak 2.

U trgovini odjećom veste se prodaju u bijeloj (B) i plavoj (P) boji te u četiri različite veličine (S, M, L, XL). Ustanovljeno je da kupci biraju boje u omjeru $B : P = 2 : 3,$ a veličine ovisno o boji.

Bijele biraju u omjeru $S : M : L : XL = 3 : 4 : 2 : 1,$ a plave u omjeru $S : M : L : XL = 1 : 2 : 4 : 3 .$ Prikažite prostor elementarnih događaja upotrebljavajući vjerojatnosno stablo.

Upotrebljavajući vjerojatnosno stablo riješite zadatke koji slijede.

Prikazano je vjerojatnosno stablo. — Vjerojatnosno stablo

Kolekcija zadataka #1

Pridružite sljedećim događajima njihove vjerojatnosti.

$p (M \|B)$	$0.18$
$p (B \cap M)$	$0.06$
$p (S \cap P)$	$0.16$
$p (P) p (X L \|P)$	$0.4$

null

Vjerojatnost da je slučajno odabrana vesta L veličine iznosi

0.08

0.16

0.32

0.6

null

Vjerojatnost da će netko odabrati vestu koja je plava i najmanje M veličine iznosi

null

Postupak:

$\begin{array}{ll} p (plava i najmanje M veličine) & = p (P \cap M) + p (P \cap L) + p (P \cap X L) = \\ = 0.6 \cdot 0.2 + 0.6 \cdot 0.4 + 0.6 \cdot 0.3 = 0.54 \end{array}$

Vjerojatnost da slučajno odabrana vesta nije plava u XL veličini iznosi

Postupak:

$\begin{array}{l} p (\bar{P \cap X L}) = 1 - p (P \cap X L) = 1 - 0.6 \cdot 0.3 = 0.82 \end{array}$

Djevojka slaže knjige na policu. — Knjige

Zadatak 3.

Ana na slučajan način slaže četiri knjige, A, B, C i D na policu. Odredite prostor elementarnih događaja, odnosno ispišite listu svih elementarnih događaja i izračunajte vjerojatnost događaja:

a. $\{B se nalazi kraj C\}$

b. $\{točno je jedna knjiga između B i C\}$

c. $\{barem jedna knjiga je između B i C\} .$

$\begin{array}{l} Ω = & {A B C D, A B D C, A C B D, A C D B, A D B C, A D C B, \\ B A C D, B A D C, B C A D, B C D A, B D A C, B D C A, \\ C A B D, C A D B, C B A D, C B D A, C D A B, C D B A, \\ D A B C, D A C B, D B A C, D B C A, D C A B, D C B A} \end{array}$

a. $p (B se nalazi kraj C) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

b. $p (točno je jedna knjiga između B i C) = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$

c. $\begin{array}{l} p (barem je jedna knjiga između B i C) & = 1 - p (niti jedna knjiga nije između B i C) = \\ = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{array}$

Zadatak 4.

Za događaje $A$ i $B$ vrijedi da je $card (Ω) = 50,$ $card (A) = 20,$ $card (B) = 28$ i $card (\bar{A \cup B}) = 10 .$

Na sljedećoj slici je Vennov dijagram. Dopunite, povlačenjem na označena mjesta, tako da on prikazuje događaje $A$ i $B,$ a zatim riješite zadatke koji slijede.

8

10

12

20

null

Postupak:

$card (A \cup B) = card (Ω) - card (\bar{A \cup B}) = 50 - 10 = 40$

$card (A \cup B) = card (A) + card (B) - card (A \cap B)$

$card (A \cap B) = 20 + 28 - 40 = 8$

Odredite sljedeće vjerojatnosti (u decimalnom zapisu):

$p (A \cup B) =$
.
$p (\bar{A}) =$
.
$p (B |A) =$
.
$p (\bar{B} |A) =$
.

null

Istražimo

Slika prikazuje dvije epruvete s uzorcima krvi. — Test

Za dijagnosticiranje bolesti X otkriven je novi test. Kako bi se provjerila njegova pouzdanost, provedeno je testiranje na $200$ pacijenata za koje se zna da njih $90$ ima bolest X, a njih $110$ nema. Rezultati testiranja dani su sljedećom tablicom.

	Pozitivan rezultat testa	Negativan rezultat testa
Ima bolest X	$40$	$50$
Nema bolest X	$20$	$90$

Test je pouzdan ako s velikom vjerojatnošću daje pozitivan rezultat kod pacijenata koji imaju bolest X, a negativan kod onih koji je nemaju. Liječnik će se koristiti testom ako je njegova pouzdanost veća od $90 % .$ Istražite pouzdanost testa za bolest X.

Koristeći se tablicom, odgovorite na sljedeća pitanja.

Kolekcija zadataka #2

$A = \{pacijent ima pozitivan rezultat testa\}$ i $B = \{pacijent ima bolest X\} .$

Pridružite događaju njegov opis. Označit ćemo pacijenta s P.

$A \|\bar{B} =$	$\{test je + ako P nema bolest X\}$
$\bar{A} \|\bar{B} =$	$\{test je + ako P ima bolest X\}$
$\bar{A} \|B =$	$\{test je - ako P ima bolest X\}$
$A \|B =$	$\{test je - ako P nema bolest X\}$

null

$p (B) =$
$p (\bar{B}) =$
$p (A |B) =$
$p (\bar{A} |B) =$
$p (A |\bar{B}) =$
$p (\bar{A} |\bar{B}) =$

.

$\frac{9}{11}$

$\frac{4}{9}$

$\frac{9}{20}$

$\frac{2}{11}$

$\frac{5}{9}$

$\frac{11}{20}$

null

Vjerojatnost da pacijent ima bolest X ako je test pozitivan dana je s

p (B |A)

p (A |B)

p (B |\bar{A})

p (A \cap B)

null

p (B |A) =

Odgovor zapište u decimalnom obliku, s točnošću na dvije decimale.

null

Je li test pouzdan?

null

Postupak:

Vjerojatnost da pacijent ima bolest X uz uvjet da je test pozitivan iznosi $\frac{40}{60} \approx 0.67,$ što je mala pouzdanost u odnosu na traženih $0.9 .$

Na slici je rođendanska torta. — Problem rođendana

Kutak za znatiželjne

Imaju li u tvom razredu barem dvije osobe rođendan istog dana? Izračunajte vjerojatnost da barem dvije osobe u grupi od pet imaju rođendan istoga dana? Istražite kako vjerojatnost da barem dvije osobe u grupi imaju rođendan istoga dana ovisi o broju osoba $n$ u grupi. Koji je najmanji broj osoba u grupi za koju je ta vjerojatnost veća od $0.5 ?$ Jeste li očekivali takav rezultat?

Ako niste riješili zadatak, pogledajte rješenje u sljedećem videozapisu.

Je li igra pravedna?

Primjer 1.

Tena i Ante odlučili su odigrati sljedeću igru. Stavili su u kutiju četiri bijela i dva crna žetona. Svatko od njih na slučajan način uzima jedan žeton (bez vraćanja). Tena pobjeđuje ako su oba žetona iste boje, a Ante ako su različite boje. Je li igra pravedna? Ako nije, tko ima veće šanse za pobjedu?

Kažemo da je igra pravedna ako svi imaju jednaku šansu za pobjedu, odnosno vjerojatnost pobjede svakog igrača je jednaka.

Izračunajmo vjerojatnost da je pobjedila Tena odnosno da je pobjedio Ante.

Prikazat ćemo ishode koristeći se vjerojatnosnim stablom.

Koristeći se vjerojatnosnim stablom uparite sljedeće vjerojatnosti.

$p (žetoni su različite boje) =$	$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{7}{15}$
$p (žetoni su iste boje) =$	$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$

null

Veće šanse za pobjedu ima

igra

pravedna.

null

Postupak:

Kako je vjerojatnost da izvučemo žetone različite boje veća od vjerojatnosti da izvučemo žetone iste boje, igra nije pravedna. Ante ima veće šanse za pobjedu.

Istražimo

Kako bismo popravili igru tako da ona bude pravedna?

Koliko žetona od svake boje treba staviti u kutiju kako bi igra bila pravedna? Pokušajte pronaći bar jedan primjer.

Na primjer, igra je pravedna ako u kutiju stavimo: $3$ crna i $1$ bijeli žeton, $6$ crnih i $3$ bijela žetona, $10$ crnih i $6$ bijelih žetona...

Svaka od nabrojenih mogućnosti vrijedi i ako zamijenimo boje.

Kutak za znatiželjne

Odredite općenito uvjet na broj $m$ crnih žetona i $n$ broj bijelih žetona tako da igra koju igraju Tena i Ante bude pravedna.

...i na kraju

Jedna od igara u zabavnom parku je kolo sreće s osam jednakih dijelova označenih brojevima od $1$ do $8 .$ Igrač dobiva žetone koje može iskoristiti za bilo koju igru u zabavnom parku. Broj žetona koji će igrač dobiti ovisi o broju na kojem se zaustavi kolo sreće, kao što je dano u tablici.

Broj	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
Dobitak	$8$	$2$	$1$	$5$	$8$	$1$	$5$	$2$

Kako bi igrač jednom zavrtio kolo sreće mora dati pet žetona.

Je li igra pravedna?

Ako nije, kako biste organizirali igru da bude pravedna, a kako da igrač pobjeđuje s vjerojatnošću od $0.6 ?$

Vjerojatnost da se okrene jedan od osam brojeva je $\frac{1}{8}$ pa u jednoj vrtnji očekujemo dobitak od

$\begin{array}{l} \frac{1}{8} \cdot 8 + \frac{1}{8} \cdot 2 + \frac{1}{8} \cdot 1 + \frac{1}{8} \cdot 5 + \frac{1}{8} \cdot 8 + \frac{1}{8} \cdot 1 + \frac{1}{8} \cdot 5 + \frac{1}{8} \cdot 2 = \frac{1}{8} \cdot 32 = 4 \end{array}$ žetona.

Ako moramo uložiti pet žetona, očekivano je da ćemo biti na gubitku jedan žeton, što znači da igra nije pravedna.

Kako biste igru učinili pravednom, povećajte broj žetona na nekim poljima, primjerice na svakom polju povećajte za jedan žeton.