3.12 Kosi hitac - dodatni sadržaj

Gibanje tijela izbačenog pod kutom u odnosu na tlo

Raketa je ispaljena pod određenim kutom u odnosu prema tlu. Kako biste opisali putanju rakete?

Ako povećavamo kut pod kojim je raketa ispaljena, gibanje će sve više sličiti vertikalnom hitcu uvis.

Na promjenu brzine vertikalnog hitca utječe sila teža, a akceleracija tijela cijelo je vrijeme usmjerena prema tlu i iznosi $\mathrm{9,81}{\mathrm{ms}}^{-2}.$ Zbog toga se u dijelu putanje u kojem se tijelo giba uvis brzina smanjuje do $0{\mathrm{ms}}^{-1},$ koliko iznosi u gornjoj točki, a pri padu se povećava do početnog iznosa. ​

Isto će se događati s vertikalnom komponentom brzine kod kosog hitca.

Za razliku od nje, horizontalna komponenta brzine stalna je po iznosu i usmjerenosti.

Pogledajmo vektorski prikaz rezultantne brzine kod kosog hitca.

Trenutačna brzina vektorski je zbroj horizontalne i vertikalne komponente. Horizontalna komponenta je, kao što smo već spomenuli, stalna po smjeru i iznosu, a vertikalna se smanjuje na putu do najviše točke putanje, a zatim povećava na putu prema tlu.

Ako znamo početnu brzinu, kako ćemo odrediti koliki je domet hitca i visina najviše točke putanje za kutove $30°,$ $45°$ i $60°?$

Povezani sadržaji

Što ste iz Matematike učili o jednakostraničnom trokutu i o kvadratu? Kako se računa visina jednakostraničnog trokuta, a kako dijagonala kvadrata?

Kosi hitac – kut izbačaja $30°$

Ako je tijelo izbačeno početnom brzinom $v$ pod kutom $30°,$ tada trokut koji zatvaraju vektori $v,$ $v_x$ i $v_y$ čini stranice i visinu jednakostraničnog trokuta. ​ ​

Duljina $v$ je duljina stranice tog trokuta, $v_y$ je polovina duljine stranice, a $v_x$ je visina trokuta pa vrijedi: ​

$v_x=v·\frac{\sqrt{3}}{2}$

$v_y=\frac{v}{2}.$

Kosi hitac – kut izbačaja $60°$

Ako je tijelo izbačeno pod kutom $60°,$ tada komponente imaju malo drukčije uloge i vrijedi ​ $v_x=\frac{v}{2}$ te $v_y=v·\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Kosi hitac – kut izbačaja $45°$

Za kut $45°$ komponente početne brzine jednake su jer sva tri vektora čine jednakokračni pravokutni trokut.  

S pomoću Pitagorina poučka $v^2=v_x^2+v_y^2$ ​i činjenice da je $v_x=v_y,$ dobijemo $v_x=v_y=v·\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Ako znamo komponente brzine, lako ćemo izračunati visinu koju će tijelo dosegnuti i domet. Koristeći se izrazima za vertikalni hitac, vrijeme trajanja kosog hitca možemo izračunati iz

$t=\frac{v_y^2}{g},$

a visinu koju će tijelo dosegnuti izračunamo s pomoću

$h=\frac{v_y^2}{2·g}.$ ​

Budući da je horizontalna komponenta brzine stalna, domet ćemo dobiti kao put koji tijelo prijeđe jednoliko se gibajući u horizontalnom smjeru, $D_x=v_x·t.$

Ispucavanja loptice za golf u primjerima koji slijede događaju se bez otpora zraka.

Primjer 1.

Izračunajmo maksimalnu visinu do koje će se loptica popeti ako je poznato da se loptica ispucava početnom brzinom od $15{\mathrm{ms}}^{-1},$ pod kutom od $45°$ u odnosu prema horizontalnoj podlozi na kojoj se igrač nalazi i da izmjeren domet iznosi $\mathrm{22,5}\mathrm{m}.$

Rješenje

---

Analizirajmo ispucavanje i pod drugim karakterističnim kutovima.

Primjer 2.

Ilustracija prikazuje ispucavanje loptice za golf pod kutom od $30°$ (radi usporedbe, dana je i putanja loptice izbačene pod kutom od $45°$).

Na temelju poznavanja kuta ispucavanja loptice za golf izračunajmo maksimalnu visinu do koje će se loptica popeti i ukupno vrijeme trajanja kosog hitca ako je poznato da se loptica ispucava s početnom brzinom od $15{\mathrm{ms}}^{-1},$ a da izmjeren domet iznosi $\mathrm{19,5}\mathrm{m}.$ ​

Rješenje

---

Primjer 3.

Ilustracija prikazuje ispucavanje loptice za golf pod kutom od $60°$ (radi usporedbe, dane su i putanje loptica izbačenih pod kutovima od $30°$ i $45°).$

Provedite račun sličan prethodnim primjerima. Što uočavate, kakav je domet kosog hitca za ispucavanje loptice za golf pod kutom od $60°$ u odnosu prema dometu za kut ispucavanja od $30°?$ ​

Na temelju provedene analize u primjerima, što možete zaključiti o tome kada će domet kosog hitca imati najveći iznos?

Rješenje

---

Zadatak 1.

U zadatcima upotrijebite $g=10{\mathrm{ms}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}$

1. U najvišoj točki putanje kod kosog hitca akceleracija tijela:

   iznosi ​ $0{\mathrm{ms}}^{-2}$

   iznosi $10{\mathrm{ms}}^{-2}$ i usmjerena je prema središtu Zemlje​

   ovisi o kutu izbacivanja

   ovisi o početnoj brzini.

   

   null

   null

2. Tijelo izbačeno pod nekim kutom u odnosu prema tlu, u horizontalnom smjeru:

   giba se jednoliko

   usporava

   ubrzava

   usporava pa ubrzava.

   

   null

   null

3. Tijelo izbačeno pod nekim kutom, u vertikalnom smjeru:

   giba se jednoliko

   usporava

   ubrzava

   usporava pa ubrzava.

   

   null

   null

4. Mirko i Dražen bacili su lopte jednakim brzinama $5{\mathrm{ms}}^{-1}$ prema zidu udaljenom $\mathrm{1}\mathrm{m.}$ Mirko je bacio loptu pod kutom $40°$ u odnosu prema tlu, a Dražen pod kutom $50°$ prema tlu. U zid će prije udariti lopta koju je bacio:​

   Mirko

   Dražen.

   

   null

   null

5. Kosi hitac možemo promatrati kao rezultantno gibanje jednolikoga gibanja u horizontalnom smjeru i slobodnog pada u vertikalnom smjeru.

   Točno

   Netočno

   

   null

   null

Projekt

Analizirajte samostalno ili u paru neko gibanje kosog hitca iz stvarnosti s pomoću programa Tracker. Snimite film.

1. Koja jednostavna gibanja daju kosi hitac? 
2. Proučite $x,t$; $v_x,t$; $y,t$ i $v_y,t$ dijagrame. ​
3. Koliko iznosi maksimalna visina?
4. Koliko iznosi vrijeme dostizanja maksimalne visine?
5. Koliko iznosi ukupno vrijeme gibanja kod kosog hitca?
6. Koliki su brzina i ubrzanje po iznosu i smjeru na maksimalnoj visini? ​
7. Prikažite vektore brzine i ubrzanja u barem pet točaka putanje tijekom cijeloga gibanja.
8. Izračunajte domet kosog hitca.