Na petoj bi slici bilo
a na desetoj
kvadrata.
Riješite sljedeća dva zadatka o kvadratima iz videozapisa.
Duljina je stranice početnog kvadrata Kolike su duljine stranica obojenih kvadrata na idućim slikama?
Kolika bi bila duljina stranice na petoj slici? Kolika bi bila na dvanaestoj?
Duljine su stranica: na drugoj slici
na trećoj
a na četvrtoj
Na petoj bi slici duljine stranica bile
a na dvanaestoj
Kolika je ukupna površina obojenih kvadrata na svakoj od slika?
Kolika bi bila površina obojenih kvadrata na petoj slici? Kolika bi bila na jedanaestoj?
Površine su: na prvoj slici na drugoj slici na trećoj
na četvrtoj
Na petoj bi slici površina bila
a na jedanaestoj
Broj kvadrata, duljinu stranice i površinu na pojedinoj slici računali smo kao umnožak jednakih faktora. Zapis s pomoću jednakih faktora može biti dug i nepregledan pa koristimo ovaj skraćeni zapis:
Kažemo da smo uzastopno množenje zapisali u obliku potencije.
Neka je realan broj i prirodni broj veći od jedan. Potencija je zapis umnoška u kojem se broj pojavljuje puta kao faktor. Broj zovemo baza potencije, a broj eksponent.
Primjer 1.
Ako se broj sedam puta pojavljuje kao faktor, umnožak je što zapisujemo Baza je a eksponent
Ako se broj četiri puta pojavljuje kao faktor, umnožak je što zapisujemo Baza je a eksponent
Zapišite umnoške u obliku potencije.
Pomicanjem klizača, pojavit će se novi zadatak.
Povežite umnožak s odgovarajućom potencijom.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Primjer 2.
Usporedimo brojeve i
Potencija jednaka je umnošku u kojem se broj pojavljuje kao faktor puta:
Potencija jednaka je umnošku u kojem se broj pojavljuje kao faktor puta:
Potencija je suprotni broj potencije
Zaključimo: pa je i
Usporedimo brojeve i
Potencija jednaka je umnošku u kojem se broj pojavljuje kao faktor puta:
Potencija jednaka je umnošku u kojem se broj pojavljuje kao faktor puta:
Potencija je suprotni broj potencije
Zaključimo: pa je i
Promotrite vrijednosti potencija u sljedećoj animaciji. Mijenjajte vrijednosti baze i eksponenta. Uočavate li pravilnost?
Primijenite zaključke iz prethodne aktivnosti pa označite točne tvrdnje.
Za proizvoljnu pozitivnu bazu i prirodni eksponent brojevi i
Zaključimo prethodna razmatranja. Za parne su eksponente potencije suprotnih baza jednake, a za neparne su eksponente potencije suprotne.
Svaki parni prirodni broj možemo zapisati u obliku
Neparni prirodni broj veći od
možemo zapisati u obliku
Stoga prethodni zaključak možemo formulama zapisati ovako:
Za pozitivnu bazu i prirodni broj vrijedi:
i
Obrazložite formule
i
za
pozitivnu bazu
i prirodni broj
.
Po definiciji je
zapis umnoška u kojem se negativni broj
pojavljuje kao faktor paran broj puta. Rezultat je pozitivan i jednak je umnošku u kojem se broj
pojavljuje kao faktor
puta, što zapisujemo
Također je po definiciji zapis umnoška u kojem se negativni broj pojavljuje kao faktor neparan broj puta. Rezultat je negativan i suprotan je umnošku u kojem se broj pojavljuje kao faktor puta, što zapisujemo
Primjer 3.
Odredimo sve podskupove skupa
- Podskupovi skupa A su: Skup A ima četiri podskupa.
- Podskupovi skupa B su: Skup B ima osam podskupova.
Odredite sve podskupove skupova Promotrite broj elemenata skupa i broj svih podskupova. Uočavate li pravilnost? Pretpostavite koliko podskupova ima skup ako je:
Prisjetite se (1.1. Skupovi), card je kardinalni broj skupa i označava broj elemenata skupa
Skup
ima
podskupova, a skup
ima
podskupa.
Primjećujemo da je i card i card
Skup od elemenata ima podskupa.
Pokušajte sami dokazati tu tvrdnju ili pogledajte dokaz u videozapisu.
Što smo pokazali u videozapisu?
Ako skup od elementa ima podskupa, onda skup od elementa ima dvostruko više podskupova, odnosno podskupa.
Ako skup od elementa ima podskupa, onda skup od elementa ima dvostruko više podskupova, odnosno podskupa.
Na sličan način možemo zaključiti:
Ako skup od elementa ima podskupa, onda skup od elementa ima dvostruko više podskupova, odnosno podskupa.
Marko je uložio u banku uz godišnju kamatnu stopu od Nakon godinu dana iznosu na Markovu računu pribrojit će se od iznosa na računu.
Kako izračunati iznos na Markovu računu nakon nekoliko godina? Krenimo redom pa odredimo najprije iznos nakon jedne godine, a zatim nakon dvije. Izračunajte iznose u sljedećem zadatku i zapišite ih s pomoću uloženog iznosa, kamatne stope i broja proteklih godina.
U bilježnicu zapišite formulom koliki će biti Markov ukupni ulog nakon godina.
Nakon tri godine ulog će biti
Nakon pet godina ulog će biti
Nakon deset godina ulog će biti
Maja je poslala e-poštu na pet e-adresa. U e-pošti je uputa primatelju da sat vremena nakon primitka proslijedi e-poštu dalje na novih pet e-adresa. Pretpostavimo da svi koji prime e-poštu postupaju po uputi.
Na koliko će e-adresa biti poslana e-pošta nakon
Koliki je to postotak stanovništva Zemlje?
(stanovništvo Zemlje )
U bilježnicu napišite u obliku potencija sve djelitelje broja:
Koliko djelitelja imaju zadani brojevi?
Uočavate li pravilnost? Možete li je obrazložiti? Primijenite uočenu pravilnost pa odredite broj djelitelja broja i
Broj ima djelitelja. Djelitelji su osim brojeva i potencije broja s eksponentima od do ukupno djelitelj.
Broj ima tri djelitelja: i
Odredite sve djelitelje brojeva:
Koliko djelitelja imaju zadani brojevi? Uočavate li pravilnost?
Koliko djelitelja ima broj gdje su različiti prosti brojevi? Obrazložite svoje zaključke.
Riješite ove zadatke:
Ponovimo:
Potencija gdje je realan broj i prirodni broj veći od jedan, zapis je umnoška u kojem se broj pojavljuje kao faktor puta:
Za svaki pozitivni realni broj i prirodni broj vrijedi: