Matematika 1 - 4.2 Jednadžbe s apsolutnim vrijednostima

Na početku...

Ponovimo pojam apsolutne vrijednosti.

Na sljedećoj su mapi označena četiri područja: definicija, svojstvo, primjer (točno), primjer (netočno).

Svaki od navedenih elemenata smjestite povlačenjem na crtu u odgovarajućem području.

Na slici je pravokutnik podijeljen na četiri dijela: za apsolutnu vrijednost treba postaviti definiciju, svojstvo, primjer (točno), primjer (netočno).

$|x| = \{\begin{cases} - x za x \leq 0 \\ x za x > 0 \end{cases}$

$|x| = - 2 \Rightarrow x = 2$

$|x| = a, a \geq 0 \Rightarrow x = a$ ili $x = - a$

$|x| = 2$ ili udaljenost broja $x$ od 0 iznosi 2

null

Praktična vježba

Nacrtajte istu takvu tablicu na papiru i, radeći u paru, dopišite još neka svojstva, primjere točnih tvrdnji i primjere netočnih tvrdnji.

Raspravite s ostalima što ste zapisali.

I još malo ponavljanja...

Uparite tako da dobijete istinitu tvrdnju.

Apsolutna je vrijednost realnoga broja uvijek
Apsolutna je vrijednost negativnoga realnoga broja njegov
Apsolutna vrijednost realnoga broja mjeri njegovu
$\|x - y\|$ mjeri

null

Na brojevnom pravcu

Primjer 1.

Koji je realni broj udaljen od nule točno za $5$ jedinica na brojevnom pravcu?

Koliko ima takvih brojeva?

Označite na brojevnom pravcu kojeg ste nacrtali na papiru.

Dva su takva broja, $5 i - 5 .$

Što algebarski znači i kako zapisati da tražimo „broj koji je od nule udaljen za $5$ jedinica ” ?

Ako algebarski tražimo „broj koji je od nule udaljen za

5

jedinica ” ,rješit ćemo s apsolutnom vrijednosti:

|x| = 5 .

Njezina su brojevi

x = 5 i x = - 5 .

null

Osnovna jednadžba s apsolutnom vrijednosti je jednadžba oblika $|x| = a, a \in R, a \geq 0 .$

U geometrijskom smislu tražimo brojeve $x$ koji su od nule udaljeni za $a .$

Ilustracija svojstva apsolutne vrijednosti da je apsolutno jednako broju a ako i samo ako je unutra broj a ili -a.

Zadatak 1.

Riješite sljedeće jednadžbe s apsolutnom vrijednosti.

U zadatcima može biti više točnih odgovora.

Rješenje jednadžbe $|x| = a,$ $a \in R$ je:

$\{\begin{array}{l} x = a ili x = - a ako je a > 0 \\ 0 ako je a = 0 \\ nema rješenja ako je a < 0 \end{array}$

Primjer 2.

U žurbi je, da bi što prije krenuo na zasluženi godišnji odmor, Marin zaboravio natočiti gorivo u svoj automobil. Na putu prema odredištu morao je pozvati prijatelja upomoć i objasniti gdje se nalazi. Rekao je: „Nalazim se sto metara od oznake $16 .$ kilometra te ceste.”

Je li Marin bio precizan? Koji je njegov točan položaj?

Zamislimo cestu kao brojevni pravac, s oznakom za šesnaesti kilometar u broju $16 .$ Marin je od te oznake udaljen $100$ metara, ali ne znamo je li $100$ metara prema početku ili $100$ metara prema kraju ceste (od početka do kraja brojenja kilometara te ceste).

Označimo Marinov položaj na brojevnom pravcu s $x$ (kilometri od početka ceste). Udaljenost Marina od oznake 16. kilometra jednaka je $0.1 km .$ To znači da udaljenost broja $x$ od broja $16$ na brojevnom pravcu iznosi $0.1 .$

Udaljenost 100 metara od 16. km je 16 km + 100 m ili 16 km - 100 m.

Sa slike vidimo da su točno dva takva broja, $x = 15.9 i x = 16.1 .$ Prema tome, Marinov je položaj ili na $15.9 km$ ili na $16.1 km$ od početka ceste.

Za određivanje Marinova položaja intuitivno smo primijenili geometrijski prikaz. No znamo da to nije uvijek praktična i pouzdana metoda.

Kao što smo na početku ponovili, udaljenost je dvaju brojeva apsolutna vrijednost njihove razlike. Zato isti zadatak možemo zapisati i algebarski u obliku jednadžbe s apsolutnom vrijednosti:

$|x - 16| = 0.1.$

Njezina su rješenja $x = 16 + 0.1 = 16.1 i x = 16 - 0.1 = 15.9 .$

Zadatak 2.

Povežite jednadžbu s apsolutnom vrijednosti i njezinu geometrijsku interpretaciju.

$\|x + 2.5\| = 3.8$	Broj $x$ je od broja $6$ udaljen za $1$ .
$\|x - 6\| = 15$	Dvokratnik broja $x$ je od broja $3$ udaljen za $10 .$
$\|2 x - 3\| = 10$	Broj $x$ je od broja $0.25$ udaljen za $1.5 .$
$\|x - \frac{1}{4}\| = \frac{3}{2}$	Broj $x$ je od broja $- 2.5$ udaljen za $3.8 .$

null

Jednadžbe koje se svode na $|x| = a,$ $a \in R,$ $a \geq 0$

Primjer 3.

Riješimo jednadžbu $|x - 4.5| = 2.3 .$

Primjer 4.

Algebarski pristup

Rješavamo kao i jednadžbu $|x| = a, a \in R, a \geq 0$ . Zato vrijedi:

$\|x - 4.5\| = 2.3$
$↙ ↘$
$\begin{array}{l} x - 4.5 = - 2.3 \\ x = 4.5 - 2.3 \\ x = 2.2 \end{array}$	ili	$\begin{array}{l} x - 4.5 = 2.3 \\ x = 4.5 + 2.3 \\ x = 6.8 . \end{array}$

Taj je način rješavanja primjenjiv uvijek kad imamo sve članove izraza unutar jedne zagrade apsolutne vrijednosti na jednoj strani jednadžbe, a nenegativan realan broj na drugoj strani.

Zadatak 3.

Riješite jednadžbu $|\begin{array}{l} x & + & \frac{7}{6} \end{array}| = \frac{8}{3}$ tako da povučete i složite sve korake prema redoslijedu njezina rješavanja.

$x + \frac{7}{6} = \frac{8}{3} ili x + \frac{7}{6} = - \frac{8}{3}$
$x = \frac{- 7 + 16}{6} ili x = \frac{- 7 - 16}{6}$
$x = - \frac{7}{6} + \frac{8}{3} ili x = - \frac{7}{6} - \frac{8}{3}$
$x = \frac{3}{2} ili x = - \frac{23}{6}$

null

Zadatak 4.

Riješite sljedeće jednadžbe gore opisanom algebarskom metodom.

$|3 x + 5| = 12$
$|\frac{1}{2} x - 4| = 6$
$|\frac{2 - x}{x - 3}| = 3$
$|\frac{2}{x} + 3| = 5$

$x = \frac{7}{3}, x = - \frac{17}{3}$
$x = - 4, x = 20$
$x = \frac{11}{4}, x = \frac{7}{2}$
$x = - \frac{1}{4}, x = 1$

Primjer 5.

Kako riješiti jednadžbu $|2 x - 3| = 3 x$ ?

Po čemu se ta jednadžba razlikuje od jednadžbe $|2 x - 3| = 5 ?$

Označite sve točne tvrdnje među ponuđenima.

Označite sve točne tvrdnje među ponuđenima.

Na desnoj strani jednadžbe nije konstanta nego varijabla.

Obje se jednadžbe mogu riješiti istom metodom, bez dodatnih uvjeta i provjera.

Obje se jednadžbe mogu riješiti istom metodom uz dodatnu provjeru rješenja.

Obje jednadžbe imaju dva rješenja.

Jednadžba

|2 x - 3| = 3 x

ima rješenje samo za

x \geq 0 .

null

Posljednja tvrdnja omogućuje rješavanje jednadžbe $|2 x - 3| = 3 x$ na isti način kao i jednadžbe $|2 x - 3| = 5$ jer je varijabla $x$ zamjena za bilo koji realan broj.

Međutim, kao što smo prije vidjeli, ovisno o tom broju jednadžba može imati različiti broj rješenja ili ih uopće ne imati.

Zato, ako nam je u jednadžbi apsolutna vrijednost jednaka algebarskom izrazu, jednadžba će imati rješenje samo ako je taj algebarski izraz nenegativan.

Taj ćemo uvjet postaviti na početku rješavanja jednadžbe i na kraju provjeriti je li ispunjen za dobivena rješenja. Pogledajmo.

Uvjet da jednadžba ima rješenje je $3 x \geq 0 .$

$\|2 x - 3\| = 3 x, 3 x \geq 0$
$↙ ↘$
$\begin{array}{l} 2 x - 3 = - 3 x \\ 2 x + 3 x = 3 \\ x = \frac{3}{5} \\ 3 \cdot \frac{3}{5} > 0 \end{array}$	ili	$\begin{array}{l} 2 x - 3 = 3 x \\ 2 x - 3 x = 3 \\ x = - 3 \\ 3 \cdot (- 3) < 0 \end{array}$

Rješenje $x = - 3$ ne zadovoljava uvjet pa je jedino rješenje početne jednadžbe $x = \frac{3}{5} .$

Zadatak 5.

Riješite jednadžbe s apsolutnom vrijednosti.

$|3 x - 1| = x + 3$
$|\frac{2 x - 1}{2}| = - 2 x + \frac{5}{2}$
$14 |\frac{x}{7} + \frac{1}{14}| - 3 = 5 x$
$\frac{|3 x - 1|}{- x} = 4$

$\|3 x - 1\| = x + 3, x + 3 \geq 0$
$↙ ↘$
$\begin{array}{l} 3 x - 1 = x + 3 \\ 2 x = 4 \\ x = 2 \end{array}$	ili	$\begin{array}{l} 3 x - 1 = - x - 3 \\ 4 x = - 2 \\ x = - \frac{1}{2} \end{array}$

$x = 1$
$x = - \frac{4}{7}$
$x = - 1 .$

Primjer 6.

Zadatak 6.

Riješite jednadžbe.

$||2 - x| - 3| = 1$
$||3 x - 5| - 5| = 5$
$|10 - 2 |x + 1|| = 20$
$|||x - 2| - 3| - 4| = 5$

Skup rješenja je $\{- 2, 0, 4, 6\} .$
Skup rješenja je $\{- \frac{5}{3}, \frac{5}{3}, 5\} .$
Skup rješenja je $\{- 16, 14\} .$
Skup rješenja je $\{- 10, 14\} .$

Jednadžbe koje se svode na $|x| = |y|$

Primjer 7.

Ako je $|x| = |y|,$ što možemo zaključiti o brojevima $x i y ?$ Što to znači u geometrijskom smislu?

Ako je

|x| = |y|,

tada su brojevi

x i y

jednako udaljeni od na brojevnom pravcu.
To je moguće samo ako su brojevi

x i y

Pokušajte zamijeniti redoslijed s odgovorom koji neposredno slijedi.

brojevi ili ako su to

Pokušajte zamijeniti redoslijed s prethodnim odgovorom.

brojevi.

null

Zadatak 7.

Za koje od sljedećih parova brojeva vrijedi $|x| = |y| ?$

Više je mogućih odgovora.

x = 4 i y = 4

x = 4 i y = - 4

x = - 17 i y = - 17

x = 17 i y = 0

x = - \frac{13}{5} i y = 2 \frac{3}{5}

null

$|x| = |y| \Leftrightarrow x = y ili x = - y$

Primijenimo istaknuto svojstvo u rješavanju sljedećih jednadžbi s apsolutnom vrijednosti.

Zadatak 8.

a. Riješite jednadžbu

|x| = |2 x - 7| .

Povlačenjem složite elemente prema redoslijedu rješavanja dane jednadžbe.

$x = 2 x - 7 ili x = - (2 x - 7)$
$x = 7 ili x = \frac{7}{3}$
$x - 2 x = - 7 ili x + 2 x = 7$
$- x = - 7 ili 3 x = 7$

null

b. Riješite jednadžbu $|3 x + 8| = |4 x - 1| .$

Povlačenjem složite elemente prema redoslijedu rješavanja dane jednadžbe.

$3 x + 8 = 4 x - 1 ili 3 x + 8 = - (4 x - 1)$
$3 x - 4 x = - 8 - 1 ili 3 x + 4 x = - 8 + 1$
$- x = - 9 ili 7 x = - 7$
$x = 9 ili x = - 1$

null

Kutak za znatiželjne

Kako riješiti jednadžbu $x^{2} = 9 ?$

Znamo da postoje dva broja koja kvadrirana daju broj $9 .$ To su brojevi $3$ i $- 3 .$

Vidjeli smo na početku ove jedinice da ta ista rješenja ima i jednadžba $|x| = 3 .$

Kažemo da su te dvije jednadžbe ekvivalentne jer imaju isti skup rješenja.

Ta tvrdnja vrijedi i općenito. Zapišimo to.

$x^{2} = a, a \geq 0 \Leftrightarrow |x| = \sqrt{a}$

Rješenja jednadžbe $x^{2} = 9$ jednostavno smo odredili napamet, ali zašto baš ima dva rješenja? Pogledajmo sljedeći postupak.

$\begin{array}{l} x^{2} = 9 \\ x^{2} - 9 = 0 \\ (x + 3) (x - 3) = 0 \end{array}$
$↙ ↘$
$\begin{array}{l} x + 3 = 0 \\ x = - 3 \end{array}$	ili	$\begin{array}{l} x - 3 = 0 \\ x = 3 \end{array}$

Koristili smo se činjenicom da je umnožak dvaju brojeva jednak $0$ ako i samo ako je jedan od faktora jednak $0 .$

Nekad želimo izbjeći taj postupak pa zadatak svodimo na jednadžbu s apsolutnom vrijednosti primjenjujući gore istaknuto svojstvo.

Zadatak 9.

Riješimo jednadžbu ${(5 x - 1)}^{2} = 16 .$

U sljedećoj tablici povlačenjem složite elemente (koji se nalaze ispod tablice) prema redoslijedu rješavanja dane jednadžbe – u prvom stupcu rastavljanjem na faktore, a u drugom stupcu svođenjem na jednadžbu s apsolutnom vrijednošću.

Tablica sa zadacima u prvom stupcu rastavljanjem na faktore, a u drugom stupcu svođenjem na jednadžbu s apsolutnom vrijednošću.

${(5 x - 1)}^{2} - 16 = 0$

$(5 x - 5) (5 x + 3) = 0$

$5 x - 1 = 4 ili 5 x - 1 = - 4$

$|5 x - 1| = \sqrt{16}$

$((5 x - 1) - 4) ((5 x - 1) + 4) = 0$

$|5 x - 1| = 4$

$5 x = 1 + 4 ili 5 x = 1 - 4$

$5 x - 5 = 0 ili 5 x + 3 = 0$

null

Odaberite metodu

U sljedećim zadatcima odaberite pogodnu metodu i riješite jednadžbu s apsolutnom vrijednosti.

Zadatak 10.

$|4 - x| - 3 =1$
$4 |\frac{3}{2} - 2 x| - 5 |x - 1| = 0$
$|- 2 x + 1| = x - 1$
$\frac{1}{2} |x| - 4 = - 2 |x| + 1$
$\frac{1}{|x - 2|} = \frac{2}{|x + 2|}$
$||x| - \frac{3}{4}| = 2$
$|1 - 2 |x + 1|| = \frac{1}{2}$
$|x^{2} - 5| = 4$

$x = 0$ ili $x = 8$
$x = \frac{11}{13}$ ili $x = \frac{1}{3}$
nema rješenja, brojevi $0$ i $\frac{2}{3}$ ne zadovoljavaju uvjet $x - 1 \geq 0$
$x = - 2$ ili $x = 2$
$x = \frac{2}{3}$ ili $x = 6$
$x = - \frac{11}{4}$ ili $x = \frac{11}{4}$
$x \in \{- \frac{7}{4}, - \frac{5}{4}, - \frac{3}{4}, - \frac{1}{4}\}$
$x \in \{- 3, - 1, 1, 3\}$

Jednadžba $|x| = n, n \in N$ ima rješenje:

uvijek

katkad

nikad.

null

Jednadžba $|x| = - m, m \in N$ ima rješenje:

uvijek

katkad

nikad.

null

Jednadžba $|x - 4| = - m, m \in Z$ ima rješenje:

uvijek

katkad

nikad.

null

Razvrstajte jednadžbe s apsolutnim vrijednostima u skupine prema dobivenom rješenju.

|\frac{2}{3} x - 1| = \frac{7}{3}

||x + 3| - 2| = 5

|x - 1.5| = 3.5

|\frac{1}{7} x + \frac{3}{7}| = 1

$\{- 2, 5\}$

$\{- 10, 4\}$

null

Uparite jednadžbu s apsolutnom vrijednosti s jednadžbom koja ima / jednadžbama koje imaju isti skup rješenja.

$\|\frac{x - 1}{3 x}\| = \|\frac{x}{x + 1}\|$	$\frac{x}{2} - \frac{x + 2}{5} = \frac{x}{10}$
$\|3 (x - 1) - x\| = \|2 x - 5\|$	$\frac{x}{2} = 4.5 - x ili - x = 6$
$\|x - 7.5\| = \|2 x - 1.5\|$	$(2 x - 1) (2 x + 1) = 0$

null

Najveće rješenje jednadžbe

|10 x - 9| = 8 x - 7

je broj .

null

Najmanje rješenje jednadžbe

|\frac{x - 3}{2 - x}| = \frac{4}{3}

je broj .

null

Jedno od rješenja jednadžbe

|1 - 2 |1 - x|| = 1

je .

null

Jedno rješenje jednadžbe

\frac{x}{|x - 6|} = - \frac{1}{2}

je .

null

Zbroj rješenja jednadžbe

{(x - 2)}^{2} - 1 = 0

je .

null

ZAVRŠITE PROCJENU

4.2 Jednadžbe s apsolutnim vrijednostima

Na početku...

Praktična vježba

I još malo ponavljanja...

Na brojevnom pravcu

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Jednadžbe koje se svode na $|x| = a,$ $a \in R,$ $a \geq 0$

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Jednadžbe koje se svode na $|x| = |y|$

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 9.

Odaberite metodu

Zadatak 10.

...i na kraju

Zadatak 11.

Zadatak 12.

$\{- 2, 5\}$

$\{- 10, 4\}$

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

4.3 Primjena jednadžbi

Na početku...

Praktična vježba

I još malo ponavljanja...

Na brojevnom pravcu

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Jednadžbe koje se svode na x = a , a ∈ R , a ≥ 0

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Jednadžbe koje se svode na x = y

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 9.

Odaberite metodu

Zadatak 10.

...i na kraju

Zadatak 11.

Zadatak 12.

- 2 , 5

- 10 , 4

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

4.3 Primjena jednadžbi

Jednadžbe koje se svode na $|x| = a,$ $a \in R,$ $a \geq 0$

Jednadžbe koje se svode na $|x| = |y|$

$\{- 2, 5\}$

$\{- 10, 4\}$