5.1 Eksponencijalna funkcija

Potencije

Prisjetimo se potencija i računanja s potencijama (vidi Matematika 1, modul Potencije).

Potencija​ $a^n$ je umnožak u kojem se broj $a$ pojavljuje $n$ puta kao faktor. Broj $a$ nazivamo baza potencije, a broj $n\in \mathbf{N}$ eksponent.

$a^n=\underset{n \mathrm{puta}}{\underset{⏟}{a·a·...·a}}$

$a^1=a$

Zanimljivost

Naziv potencija potječe od latinske riječi potencia što znači snaga, moć za izvođenje nečeg. Današnja oznaka za potenciju potječe iz 17. stoljeća od Renéa Descartesa.

Primjer 1.

$2^5=2·2·2·2·2=32$

${\left(-3\right)}^4=\left(-3\right)·\left(-3\right)·\left(-3\right)·\left(-3\right)=81$

${\left(\frac{1}{5}\right)}^3=\frac{1}{5}·\frac{1}{5}·\frac{1}{5}$

${\left(0.1234\right)}^0=1$

Zanimljivost

Naziv eksponent dolazi od latinskog exponere što znači izložiti, pokazati. Uvodi ga Michael Stifel 1544. godine. Spomenik Michaelu Stifelu nalazi se u njegovu rodnom gradu, današnjem Annaburgu u Njemačkoj.

Pojam potencije i zapis potencije s pozitivnim eksponentima možete ponoviti koristeći se idućim predloškom.

Naučili smo da potencije mogu imati i negativni eksponent. S pomoću predloška pogledajte ideju za određivanje potencija s negativnim eksponentom.

Za prirodni broj $n$ i realni broj $a$ različit od nule je $a^{-n}={\left(\begin{array}{l}\frac{1}{a}\end{array}\right)}^n.$

Uvježbajte određivanje vrijednosti potencije uparivanjem izraza s vrijednosti.

Zadatak 1.

Izračunajte:​ $2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{20}.$

Računanje s potencijama jednakih baza

Prisjetimo se pravila za računanje s potencijama jednakih baza. Čemu je jednako $a^n·a^m,$  $a^n:a^m$ i ​ ${\left(a^n\right)}^m$ za realan broj​ $a$ te ako su​ $m,n$ cijeli brojevi različiti od nule?

Zadatak 2.

Koristeći se pravilom za dijeljenje potencija jednakih baza možemo odrediti koliko iznosi $a^0.$

$a^0=a^{n-n}=\frac{\cancel{a^n}}{\cancel{a^n}}=1$ 

Da biste uvježbali množenje potencija jednakih baza, iskoristite sljedeće zadatke.

Za uvježbavanje dijeljenja potencija jednakih baza poslužit će zadatci koji slijede.

Kako biste se prisjetili potenciranja potencija, riješite nekoliko zadataka iz iduće vježbalice.

Računanje s potencijama jednakih eksponenata

Prisjetimo se kako se računa s potencijama jednakih eksponenta. Čemu je jednako​ $a^n·b^n$ i $a^n:b^n$ za realne brojeve​ $a,b,$ $a,b\ne 0,$ i cijeli broj​ $n$ različit od nule?

Zadatak 3.

Kako biste uvježbali množenje potencija s jednakim eksponentima, možete iskoristiti zadatke koji slijede.

Za uvježbavanje dijeljenja potencija s jednakim eksponentima upotrijebite sljedeće zadatke.

Znanstveni zapis realnog broja

Potencije upotrebljavamo u znanstvenom zapisu najčešće jako velikih ili jako malih pozitivnih brojeva.

Primjer 2.

Srednja udaljenost između Sunca i Zemlje je približno $149600000\mathrm{km}.$ Prikazano u znanstvenom zapisu to je​ $1.496·{10}^8.$

Zadatak 4.

Znanstveni zapis je zapis u kojem se pozitivni broj zapisuje kao

 

realnih brojeva između

 

i $10$ i potencije broja

 

.

$1$

$10$

umnožak

null

null

Za uvježbavanje znanstvenog zapisa brojeva možete iskoristiti vježbalicu napravljenu u GeoGebri.

Do sada smo ponovili potencije kod kojih je baza bilo koji realan broj osim $0,$ a eksponent cijeli broj, tj. možemo izračunati $a^z,$ gdje je $z\in \mathbf{Z}$  i $a\in \mathbf{R},$ $a\ne 0.$

Može li potencija imati racionalni eksponent?

Da

Ne

Pomoć:

Prisjeti se korijena.

null

Potenciranje pozitivnog realnog broja $a$ recipročnim brojem prirodnog broja možemo zapisati s pomoću korijena $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}.$

U prethodnoj smo definiciji odredili da $a$ mora biti pozitivan realan broj. Zašto?

Zadatak 5.

Razvrstaj prema vrijednostima korijena.

$\sqrt[10]{-1}$

$\sqrt[4]{16}$

$\sqrt[10]{1}$

$\sqrt[4]{-81}$

$\sqrt[11]{-1}$

$\sqrt[3]{-8}$

$\sqrt{-4}$

$\sqrt{49}$​

$\sqrt[5]{-243}$

pozitivna vrijednost

negativna vrijednost

 nije realan broj

 

null

Vidjeli smo da parni korijeni iz negativnih realnih brojeva nisu realni brojevi. A što je s nulom?

 Koliko iznosi ​ $0^0?$

$0$

$a^0=1$ 

$1$

$0^x=0^{1+x-1}=0^1·0^{x-1}=0·0^{x-1}=0$  ​

Nije definirano.

null

null

Kutak za znatiželjne

Proučite kako je kroz povijest definiran izraz​ $0^0.$ Razmislite o argumetima koje su matematičari imali.

Vježbajte računanje potencija s racionalnim eksponentima.

Zadatak 6.

Do sada smo računali vrijednosti potencija s racionalnim eksponentima. Možemo li izračunati vrijednost potencije s iracionalnim eksponentom, npr. $2^{\sqrt{2}}?$

$\sqrt{2}$ ima beskonačan neperiodičan zapis pa ga možemo zapisati samo s određenom točnošću. Uzmimo točnost na dvije decimale $1.41<\sqrt{2}<\mathrm{1.42.}$

Tada dobivamo $2^{1.41}<2^{\sqrt{2}}<2^{1.42},$ tj. $2.657371628<2^{\sqrt{2}}<2.67585511$  (ovdje smo primijenili svojstvo monotonosti, koja će poslije biti detaljnije objašnjena). Što je aproksimacija broja $\sqrt{2}$ točnija, to će i vrijednost potencije $2^{\sqrt{2}}$ biti točnija.

Ove vrijednosti možemo točnije odrediti koristeći se džepnim računalom. Tipka koja nam daje mogućnost izračunavanja potencije s bilo kojim eksponentom jest ona označena s​ $\boxed{x^y}$ ili $\boxed{\wedge }.$

Računamo li s potencijama čiji su eksponenti realni brojevi vrijede ista pravila koja smo spomenuli i za cjelobrojne, odnosno racionalne eksponente.

Primjer 3.

Odredimo $2^{\sqrt{2}}.$

$2^{\sqrt{2}}\approx 2.665144143\approx 2.6651$ 

Zadatak 7.

Izračunajte​ $\frac{2^{\sqrt{2}}·2^{\sqrt{2}}}{4^{\sqrt{2}}}.$

Eksponencijalna funkcija

Sada kada znamo određivati vrijednosti potencije za bilo koji eksponent iz skupa realnih brojeva, možemo definirati eksponencijalnu funkciju.

U definiciji smo izostavili bazu $1.$ Zašto? Može li potencija imati bazu $1?$

Odredite potencije broja $1$ u idućem zadatku.

Zadatak 8.

Odredite potencije broja $1$.

1. $1^3=$
2. $1^{10}=$
3. $1^{-2}=$
4. $1^{\frac{1}{2}}=$

null

null

Kada bi baza potencije bila $1,$ ne bi se radilo o eksponencijalnoj nego o konstantnoj funkciji.

Grafički prikaz funkcije​ $f\left(x\right)=1^x$ dan je na slici.  

Kutak za znatiželjne

Računamo li s potencijama čiji su eksponenti realni brojevi vrijede ista pravila koja smo spomenuli i za cjelobrojne, odnosno racionalne eksponente.

Pogledajte​ $f\left(n\right)={\left(-2\right)}^{\mathrm{n, }}$za $n$ prirodan broj. Kakve vrijednosti dobijemo uvrštavajući $n = 1, 2, \mathrm{3..}.?$ Kako nazivamo takav tip ovisnosti? Odgovore potražite na internetu upotrebom ključne riječi „geometrijski niz”.

Razvrstaj funkcije u pripadajuće skupine.

$f\left(x\right)=2$

$f\left(x\right)=3·5^x$

$f\left(x\right)=1^x$

$f\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$

$f\left(x\right)={0.1}^x$

$f\left(x\right)=2^x$

$f\left(x\right)=x^2$

$f\left(x\right)=5x$

polinomi

eksponencijalne funkcije

null

null

Gledajući rješenja iz prethodnih dvaju zadataka možemo uočiti da se vrijednosti eksponencijalne funkcije u prvom zadatku stalno povećavaju, a u drugom stalno smanjuju, tj. eksponencijalne funkcije su monotone (prva monotono rastuća, a druga monotono padajuća). Više o tome naučit ćete u idućoj jedinici.

Najpoznatije eksponencijalne funkcije su $f_1\left(x\right)={10}^x,$ $f_2\left(x\right)=2^x$ i $f_3\left(x\right)=e^x.$

Funkcija $f\left(x\right)={10}^x$ nam je važna zbog računanja u dekadskom brojevnom sustavu, $f_2\left(x\right)=2^x$ je važnost dobila pojavom računala u kojima se sve zasniva na binarnom brojevnom sustavu, a $f_3\left(x\right)=e^x$  nas svakodnevno okružuje. U idućim cjelinama upoznat ćete se s raznim primjerima iz gotovo svih područja ljudskog života (fizika, biologija, kemija, ekonomija, tehnika...) u kojima se javlja ta funkcija.

Broj $e$se naziva Eulerov broj. Transcedentan je, a njegova najbliža racionalna aproksimacija je $\frac{878}{323}.$ Zbog velikog značaja na džepnim se računalima javlja posebna tipka $\boxed{e^x}$ kojom možete dobiti najtočniju vrijednost za svoje džepno računalo uvrštavajući kao eksponent broj $1.$

$e^1\approx 2.718281828$

Projekt

Postoji još načina za određivanje točne vrijednosti Eulerova broja. Proučite!