Kako bismo zapisati taj problem?
Ako zamišljeni broj označimo kao nepoznanicu
x, tada prema problemu možemo zapisati algebarski izraz. Nepoznanica pomnožena s
4 je
4x. Tomu dodamo
3 pa je
4x+3 jednako
31.
Zapisujemo jednakost 4x+3=31.
Dobili smo linearnu jednadžbu.
Dobivenu jednadžbu treba riješiti. Što znači riješiti jednadžbu?
Riješiti jednadžbu znači odrediti sve realnoga broja x koje uvrštene u umjesto x daju njezine lijeve i desne strane.
Svaka takva vrijednost x naziva se rješenje jednadžbe.
Primjer 1.
Jednadžbu 4x+3=31 riješimo s pomoću vaganja.
Jednadžbu zamislimo kao vagu koja ima lijevu i desnu stranu, a jednakost znači da su obje strane vage u ravnoteži.
Ako od obiju strana oduzmemo broj
3, vaga će i dalje biti u ravnoteži.
Ako obje strane podijelimo s
4, vaga će i dalje biti u ravnoteži.
Odavde očitamo rješenje jednadžbe x=7.
U svakom je provedenom koraku vaga bila u ravnoteži, odnosno vrijedila je jednakost.
Što možemo reći za jednadžbe 4x+3=31 i 4x=28?
One imaju isto rješenje, x=7.
Jednadžbe koje imaju jednake skupove rješenja nazivaju se ekvivalentne jednadžbe.
Znači da smo raznim transformacijama početnu jednadžbu preoblikovali u ekvivalentne jednadžbe.
Što sve smijemo raditi s jednadžbama da dobijemo ekvivalentne jednadžbe?
T2: Ako obje strane jednadžbe
Gornje tvrdnje zapišite u bilježnicu simbolima.
T1:
a=b⇒a+c=b+c,a,b,c∈R
T2: a=b⇒a·c=b·c,a,b,c∈R,c≠0
Pri rješavanju jednadžbe kažemo da smo broj ili izraz dodali ili oduzeli od obiju strana jednakosti. Na primjer, broj 3 smo oduzeli od obiju strana jednakosti.
4x+3=31/-3
4x+3-3=31-3 ili
4x=31-3
Kraće možemo reći da smo broj 3 "prebacili" na drugu stranu pri čemu smo mu promijenili predznak. Zapis desno isti
je
korak proveden s pomoću prebacivanja broja
3 sa suprotnim predznakom.
Riješite linearne jednadžbe.
Primjer 2.
Za koju će vrijednost realnoga broja a rješenje linearne jednadžbe 5x+2a-7=1-3x biti jednako 12?
Prisjetimo se, što znači da je neki broj rješenje jednadžbe?
Kada taj broj uvrstimo umjesto nepoznanice, trebamo dobiti istinitu jednakost, odnosno
5·12+2a-7=1-3·12.
Dobili smo jednadžbu s nepoznanicom a. Riješimo je.
60+2a-7=1-36
2a=-88
a=-44
Dakle, kad je a=-44, tada će zadana jednadžba imati rješenje x=12.
Provjerite!
Za koju će vrijednost realnog broja t rješenje linearne jednadžbe x3+11=tx+8 biti jednako -4?
t=-512
Riješite linearne jednadžbe.
2x+3=2(x-5)+8
3(4x+11)=6(2x+5)+3
Kakva ste rješenja dobili? Objasnite.
2x+3=2(x-5)+8
2x+3=2x-10+8
0=-5
Dobili smo jednakost koja nije istinita i ne može biti istinita. Koji god broj uvrstimo u početnu jednadžbu umjesto x, uvijek ćemo dobiti 0=-5, što nije istinito pa zaključujemo da jednadžba nema rješenja.
3(4x+11)=6(2x+5)+3
12x+33=12x+30+3
0=0
To je istinita jednakost. Koji god broj uvrstimo u početnu jednadžbu umjesto x, uvijek ćemo dobiti 0=0, što je istinito pa zaključujemo da je bilo koji realni broj rješenje jednadžbe, odnosno da jednadžba ima beskonačno mnogo realnih rješenja.
Linearna jednadžba može imati jedno, nijedno ili beskonačno mnogo realnih rješenja.
Razvrstajte jednadžbe prema broju rješenja.
Primjer 3.
Riješimo linearnu jednadžbu
x+15-3x-22=x-1.
Takvu je jednadžbu najjednostavnije riješiti množenjem s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika, a to je broj 10.
x+15-3x-22=x-1/·10
2(x+1)-5(3x-2)=10(x-1)
2x+2-15x+10=10x-10
-23x=-22
x=2223
U tom smo zadatku trebali biti pažljivi pri sređivanju razlomka koji se oduzima; često se događa da ne promijenimo predznak drugoga člana pripadnoga brojnika. Zato je dobro računati postupno i upotrebljavati zagrade. Uz to, česta je pogreška da zaboravimo pomnožiti izraz bez nazivnika, odnosno izraz s nazivnikom jednakim 1.
Koje je rješenje zadane linearne jednadžbe?
3x-22-5=2x-1
x-74+3x+56=x2-2x+13
x+45-2x-33+3x-22=x3
7x+4x+33=5-x3
Neke nam jednadžbe isprva izgledaju složeno, ali ih jednostavnim računskim radnjama možemo svesti na linearne jednadžbe.
Za jednadžbe u kojima je nepoznanica u nazivniku treba nakon rješavanja provjeriti prihvaćamo li rješenje ili ne.
Primjer 4.
Riješimo jednadžbu x+2x2-4=0.
Ta se jednadžba također svodi na linearnu jednadžbu jer znamo da je razlomak jednak nula ako mu je brojnik jednak nuli. To znači
x+2=0, odnosno
x=-2.
Međutim, ako taj broj uvrstimo u nazivnik, vrijednost će nazivnika biti nula pa taj broj ne može biti rješenje jednadžbe, to jest kažemo da zadana jednadžba nema rješenja.
Uparite jednadžbu s pripadajućim rješenjem.
20-x2x-1=4
|
-1 |
32x+1x=4-53x
|
53 |
5+3x=2
|
2524 |
2x-5x-2=5
|
1631 |
U sljedećim zadatcima primjenjujemo distributivnost i formule za kvadrat binoma te razliku kvadrata.
Riješite jednadžbe.
Primjer 5.
Riješimo jednadžbu (x-4)(x+7)=0.
Iako je dana jednadžba drugog stupnja, tako faktorizirana omogućuje nam da je jednostavno riješimo. Uočimo da je zadan umnožak dvaju izraza koji mora biti jednak nuli.
To znači da je
(x-4)(x+7)=0
ako je
x-4=0 ili
x+7=0,
odnosno
x=4 ili x=-7.
Svakoj jednadžbi pridružite odgovarajuća rješenja.
U ovisnosti o realnom parametru p raspravite rješenja linearnih jednadžbi:
Izrazite nepoznanicu xpa provjerite za koje vrijednosti parametra p nije definirana.
za p=0 jednadžba nema rješenja, za p=1 rješenje je bilo koji realni broj, a za p≠0
i p≠1 rješenje je x=-2(1+p)p
za
p=0 ili
p=-3 ili
p=-13 jednadžba nema rješenja, za
p≠0 i
p≠-3 i
p≠-13 rješenje je
x=17+6p3p+1
za p=2 ili p=-2 ili p=-6 jednadžba nema rješenja, za p≠2 i p≠-2 i p≠-6 rješenje je x=4p-1p+6
Prevedite rečenice u linearne jednažbe i riješite ih.
Uparite redni broj zadatka s odgovarajućom jednadžbom i riješite ju.
c.
|
4x-29=2x+5 |
a.
|
3x+5=2(x+5) |
d.
|
x+(x+5)=29 |
b.
|
2[x+(x+5)]=29 |
Riješite jednadžbe.