Matematika 1 - 4.6 Rješavanje sustava nejednadžbi

Na početku...

Marko razgovara s prijateljem o kupovini soka od aronije. Ne može se sjetiti koliko stoji jedna boca, ali sjeća se da je prije dva mjeseca kupio tri boce soka i mikser. Zna da mikser stoji $230 kn$ i sjeća se da je platio novčanicom od $500 kn .$ Krajem je prošlog mjeseca kupio dvije boce soka od aronije i bocu soka od borovnice koja stoji $60 kn .$ Imao je novčanicu od $200 kn,$ ali to nije bilo dovoljno pa je platio karticom.

Ima li Marko dovoljno novca za planiranu kupnju? Hoće li moći uštedjeti? Ima li Markov prijatelj pravo?

Učenici razgovaraju o cijeni soka od aronije

Zadatak 1.

Čega se Marko ne sjeća, što mu je nepoznato? Ima li Marko dovoljno novca za planiranu kupnju?

Marku je nepoznata cijena boce soka od aronije. Označimo tu nepoznatu cijenu s $x .$

Marko je kupio tri boce soka i mikser. Zna da mikser stoji $230 kn$ i sjeća se da je platio novčanicom od $500 kn .$

Kupio je $3$ boce soka koje je platio $3 x$ i mikser koji je platio $230 kn .$ Ukupno je platio $3 x + 230 kn .$ Platio je novčanicom od $500 kn,$ što znači da je iznos računa bio manji od $500 kn$ ili jednak $500 kn .$ Tako smo dobili nejednadžbu:

$3 x + 230 \leq 500 .$

Riješimo nejednadžbu:

$3 x \leq 270$

$x \leq 90 .$

Zaključujemo da je cijena jedne boce soka od aronije najviše $90 kn .$ Za pet bi boca Marko potrošio najviše $450 kn$ pa ima dovoljno novca za planiranu kupnju.

Zadatak 2.

Može li Marko uštedjeti planirani iznos? Ima li Markov prijatelj pravo?

Do sada smo zaključili da je cijena jedne boce soka od aronije najviše $90 kn .$ Iz tog podatka možemo zaključiti koliko ćemo najviše platiti, ali ne i koliko će najmanje iznositi račun. Pogledajmo podatke koje do sada nismo upotrebljavali. Krajem je prošlog mjeseca Marko kupio dvije boce soka od aronije i jednu bocu soka od borovnice koja stoji $60 kn .$ Imao je novčanicu od $200 kn,$ ali to nije bilo dovoljno pa je platio karticom.

Kupio je dvije boce soka od aronije koje je platio $2 x$ i bocu soka od borovnice koju je platio $60 kn .$ Ukupno je platio $2 x + 60 kn$ . Nije mogao platiti novčanicom od $200 kn,$ što znači da je iznos računa bio veći od $200 kn$ . Tako smo dobili nejednadžbu:

$2 x + 60 > 200 .$

Riješimo nejednadžbu:

$2 x > 140$

$x > 70 .$

Zaključujemo da je cijena jedne boce aronije veća od $70 kn .$ Za pet bi boca Marko potrošio više od $350 kn$ pa ne bi mogao uštedjeti planirani iznos od $200 kn .$ Prijatelj nema pravo jer, prema podatcima kojima raspolažemo, iznos računa za $5$ boca soka od aronije može biti manji od $400 kn .$

Sustav dviju linearnih nejednadžbi

Zadatak 3.

Odgovorite na pitanja.

Ana je čula samo ovaj dio uvodnog primjera: „Marko je kupio tri boce soka od aronije i mikser. Zna da mikser stoji $230 kn$ i sjeća se da je platio novčanicom od $500 kn .$ ” Što Ana može zaključiti o mogućoj cijeni soka?

$75 kn$

$120 kn$

$60 kn$

$85 kn$

$90 kn$

$100 kn$

$70 kn$

$50 kn$

$110 kn$

$80 kn$

Moguće cijene

Nemoguće cijene

Pomoć:

Dobili smo nejednadžbu $3 x + 230 \leq 500$ čije je rješenje $x \leq 90 .$

null
Maja je čula samo ovaj dio uvodnog primjera: „Krajem je prošlog mjeseca kupio dvije boce soka od aronije i jednu bocu soka od borovnice koja stoji $60 kn .$ Imao je novčanicu od $200 kn,$ ali to nije bilo dovoljno pa je platio karticom. ” Što Maja može zaključiti o mogućoj cijeni soka od aronije?

$70 kn$

$85 kn$

$100 kn$

$120 kn$

$60 kn$

$90 kn$

$110 kn$

$80 kn$

$75 kn$

$50 kn$

Moguće cijene

Nemoguće cijene

Pomoć:

Dobili smo nejednadžbu $2 x + 60 > 200$ čije je rješenje $x > 70 .$

null
Petra je pozorno slušala cijeli uvodni primjer. Što Petra može zaključiti o mogućoj cijeni soka od aronije?

$75 kn$

$70 kn$

$120 kn$

$85 kn$

$100 kn$

$110 kn$

$90 kn$

$50 kn$

$60 kn$

$80 kn$

Moguće cijene

Nemoguće cijene

Pomoć:

Dobili smo nejednadžbe $\begin{array}{l} 3 x + 230 \leq 500 \\ 2 x + 60 > 200 \end{array}$ čija su rješenja $\begin{array}{l} x \leq 90 \\ x > 70 \end{array} .$ Za moguće cijene moraju vrijediti obje nejednakosti.

null

Primjer 1.

Zaključimo.

Rješenje nejednadžbe $3 x + 230 \leq 500$ je $x \leq 90$ pa je rješenje svaki realni broj iz intervala $⟨- \infty, 90] .$

Rješenje nejednadžbe $2 x + 60 > 200$ je $x > 70$ pa je rješenje svaki realni broj iz intervala $⟨70, \infty⟩ .$

Tražimo zajedničko rješenje obiju nejednadžbi. To će biti svaki realni broj koji pripada intervalu $⟨- \infty, 90]$ i intervalu $⟨70, \infty⟩ .$ Koju ćemo skupovnu radnju napraviti? Zapišite na papir skup rješenja obiju nejednadžbi.

Tražili smo zajedničko rješenje dviju nejednadžbi. Kažemo da smo rješavali sustav nejednadžbi.

Tražimo zajedničke elemente pa ćemo odrediti presjek intervala. Skup je zajedničkih rješenja obiju nejednadžbi $⟨70, 90] .$

Sustav dviju linearnih nejednadžbi s jednom nepoznanicom sastoji se od dviju linearnih nejednadžbi. Riješiti sustav nejednadžbi znači odrediti skup svih realnih brojeva koji su rješenja prve i druge nejednadžbe.

Rješavanje sustava nejednadžbi

Primjer 2.

Riješimo sustav nejednadžbi:

$\{\begin{cases} 3 x - 11 > 13 \\ 24 - 5 x \leq - 31 \end{cases} .$

Najprije riješimo svaku nejednadžbu zasebno.

Prva nejednadžba:

$3 x - 11 > 13$

$3 x > 24$

$x > 8 .$

Skup rješenja prve nejednadžbe je $⟨8, \infty⟩ .$

Druga nejednadžba:

$24 - 5 x \leq - 31$

$- 5 x \leq - 55$

$x \geq 11 .$

Skup rješenja druge nejednadžbe je $[11, \infty⟩ .$

Tražimo zajednička rješenja, odnosno one realne brojeve koji su rješenje prve i rješenje druge nejednadžbe. Odredit ćemo presjek skupova rješenja.

Presjek je skup $[11, \infty⟩ .$

Zadatak 4.

Riješite sustave nejednadžbi. Označite skup rješenja.

Primjer 3.

Riješimo sustav $\{\begin{array}{l} 2 x + 3 > 1 \\ 2 x + 3 < 7 \end{array} .$

1. nejednadžba 2. nejednadžba

$2 x + 3 > 1$
$2 x > - 2$
$x > - 1$
$2 x + 3 < 7$
$2 x < 4$
$x < 2$ Oduzmimo objema stranama $3 .$
Podijelimo obje strane s $2 .$
Skup rješenja je $⟨- 1, 2⟩ .$

Jesmo li mogli taj sustav brže riješiti?

1. nejednadžba	2. nejednadžba
$2 x + 3 > 1$ $2 x > - 2$ $x > - 1$	$2 x + 3 < 7$ $2 x < 4$ $x < 2$	Oduzmimo objema stranama $3 .$ Podijelimo obje strane s $2 .$ Skup rješenja je $⟨- 1, 2⟩ .$

U sustavu se u objema nejednadžbama pojavljuje isti izraz. Zbog toga smo u objema nejednadžbama najprije

, a zatim

.

Kako možemo pročitati nejednadžbe u tom sustavu? Izraz $2 x + 3$ je

$1$ i

$7$ .

podijelili s $2$

oduzeli $3$

veći od

manji od

null

null
Poredajte korake rješavanja sustava.
$- 2 < 2 x < 4$

$1 < 2 x + 3 < 7$

$- 1 < x < 2$

Skup rješenja je $⟨- 1, 2⟩$

$\frac{- 2}{2} < \frac{2 x}{2} < \frac{4}{2}$

$1 - 3 < 2 x + 3 - 3 < 7 - 3$
null

null

Zadatak 5.

Riješite sustav $- 5 < 3 x - 1 \leq 6 .$

$⟨- \frac{4}{3}, \frac{7}{3}]$

Sustav triju linearnih nejednadžbi

Sustave s više od dviju nejednadžbi rješavamo na isti način. Tražimo realne brojeve koji su rješenja svih nejednadžbi. To znači da treba odrediti presjek skupova rješenja pojedinih nejednadžbi u sustavu.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 6.

Riješite sustav nejednadžbi

$\{\begin{cases} 4 x - 3 > 5 \\ 10 - 2 x \geq 2 \\ 5 + 3 x > 14 \end{cases} .$

$\begin{array}{l} x > 2 \\ x \leq 4 \\ x > 3 \end{array}$

Skupove rješenja nejednadžbi prikažimo grafički i odredimo presjek. Skup rješenja je $⟨3, 4] .$

Zadatak 7.

Prikažite na brojevnom pravcu, koji ste nacrtali na papiru, skup rješenja sustava nejednadžbi

$\{\begin{cases} 0.5 x - 2 \geq - 1 \\ 4 - 3 x < 1 \\ 3 x - 2 < 2 x + 3 \end{cases} .$

Zadatak 8.

Prikažite na brojevnom pravcu, koji ste nacrtali na papiru, skup rješenja sustava nejednadžbi

$\{\begin{cases} 2 - x > 3 (1 - \frac{2 x}{5}) \\ \frac{2}{3} - \frac{x}{6} > 1 - \frac{x}{3} \\ \frac{4 x - 1}{4} \geq \frac{x - 2}{12} + \frac{4 x + 1}{6} \end{cases} .$

Zadatak 9.

Prikažite na brojevnom pravcu, koji ste nacrtali na papiru, skup rješenja sustava nejednadžbi

$\{\begin{cases} \frac{x + 1}{2} - \frac{x + 2}{3} \geq 0 \\ \frac{1 - x}{3} - \frac{1 - x}{2} < \frac{1}{6} \\ \frac{x + 1}{3} - \frac{x}{5} \leq 1 \end{cases} .$

Zatvori

Svođenje složenijih nejednadžbi na sustave nejednadžbi

Zadatak 10.

Zadana je nejednadžba $(x - 2) (x - 3) > 0 .$ Je li ta nejednadžba linearna? Što bismo dobili kad bismo pomnožili zagrade?

Nejednadžba nije linearna. Množenjem zagrada dobili bismo nejednadžbu $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ koju ne znamo riješiti. Možemo li ipak riješiti početnu nejednadžbu? Pogledajmo. U nejednadžbi se pojavljuje umnožak. Prisjetimo se najprije kako određujemo predznak umnoška. Odaberite odgovor.

Umnožak je dvaju pozitivnih brojeva .

null
Umnožak je pozitivnoga i negativnoga broja .

null

null
Umnožak je dvaju negativnih brojeva .

null

null

Ako je umnožak $a \cdot b$ negativan, onda su	$a \cdot b$ negativan.
Ako je $a \cdot b < 0,$ onda je	$a$ i $b$ različitih predznaka: $a$ pozitivan i $b$ negativan ili $a$ negativan i $b$ pozitivan.
Ako je umnožak $a \cdot b$ pozitivan, onda su	$a$ i $b$ pozitivni ili $a$ i $b$ negativni.
Ako je $a \cdot b > 0,$ onda je	$a \cdot b$ pozitivan.

null

Primjer 4.

Riješimo nejednadžbu $(x - 2) (x - 3) > 0 .$

Što možemo zaključiti iz zapisa jednadžbe? Umnožak zagrada mora biti veći od nule. To znači da umnožak zagrada mora biti pozitivan. Umnožak je pozitivan ako su oba faktora pozitivna ili oba faktora negativna. To ćemo iskoristiti u rješavanju nejednadžbe. Pogledajte animaciju.

Zadatak 11.

Zadana je nejednadžba $(x + 5) (x - 4) < 0 .$ Odaberite riječi tako da dobijete istinite rečenice povezane s tom nejednadžbom.

Umnožak dviju zagrada mora biti .

To znači da faktori moraju biti predznaka.

null

null
Postoje slučaja. Ako je faktor $x + 5$ pozitivan, onda je faktor $x - 4$ .

null

null
Ako je faktor $x + 5$ negativan, onda je faktor $x - 4$ .

null

null
Nejednadžbe $x + 5 > 0, x - 4 < 0$ povezujemo veznikom .

null

null
Nejednadžbe $x + 5 < 0, x - 4 > 0$ povezujemo veznikom .

null

null
Dva slučaja povezujemo veznikom .

null

null
Uparite veznike i skupovne radnje.

Unija

Presjek

null

null

Primjer 5.

Riješimo nejednadžbu $(x + 5) (x - 4) < 0 .$ Moguća su dva slučaja.

Prvi slučaj: $x + 5 > 0$ i $x - 4 < 0$ ili

Drugi slučaj: $x + 5 < 0$ i $x - 4 > 0 .$

Riješimo prvi slučaj: $x > - 5$ i $x < 4,$ skup rješenja je presjek intervala $⟨- 5, \infty⟩$ i $⟨- \infty, 4⟩$ pa je skup rješenja prvog slučaja $⟨- 5, 4⟩ .$

ili

Riješimo drugi slučaj: $x < - 5$ i $x > 4,$ skup rješenja je presjek intervala $⟨- \infty, - 5⟩$ i $⟨4, \infty⟩$ pa je skup rješenja $\emptyset .$

Konačno je rješenje unija skupova rješenja prvoga i drugoga slučaja: $⟨- 5, 4⟩ \cup \emptyset = ⟨- 5, 4⟩ .$

Zadatak 12.

Riješite nejednadžbe.

$(4 x - 5) (x + 7) \geq 0$
$(4 - 3 x) (2 - 5 x) \leq 0$

Pritom pazite da riješite dva slučaja te vodite računa o veznicima i o tome kada treba računati uniju, a kada presjek skupova.

$⟨- \infty, - 7] \cup [\frac{5}{4}, \infty⟩$
$[\frac{2}{5}, \frac{4}{3}]$

4.6 Rješavanje sustava nejednadžbi

Na početku...

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Sustav dviju linearnih nejednadžbi

Zadatak 3.

Moguće cijene

Nemoguće cijene

Moguće cijene

Nemoguće cijene

Moguće cijene

Nemoguće cijene

Rješavanje sustava nejednadžbi

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Sustav triju linearnih nejednadžbi

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Svođenje složenijih nejednadžbi na sustave nejednadžbi

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Pogodite broj

Kutak za znatiželjne

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

4.7 Rješavanje složenih nejednadžbi

Unija
Presjek