Matematika 1 - 4.3 Primjena jednadžbi

Na početku...

Jednadžbe se vrlo često pojavljuju u fizici i već ste ih rješavali (Fizika 1). Pogledajmo matematički pristup jednome fizikalnom problemu.

Slobodni se penjač penjao na visoku stijenu. Jednu se trećinu puta penjao jednolikom brzinom od približno $5$ metara u minuti, a preostali se dio puta penjao jednolikom brzinom od $2$ metra u minuti. Trebala su mu $4$ sata da osvoji vrh stijene. Koliko je visoka stijena na koju se penjao?

Ono što nas obično, s matematičkog stajališta, zbunjuje u fizici jest više varijabli u formuli. Katkad je teško uočiti što su varijable, a što konstante, kako ih međusobno povezati i napisati jednadžbu.

U ovom ćemo primjeru nastojati sve zadane podatke pregledno zapisati i upotrebljavati samo jednu varijablu. To je u matematičkom pristupu problemu jedan od važnijih koraka u rješavanju.

Sve podatke za put, brzinu i vrijeme dobro je za svaki dio puta, smjer ili sudionika nekog problema gibanja zapisati u tablicu ili dijagram.

$h$ je visina stijene

	put (m)	brzina (m/min)	vrijeme (min)
1. dio puta	$\frac{1}{3} h$	$5$	$\frac{\frac{1}{3} h}{5}$
2. dio puta	$\frac{2}{3} h$	$2$	$\frac{\frac{2}{3} h}{2}$

Koristili smo se vezom između puta, brzine i vremena $(v r i j e m e = \frac{p u t}{b r z i n a})$ te izrazili vrijeme upotrebljavajući varijablu $h$ . Time smo izbjegli uvođenje nove varijable. Vrijeme smo, radi jednostavnosti, računali u minutama.

Kako izračunati visinu? Kako napisati jednadžbu?

Pročitajmo ponovno tekst i uočimo da je ukupno vrijeme za 1. dio i 2. dio penjanja jednako $4$ sata ili $240$ minuta. Pišemo

$\frac{\frac{1}{3} h}{5} + \frac{\frac{2}{3} h}{2} = 240.$

Dobili smo jednostavnu linearnu jednadžbu iz koje proizlazi da je visina stijene $600$ metara.

Postoji li neka strategija kojom se rješavaju problemski zadatci?

U prethodnim smo jedinicama govorili o algebarskim izrazima, metodama rješavanja raznih linearnih jednadžbi i onih koje se svode na njih. Time smo stekli osnovno znanje potrebno za rješavanje problemskih zadataka koje susrećemo u raznim područjima, a povezano je s linearnom jednadžbom. Riješimo nekoliko problemskih zadataka iz različitih područja kako bismo otkrili neke osnovne korake u njihovu rješavanju.

Krenimo prvo od samoga matematičkog područja.

Numerički problemi ili problemi povezani s brojevima

Primjer 1.

U jednoj je školi na godišnjem ispitu iz Matematike za 1. razred prosječan broj postignutih bodova iznosio $40 .$ U dvama je razredima prosječan broj postignutih bodova iznosio $35$ bodova, a u svim je ostalim taj broj iznosio $55 .$ Koliko je ukupno učenika bilo u dvama spomenutim razredima ako su ukupno $84$ učenika prvih razreda?

Pročitajmo pozorno zadatak i uočimo što je zadano, a što se traži. Katkad možemo i procijeniti ili nagađati što bi moglo biti rješenje. Sve nam to može pomoći u razumijevanju problema.
Važan je korak označiti nepoznatu veličinu odabranom varijablom. Ako nepoznatih veličina ima više, nastojimo ih zapisati koristeći se algebarskim izrazom s istom odabranom varijablom.

a. U našem ćemo slučaju kao nepoznanicu označiti ukupan broj učenika u dvama razredima s prosjekom $35$ bodova.

Uparite varijablu ili algebarski izraz s nepoznatom veličinom koju označuje.

$84 - x =$	Broj učenika u dva razreda s prosjekom 35 bodova.
$x =$	Broj ostalih učenika s prosjekom 55 bodova.

null

Sljedeći je korak povezivanje poznatih i nepoznatih veličina. U tu ćemo svrhu katkad skicirati dijagram, podatke pregledno zapisati u tablicu, ponovno čitati tekst i podcrtati važne informacije ili možda kao u uvodnom primjeru potražiti postojeću formulu.

b. U našem ćemo primjeru iskoristiti informaciju o prosjeku bodova.

Ako su ukupno

84

učenika s prosjekom

40

bodova, tada zbroj svih postignutih bodova iznosi

Zamijenite mjesta faktorima. Unesite prvo broj učenika.

\cdot

Zamijenite mjesta faktorima.

= 3 360

null

Ukupan je zbroj bodova u dvama spomenutim razredima

\cdot

Zamijenite mjesta faktorima.

, a ukupan je zbroj bodova u ostalim razredima (

-

Zamijenite mjesta faktorima.

)

\cdot

null

c. Možemo li napisati jednadžbu?

Jednadžbu ćemo postaviti prema ukupnom zbroju bodova.

x \cdot 35

(84 - x) \cdot 55

84 \cdot 40

null

Zadatak 1.

d. Riješite napisanu jednadžbu iz prethodnog primjera.

Nakon što se provedu računske radnje s lijeve strane jednadžbe $x \cdot 35 + (84 - x) \cdot 55 = 3 360,$ slijedi

$- 20 x = - 1 260 \Rightarrow x = 63 .$

Iako se to često zanemari, vrlo je važno na kraju dobiveno rješenje provjeriti i odgovoriti na postavljeno pitanje. Katkad to pitanje zahtijeva dodatnu računsku radnju.

e. Provjerite rješenje i zapišite u bilježnicu odgovor na postavljeno pitanje u prvom primjeru.

Ukupno su $63$ učenika u dvama razredima s prosjekom od $35$ bodova.

Ukupan zbroj bodova odgovara jer je $63 \cdot 35 + (84 - 63) \cdot 55 = 1 155 + 2 205 = 3 360 .$

Primjer 2.

Karlo je imao tri brata – Ivana, Josipa i Marka. Njegov je djed, na pitanje koliko su mu stari unuci, često odgovarao sljedećim riječima: „Marko je pet godina stariji od Ivana. Ivan je tri godine mlađi od Josipa, koji je trostruko stariji od Karla.” Prije deset godina Marko je bio dvostruko stariji od Ivana.

Koliko godina imaju braća?

Označit ćemo broj godina jednog od braće s varijablom $x,$ a godine ostalih koristeći se algebarskim izrazom i istom varijablom. Kako su godine svakog od četvorice braće nepoznate, možemo birati prema iskustvu ili procjeni što će nam biti jednostavnije za računanje.

Primjerice, neka je $x$ broj Josipovih godina.

a. Zapišite broj godina Ivana, Karla i Marka.

Svaki od algebarskih izraza predstavlja broj godina jednog od unuka. Razvrstajte ih u skupine prema imenu unuka čije su to godine.

x

x - 3

\frac{x}{3}

x + 2

Josip

Ivan

Karlo

Marko

null

b. Kako do broja $x ?$

Koliko su godina imali Marko i Ivan prije deset godina? Tu moramo biti pažljivi jer se obično zaboravi da su obojica imala deset godina manje.

Prije deset godina Marko je imao

godina.
Prije deset godina Ivan je imao

godina.

x - 8

x - 13

null

c. Kako zapisujemo da je prije deset godina Marko bio dvostruko stariji od Ivana?

Napišite jednadžbu.

= 2 \cdot

(x - 8)

(x - 13)

null

Zadatak 2.

Riješite napisanu jednadžbu iz prethodnog primjera i odgovorite na postavljeno pitanje uz provjeru rješenja.

Iz $x - 8 = 2 x - 26$ slijedi $x = 18 .$

Izračunali smo da Josip ima $18$ godina. Kako bismo zadatak potpuno riješili, moramo još izračunati koliko godina imaju Ivan, Karlo i Marko. Vratimo se malo.

Ivan ima $x - 3 = 15$ godina.

Karlo ima $\frac{x}{3} = 6$ godina.

Marko ima $x + 2 = 20$ godina.

Provjera: $20 - 10 = 2 \cdot (15 - 10) .$

Geometrijski problem

Primjer 3.

Dječje igralište ima oblik pravokutnika kojemu je duljina $1.5$ metara dulja od širine. Gradske su vlasti odlučile povećati površinu igrališta za $20$ kvadratnih metara. Pritom su njegovu duljinu povećale za $4$ metra, a širinu za $1$ metar. Kolike su bile dimenzije igrališta prije povećanja?

Pri rješavanju geometrijskih problema obično je najkorisnija skica na kojoj su označeni svi podatci, i oni poznati i oni nepoznati.

Označite na sljedećoj skici podatke iz zadatka.

Označite dimenzije pravokutnika prije i poslije povećanja. Dovucite dane elemente na označene linije.

$x$

$x + 1$

$x + 1.5$

$x + 5.5$

null

Napišimo jednadžbu koja povezuje ta dva pravokutnika i rješava problem.

Površina se igrališta poveća za $20$ pa vrijedi da je

\cdot

+

=

\cdot

(x + 5.5)

(x + 1)

(x + 1)

x

20

Pomoć:

U slučaju da vam odgovor nije priznat, pokušajte promijeniti redoslijed faktora. Upišite faktore u poretku: širina *duljina.

null

Zadatak 3.

Riješite napisanu jednadžbu iz prethodnog primjera.

Rješenje jednadžbe $x (x + 1.5) + 20 = (x + 1) (x + 5.5)$ je $x = 2.9 m .$

Dimenzije početnog pravokutnika, odnosno duljina i širina igrališta prije povećanja su redom $4.4 m i 2.9 m .$

Provjera.

Prije povećanja: $2.9 \cdot 4.4 = 12.76 m^{2}$

Poslije povećanja: $(2.9 + 1) (4.4 + 4) = 3.9 \cdot 8.4 = 32.76 m^{2}$

Očito se površina povećala za $20$ kvadratnih metara, što znači da smo dobro izračunali dimenzije igrališta.

Problem rada

Zadatak 4.

Školski je domar morao očistiti snijeg oko cijele škole prije početka nastave. Ako bude čistio sam, trebat će mu $3$ sata i neće stići sve očistiti na vrijeme. Njegov bi sin sav snijeg očistio sam za $2$ sata. Sin također ne može sam na vrijeme očistiti sav snijeg. Koliko će im vremena trebati da očiste sav snijeg oko škole ako čiste zajedno? Ako počnu čistiti u $6 : 30$ minuta, hoće li do $8 : 00$ očistiti sav snijeg?

To je primjer zadatka gdje nam pregledno zapisivanje podataka može pomoći za razumijevanje zadatka.

Promotrimo.

Neka je $t$ broj potrebnih sati da domar i sin zajedno završe cijeli posao, to jest očiste snijeg. Sve podatke možemo pregledno zapisati, primjerice, kao u sljedećoj tablici.

	vrijeme potrebno za cijeli posao (sati)	količina posla po jednom satu (brzina rada)
samo domar	$3$	$\frac{1}{3}$
samo sin	$2$	$\frac{1}{2}$
zajedno	$t$	$\frac{1}{t}$

Što možete zaključiti iz tablice?

Koji je od sljedećih zaključaka ispravan?

t = 2 + 3

\frac{1}{t} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}

t = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}

null

Riješite zadatak koristeći se tablicom i prethodnim zaključkom.

Jednadžbu pišemo promatrajući koliki dio posla svaka osoba posebno obavi u jednom satu (u jedinici vremena).

Tada zajedno obave u jednom satu $\frac{1}{t} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$ dio cijelog posla.

Slijedi

$\frac{1}{t} = \frac{5}{6}$

$t = \frac{6}{5} = 1.2$ sata ili $1$ sat i $12$ minuta.

Ako zajedno čiste, domar i sin će na vrijeme očistiti snijeg jer su od $6 : 00$ do $8 : 30$ imali na raspolaganju $1$ sat i $30$ minuta, što je više od njima potrebnog $1$ sata i $12$ minuta.

Mogli smo jednadžbu zapisati i na drugi način:

vrijeme ∙ količina posla po minuti = „jedan cijeli posao ”, odnosno

$t \cdot (\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) = 1 .$

Problem smjese

Primjer 4.

U svježim je smokvama $75 %$ vode, a u suhim $20 % .$ Koliko bismo kilograma svježih smokava trebali ubrati ako želimo nakon sušenja imati $6$ kilograma suhih smokava?

Zanimljivost

Zašto suho voće?

Procesom sušenja stvaraju se nepovoljni uvjeti za razvoj raznih štetnih mikroorganizama. U suhom voću koje ne sadržava više od $30 %$ vode prestaje aktivnost bakterija, a ako ne sadržava više od $20 %$ vode, prestaje i aktivnost plijesni. Pritom ostaju sačuvani mnogi vitamini i nutritivne vrijednosti voća.

Takve je i slične probleme također lakše razumjeti i riješiti ako pregledno zapišemo podatke.

Pogledajmo. Svako voće sadržava jedan dio vode, a ostatak je suha tvar. U procesu sušenja gubi se voda, a suha tvar količinski ostaje ista. Zato ćemo u sljedeću tablicu zapisati koliko svježe ili suhe smokve u postotku sadržavaju vode, a koliko suhe tvari.

Neka je $x$ potrebna količina svježih smokava u kilogramima.

	voda	suha tvar	količina
svježe voće	$75 %$	$25 %$	$x kg$
suho voće	$25 %$	$80 %$	$6 kg$

Jednadžbu koja modelira problem zapisujemo koristeći se činjenicom da količina suhe tvari u voću ostaje sačuvana prije procesa sušenja i poslije tog procesa.

Kako ju zapisujemo?

75 % od x = 20 % od 6

75 % od x = 80 % od 6

25 % od x = 80 % od 6

25 % od x = 20 % od 6

null

U sljedećoj interaktivnosti zapišite cijeli postupak rješavanja problema te provjeru na kraju.

Neka je

x

potrebna količina svježih smokava.

$x = \frac{480}{25} = 19.2 kg$
$0.25 \cdot 19.2 = 4.8 i 0.8 \cdot 6 = 4.8$
Potrebno je $19.2 kg$ svježih smokava da bi se dobilo $6 kg$ suhih smokava.
$\frac{25}{100} \cdot x = \frac{80}{100} \cdot 6$
$25 x = 80 \cdot 6$

null

Nakon svih tih primjera možemo pokušati zapisati neke opće upute ili plan rješavanja problemskih zadataka.

Razvrstat ćemo u četiri glavne skupine neke činjenice, pitanja, radnje koji nam pomažu u razumijevanju ili provođenju postupka rješavanja problemskih zadataka. Nazivi su skupina važni koraci koje trebamo provesti pri rješavanju: Pročitaj, Poveži, Riješi, Provjeri. U zadatcima ćemo upotrebljavati skraćenu oznaku PPRP.

Kako to izgleda, pogledajmo u animaciji.

Problem gibanja

Uvodni je primjer bio jedan od tipičnih problema gibanja. Pokušajte sad samostalno riješiti još jedan.

Zadatak 5.

Ana kreće u $9 : 00 h$ biciklom iz Vinkovaca prema Osijeku i vozi jednolikom brzinom od $24 km/h .$ Pero kreće u $9 : 40 h,$ također biciklom, iz Osijeka prema Vinkovcima i vozi jednolikom brzinom od $36 km/h$ po istoj cesti. Kada će se i gdje susresti Ana i Pero ako je udaljenost koju trebaju prijeći između Vinkovaca i Osijeka $42 km$ ?

Upotrebljavajući PPRP strategiju, riješite dani zadatak.

Neka je $t$ vrijeme u satima $(h)$ koje je Ana provela na putu do trenutka susreta. Put računamo u kilometrima $(km),$ a brzinu u $km/h .$

Razvrstajte u skupine postupak rješavanja.

Pero:
vrijeme:

t - \frac{2}{3}

brzina:

36

put:

36 (t - \frac{2}{3})

Ana:
vrijeme:

t,

brzina:

24,

put:

24 t

Srest će se

24 \cdot 1.1 = 26.4 km

od Vinkovaca prema Osijeku.

24 t + 36 t = 42 + 24

t = 1.1 h = 1 h i 6 \min

Pero:

36 \cdot (1.1 - \frac{2}{3}) = 15.6

26.4 km + 15.6 km = 42 km

Jednadžba je

24 t + 36 (t - \frac{2}{3}) = 42

Srest će se

1.1

sat iza

9 : 00,

10 : 06 .

Ana:

24 \cdot 1.1 = 26.4

Pročitaj

Poveži

Riješi

Provjeri

Pomoć:

Ana i Pero ukupno su prešli cijelu udaljenost od $42 km,$ pa jednadžbu pišemo zbrajajajući njihove putove.

null

$x (x + 2) = {(x + 2)}^{2} - 100 \Rightarrow x = 48 .$ Traženi su brojevi $48$ i $50 .$
$x$ je broj Tonijevih godina danas ili zbroj godina njegove djece danas. Prije $10$ je godina svatko od njih imao $10$ godina manje pa je zbroj godina njegove troje djece za $30$ manji.

Pišemo $x - 10 = 2 (x - 30) \Rightarrow x = 50 .$ Toni danas ima $50$ godina.
$\frac{5}{100} \cdot 60 = \frac{2}{100} (x + 60) \Rightarrow x = 90 .$ Treba dodati $90$ litara obične vode.
Krešo prvo radi sam $2$ sata i obavi $2 \cdot \frac{1}{8}$ od cijelog posla, a zatim mu se pridruži Dario i zajedno rade $x$ sati dok ne obave sav posao.

Jednadžba je $2 \cdot \frac{1}{8} + x \cdot (\frac{1}{8} + \frac{1}{10}) = 1 \Rightarrow x = 3 \frac{1}{3} .$

Trebalo im je ukupno $3$ sata i $20$ minuta da podijele sve letke od trenutka kada su počeli zajedno raditi, u $11 : 00$ sati. To znači da će završiti u $14$ sati i $20$ minuta i podijeliti letke na vrijeme.
$(x + 5) (x - 3) - x^{2} = 25 \Rightarrow x = 20 \Rightarrow o = 80 cm .$

Primjena jednadžbi s apsolutnom vrijednosti

Primjer 5.

Idealan prsten za Evu ima promjer $21.1 mm$ s maksimalnim odstupanjem od $1.5 mm .$ Kako zlatar nema prsten Evinih idealnih dimenzija, ponudio je prstene nekih svojih standardnih dimenzija.

Pomozite Evi otkriti ima li zlatar odgovarajući prsten?

Odaberite donju i gornju granicu promjera prstena koji odgovara Evi?

18.6

19.6

20.6

21.6

22.6

null

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 6.

Napišite jednadžbu s apsolutnom vrijednosti kojom možemo izračunati odabrane promjere u prethodnom primjeru.

$|x - 21.1| = 1.5$

Riješite zadatke koristeći se apsolutnom vrijednosti.

Zadatak 7.

Trgovac automobilima kaže da je idealna prodajna cijena za neki određeni automobil $85 000 kn,$ ali će biti zadovoljan ako se prodajna cijena ne razlikuje više od $5 % .$ Na koju će najnižu cijenu trgovac pristati?

Na cijenu od $80 750 kn .$

Zadatak 8.

Dora je prema nekim formulama izračunala da je njezina idealna tjelesna masa $57 kg .$ Smatra se da je rizik za zdravlje svako odstupanje od idealne mase za više od $10 % .$ Koji je broj kilograma gornja, a koji donja granica koju Dora ne smije prijeći ako ne želi ugroziti svoje zdravlje? Koja će jednadžba dati rješenje problema?

Odaberite jedan točan odgovor.

|x - 57| = 10

|x - 57| = 5.7

|x - 57| = 62.7

|x - 5.7| = 57

null

Dora ne smije prijeći donju granicu od $51.3 kg$ ili gornju granicu od $62.7 kg .$

Zadatak 9.

Pri kupovini je novog termometra Dinu bio važan podatak da je na termometru istaknuta maksimalna relativna pogreška od $0.5 % .$ Radi provjere, više je puta izmjerio temperaturu. Srednja je vrijednost izmjerenih temperatura $36.2 ° C .$ Koliko $° C$ može iznositi stvarna temperatura?

Podsjetite se pojma maksimalne apsolutne i relativne pogreške iz prvog modula Aktivnosti za samostalno učenje.

$r_{m a x} = \frac{△ x}{\bar{x}}, △ x = |x - \bar{x}|$

Iz prve formule slijedi

$0.005 = \frac{△ x}{36.2} \Rightarrow △ x = 0.181 \approx 0.2 .$

Tada je $|x - 36.2| = 0.2,$ a rješenja su $36$ i $36.4 .$

Zatvori

4.3 Primjena jednadžbi

Na početku...

Numerički problemi ili problemi povezani s brojevima

Zadatak 1.

Josip

Ivan

Karlo

Marko

Zadatak 2.

Geometrijski problem

Zadatak 3.

Problem rada

Zadatak 4.

Problem smjese

Zanimljivost

Problem gibanja

Zadatak 5.

Pročitaj

Poveži

Riješi

Provjeri

Primjena jednadžbi s apsolutnom vrijednosti

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

...i na kraju

4.4 Svojstva uređaja u skupu R i intervali