Dobro je poznato da u sustavu SI-ja prefiks kilo- znači
×103, mega-
×106, giga-
×109, no u prošlosti se prilikom uvođenja novih mjernih jedinica za količinu podataka uzelo da
1 kilobajt ima
210=1024 bajtova, jer računalo pri obradi podataka koristi binarne brojeve, a broj
1024 je vrlo blizu broja
1000. Kako se s godinama povećavala količina podataka koju računalo može obraditi i pohraniti, ta razlika više nije zanemariva i prefiksi sustava SI-ja više nisu bili primjereni. Stoga je u siječnju 1999. godine Međunarodna elektrotehnička komisija (IEC) uvela binarne prefikse.
Binarni IEC-jevi prefiksi
Ime
Simbol
Vrijednost (bajtova)
kibibajt
KiB
210
mebibajt
MiB
220
gibibajt
GiB
230
tebibajt
TiB
240
pebibajt
PiB
250
eksbibajt
EiB
260
zebibajt
ZiB
270
jobibajt
YiB
280
Ako tvrdi disk na računalu ima
226 bajta, koliko je to mebibajtova?
Koliko je bajtova u 16 gibibajtova?
Uočimo da se pri množenju i dijeljenju potencija koje imaju jednaku bazu, kao što je u prethodnom primjeru bila baza
2, potencija ne mora uvijek pisati kao umnožak istih faktora, već možemo koristiti neka pravila. Krenimo redom.
Množenje potencija jednakih baza
Primjer 1.
Promotrimo.
33·32=(3·3·3)·(3·3)=3·3·3·3·3=35
0.14·0.12=(0.1·0.1·0.1·0.1)·(0.1·0.1)=0.16
(-2)3·(-2)=(-2)·(-2)·(-2)·(-2)=(-2)4
a3·a6=(a·a·a)·(a·a·a·a·a·a)=a9
a5·a-3=a5·1a3=a·a·a·a·a·1a·a·a=a2
Što uočavamo?
Zadatak 1.
Primijenite uočeno i pokušajte bez zapisivanja potencija u obliku umnoška riješiti sljedeći zadatak.
Zapišimo pravilo za množenje potencija jednakih baza.
Pravilo za množenje potencija jednakih baza
am·an=am+n,a∈R,a≠0,m,n∈Z
Potencije jednakih baza množimo tako da bazu prepišemo, a eksponente zbrojimo.
Primijenite uočeno i pokušajte bez zapisivanja potencija u obliku umnoška riješiti sljedeći zadatak.
Zadatak 4.
Uočite:
34:34=81:81=1
34:34=34-4=30.
U prošloj smo jedinici došli do definicije a0=1,a≠0. Provjerite i obrazložite je li naša definicija u skladu s pravilom za dijeljenje potencija jednakih baza.
Svaki broj (osim nule) podijeljen sa samim sobom daje jedan. Stoga podijelimo li bilo koju potenciju s tom istom potencijom, rezultat će biti broj jedan.
an:an=anan=1
S druge strane, potencije jednakih baza dijelimo tako da bazu prepišemo, a eksponenete oduzmemo.
an:an=an-n=a0=1.
Stoga je definicijaa0=1,a≠0 u skladu s pravilom za dijeljenje.
Potencija se potencira tako da se baza prepiše, a eksponenti pomnože.
Zadatak 5.
Izračunajte.
212·2-5·2-6=
(-3)400:(-3)300:(-3)100=
(√3)-7.(√3)-5:(√3)-10=
(510)3·(53)10=
81-2·36=
2-20·2102-15=
5·(15)44·545:125=
(-2)50240·(-2)-15=
2
1
13
1
19
32
15
-132
Promotrimo izraz
3a4.
Broj
3 množi potenciju
a4 i uobičajeno je u tom slučaju znak za množenje izostaviti. Kažemo da je broj
3 u tom slučaju koeficijent uz potenciju
a4.
Želimo li izračunati vrijednost tog izraza, primjerice za
a=2, tada ćemo pisati znak za množenje i račun izgleda ovako:
3·24=3·16=48.
Uočimo redoslijed računskih radnji koje smo primijenili u računu.
Pri računanju s potencijama, potenciranje ima prednost pred računskim radnjama zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja.
Zadatak 6.
Primijenite naučeno.
Koliko iznosi
2·35·5·3-2?
Pokušajte ponovno!
Izvrsno!
Pokušajte opet!
Pomoć:
Grupirajte potencije s bazom3 i pomnožite preostale brojeve.
Postupak:
2·5·35·3-2=10·33=270
Koliko iznosi3·5-4:2·56?
Izvrsno!
Pokušajte opet!
Pokušajte opet!
Pokušajte opet!
Postupak:
3·5-4·12·56=32·5-4+6=1.5·25=37.5
Primjer 4.
Koliko je
15a6:5a3? A koliko je
15·a6:5·a3?
U prvom ćemo slučaju podrazumijevati da je:
15a6:5a3=(15a6):(5a3)=15a65a3=155·a6a3=3a3,
a u drugom slučaju izvodimo računske radnje množenja i dijeljenja onim redom kako dolaze:
15·a6:5·a3=15·a6·15·a3=3a6+3=3a9.
U sljedećim je zadatcima baza neki proizvoljan realni broj različit od nule, a eksponent cijeli broj. Primijenite pravila za računanje s potencijama jednakih baza i rješenje zapišite na papiru u što jednostavnijem obliku, s pomoću potencije.
Možemo li zbrojiti bilo koje dvije potencije prema nekome određenom pravilu?
Potencije možemo zbrojiti samo ako imaju istu bazu i isti eksponent. U tom slučaju zbrajamo koeficijente koji stoje uz potenciju, a potenciju prepišemo.
Primjerice:
2a6+3a6=(2+3)a6=5a6
a17+5a17-4a17=(1+5-4)a17=2a17.
Zadatak 11.
Razvrstajte zadane potencije u tri skupine potencija koje se mogu zbrajati (u obliku u kojem su zadane, bez računanja same potencije).
Zbroj svih potencija u pojedinoj skupini je naziv skupine.
Potencije su:
-3·24,-2·25,24,43,13·25,-12·43,5·24,-2·43,-10·25.
Skupine su označene brojevima 48,-96,32.
-10·25
43
-12·43
-2·25
-2·43
-3·24
13·25
5·24
24
48
-96
32
null
Postupak:
-3·24+24+5·24=3·24
43-2·43-12·43=43-2·43-12·43=-32·43=-32·64=-96
13·25-2·25-10·25=25=32
Zanimljivost
Najpoznatiji je matematički teorem ili tvrdnja zasigurno veliki Fermatov teorem koji je Fermat zapisao na koricama Diofantove Aritmetike još u 17. stoljeću, uz napomenu da je pronašao sjajan dokaz tog teorema, ali su margine knjige preuske da bi ga na njima zapisao. Za tim su sjajnim dokazom mnogi veliki matematičari
tragali više od 350 godina, iako sam teorem ima vrlo jednostavan iskaz:
Ne postoje prirodni brojevi
i broj
veći od
za koje vrijedi
Engleski matematičar Andrew Wiles prvi je koji je u cijelosti 1994. godine uspio dokazati Veliki Fermatov teorem.
Kutak za znatiželjne
Kombinatorika je dio matematike u kojem se često služimo potencijama i pravilima za računanje s njima kako bismo prebrojili elemente nekog skupa ili njegove podskupove. Riješimo nekoliko jednostavnih zadataka.
Zadatak 12.
Jedan dio ispita iz Fizike na državnoj maturi ima
pitanja s po četiri ponuđena odgovora na svako pitanje, od kojih je samo jedan točan. Na koliko se različitih načina može odgovoriti na pitanja?
Na nekom je ispitu iz Matematike
pitanja iz algebre s po dva ponuđena odgovora te 6 pitanja iz geometrije s po četiri ponuđena odgovora, od kojih je samo jedan točan. Na koliko se različitih načina može odgovoriti na pitanja?
U igri yamb baca se pet igraćih kocki, na čijim su stranama nacrtane
ili
točkica. Na koliko različitih načina može tih pet kocki pasti ako bilježimo broj koji se pojavi na gornjoj strani kocke?
Koliko se različitih registarskih tablica može složiti od triju slova hrvatske abecede i od triju znamenki?
Na prvo se pitanje može odgovoriti na 4 načina, a za svaki taj odgovor postoje 4 mogućnosti za odgovor na drugo pitanje, što je ukupno
različita načina da se odgovori na prva dva pitanja. Zatim postoje 4 načina da se odgovori na treće pitanje i tako dalje do zadnjega, 24. pitanja, pa je ukupan broj načina da se riješi test
Slično je i u sljedećem zadatku.
jer se na gornjoj strani svake kocke može pojaviti jedan od 6 brojeva, što daje
različitih kombinacija.
jer računamo da svako slovo možemo izabrati na 30 načina, a znamenku na 10 načina.
...i na kraju
Uparite sljedeće izraze tako da dobijete pravila za računanje s potencijama jednakih baza.