5.2 Graf i svojstva eksponencijalne funkcije

Pojam funkcije i njezin graf

Zadatak 1.

Ponovimo što smo dosad naučili o funkciji i njezinu grafu.

1. Funkcija je preslikavanje koje elementu $x$ pridružuje točno jedan element $y.$
   Da bi funkcija bila dobro definirana potrebno je sljedeće:
   1. Postupak u kojem se svakom elementu domene $x$ pridružuje točno jedan realan broj $y$  nazivamo slika elementa xkodomena funkcijeslika funkcijedomena funkcijetrizakon pridruživanja i pišemo $y=f\left(x\right).$
   2. $x$ je element skupa koji nazivamo trikodomena funkcijezakon pridruživanjaslika funkcijedomena funkcijeslika elementa x ili područje definicije funkcije, $D$.
   3. $y$ je iz skupa koji nazivamo kodomena funkcijeslika elementa xdomena funkcijeslika funkcijetrizakon pridruživanja ili područje vrijednosti funkcije $K$. Za $x\in D,$ jedinstveni pridruženi $y\in K,y=f\left(x\right)$ nazivamo zakon pridruživanjakodomena funkcijetrislika elementa xdomena funkcijeslika funkcije, a skup svih takvih vrijednosti funkcije nazivamo trizakon pridruživanjadomena funkcijeslika elementa xslika funkcijekodomena funkcije.

   

    
   

   null

2.   Pridružite nepoznanici točno značenje.
   

   $x\in D$	zavisna varijablanezavisna varijabla ili argument
   $y=f\left(x\right)$	zavisna varijablanezavisna varijabla ili argument

   

   null

3. Graf funkcije $f:D\to K$ je skup svih uređenih parova oblika:

   $\Gamma f=\left\{\left(x,x\right):x\in D\right\}$

   $\Gamma f=\left\{\left(x,f\left(x\right)\right):x\in K\right\}$  ​

   $\Gamma f=\left\{\left(x,f\left(x\right)\right):x\in D\right\}$

   $\Gamma f=\left\{\left(x,f\left(x\right)\right):f\left(x\right)\in D\right\}.$

   

   null

Kako smo crtali pravac, palabolu?

S obzirom na to da se graf funkcije $f$ sastoji od točaka oblika $\left(x,f\left(x\right)\right),$ pronašli smo nekoliko takvih točaka i povukli krivulju kroz njih.

Funkciju oblika $f\left(x\right)=x^n,n\in \mathbb{N}$ nazivamo potencija. Zbrajanjem, oduzimanjem i množenjem različitih potencija dobivamo polinome. Do sada smo se susretali s polinomima nultoga, prvoga i drugog stupnja. Prisjetimo se njihovih svojstava i grafova.

Zadatak 2.

1. Razvrstajte elemete u pripadajuća tri skupa polinoma.
   

   Slika: $\left.⟨-\infty ,y_0\right],\mathrm{za}a<0,$ ili $\left[y_0,+\infty \right.⟩,\mathrm{za}a>0.$ 

   Slika: skup $\left\{c\right\}.$

   $f\left(x\right)=c$

   $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

   Slika: $\mathbb{R}$

   $f\left(x\right)=ax+b$

    polinom drugog stupnja

   polinom nultog stupnja

   polinom prvog stupnja

   

   null

   null
2. Polinom nultog stupnja ili konstantna funkcijakvadratna funkcijalinearna funkcija je funkcija čiji je graf pravacpravac usporedan s osi xparabola.

   

   null

   null
3. Polinom prvog stupnja ili linearna funkcijakvadratna funkcijakonstantna funkcija je funkcija čiji je graf pravac usporedan s osi xparabolapravac.

   

   null

   null
4. Polinom drugog stupnja ili linearna funkcijakonstantna funkcijakvadratna funkcija je funkcija čiji je graf pravacparabolapravac usporedan s osi x.

   

   null

   null

Što ako nam je u zapisu potencije baza konstanta, a eksponent promjenjiva varijabla? Kako definirati takvu funkciju, nacrtati graf ili odrediti sliku?

Počnimo redom.

Graf eksponencijalne funkcije

Primjer 1.

Nacrtajmo u bilježnicu ponovno graf iz uvodne animacije te pronađimo pravilo pridruživanja (funkciju).

Zamjećujemo da je svaki sljedeći rezultat $\left(y\right)$ dvostruko veći od prethodnog, dakle dobijemo ga tako da prethodni pomnožimo s $2,$ $2^{n-1}·2=2^n.$

Napravite u bilježnici tablicu s vrijednostima za $x:$ $-3,-2,-1,0,1,2,3$ te nacrtajte graf.

Rješenje

---

U sljedećoj interakciji s pomoću klizača smanjujte razmak između točaka. Razmislite što je domena te funkcije s obzirom na točke koje promatramo. Na grafu su vrijednosti apscisa između $-4\mathrm{i}4,$ što se događa izvan tih vrijednosti? Što se događa s grafom kada se razmak između $x$-eva smanjuje?

Uočimo da smo najprije u eksponentu imali cijele brojeve (domena je skup cijelih brojeva). Smanjivanjem razmaka između točaka naše apscise postaju decimalni brojevi (domena je skup racionalnih brojeva). S prirodnim, cijelim i racionalnim brojevima znamo potencirati, tj. znamo izračunati $y$ (pravila potenciranja ponovili smo u prošloj jedinici). Što se događa kad $x$ postaje realan? Iz ovog razmatranja možemo zaključiti (ako uzmemo iracionalan broj zaokružen na nekoliko decimala) da se graf funkcije „popunjava” s realnim brojevima u neprekinutu krivulju.

Vratimo se još jedanput na našu interakciju s eksponencijalnom funkcijom. Ovoga puta ćemo uz promjenu gustoće točaka mijenjati i bazu naše funkcije.

Promatrajte što se događa kada se mijenja baza. Neka razmak između točaka za početak bude jedan. Posebno uočite sljedeće situacije (prikaz možete povećavati i pomicati) i promjene koje se pritom događaju.

• Što se događa s točkama grafa kad je baza negativna?
• Što se događa s točkama grafa kad je baza jednaka jedan?
• Kako se ponaša graf za bazu između nula i jedan?
• Kako se ponaša graf za bazu veću od jedan?
• Koja je domena takvih funkcija?
• Što je slika funkcije (gdje se nalaze sve nacrtane točke)?

Sada sva zapažanja ponovite mijenjajući gustoću točaka za različite baze.

Zadatak 3.

1. Je li krivulja koja nastaje kad je baza negativna graf funkcije s domenom $\mathbb{R}?$
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

2. Je li krivulja koja nastaje kad je baza pozitivna graf neke funkcije?
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

3. Što je graf funkcije kad je baza jednaka jedan?
   

   parabola okrenuta prema gore

   rastući pravac

   konstantna funkcija

   ne postoji graf

   

   null

   null

4. Za bazu između nula i jedan vrijednosti funkcije (kako $x$raste) su:

   rastuće

   padajuće

   konstantne

   alternirajuće (izmjenjuju se pozitivne i negativne vrijednosti)

   nema pravila.

   

   null

   null

5. Za bazu veću od jedan vrijednosti funkcije (kako $x$ raste) su:  
   

   rastuće

   padajuće

   konstantne

   alternirajuće

   nema pravila.

   

   null

   null

6. Što je domena funkcije, uz uvjet da je baza pozitivna i različita od jedan?
   

   (Za koje vrijednosti $x$-eva su funkcije definirane?)
   

   pozitivni realni brojevi

   negativni realni brojevi

   svi cijeli brojevi

   svi racionalni brojevi

   svi realni brojevi

   

   null

   null

7. Što je slika funkcije, uz uvjet da je baza pozitivna i različita od jeda n?
   

   (Koje sve vrijednosti funkcija može poprimiti?)
   

   pozitivni realni brojevi

   negativni realni brojevi

   svi cijeli brojevi

   svi racionalni brojevi

   svi realni brojevi

   

   null

   null

Ako na neko od pitanja niste znali odgovoriti, vratite se na interaktivnu vježbu, istražite i pokušajte pronaći odgovor.

Koliko god smanjivali udaljenosti između apscisa točaka, one nam popunjavanju praznine u grafu. Možemo intuitivno zaključiti gdje će na grafu biti točke s iracionalnim apscisama.

Eksponencijalnu funkciju definirali smo kao funkciju oblika $f\left(x\right)=a^x$ za realan broj $a>0ia\ne 1.$

Domena funkcije je skup realnih brojeva $\left(\mathbb{R}\right),$ a slika funkcije skup pozitivnih realnih brojeva $\left({\mathbb{R}}^{+}\right).$

U interaktivnoj smo vježbi zamijetili da je tablica kod potencija s negativnom bazom uglavnom prazna (s upitnicima). Negativna se baza može potencirati samo za cijele eksponente i to za parne postaje pozitivno rješenje, a za neparne ostaje negativno rješenje. Kažemo da rješenja alterniraju (izmjenjuju se predzanci).  Za bazu manju od nule izraz $f\left(x\right)=a^x$ ne određuje funkciju čija je domena skup realnih brojeva nego je domena skup cijelih brojeva. Pripadni bi graf bio „točkast”. Takve funkcije ne smatramo eksponencijalnim funkcijama.

Kada potenciramo bazu $1$ na bilo koji realan eksponent, dobivena će potencija također biti jednaka $1$ pa je takva funkcija konstantna.

Zato smo u definiciju uveli ograničenje na pozitivnu bazu različitu od jedan.

Kutak za znatiželjne

Elementarne funkcije dijelimo na algebarske i transcedentne (potražite na internetu koje su to elementarne funkcije, npr. na poveznici). S algebarskim funkcijama smo se već susretali (npr. linearna, kvadratna, polinomi, potencije s racionalnim eksponentom). To su funkcije čije se vrijednosti mogu dobiti primjenom četiriju osnovnih računskih radnji, potenciranjem i korjenovanjem. Funkcije čije se vrijednosti ne mogu dobiti samo algebarskim radnjama nazivamo transcedentim funkcijama. Takva je eksponencijalna funkcija, a uskoro ćete upoznati još jednu, logaritamsku funkciju.

Zadatak 4.

Nacrtajte u bilježnicu grafove funkcija $f\left(x\right)=3^{x}ig\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ s pomoću tablice.

Rješenje

---

Često se pod eksponencijalnom funkcijom podrazumijeva oblik $f\left(x\right)=a·b^{g\left(x\right)},$ gdje je $a\in \mathbb{R}\backslash \left\{0\right\},b\in {\mathbb{R}}^{+}\backslash \left\{1\right\}\mathrm{i}g\left(x\right)$ linearna funkcija. U zadatcima primjene iz poznatih podataka trebamo odrediti eksponencijalnu funkciju ili iz zadane eksponencijalne funkcije „pročitati” neki podatak. Pokušajmo iskoristiti tehnologiju i na jednom primjeru odrediti eksponencijalnu funkciju koristeći se dostupnim interaktivnim predlošcima u GeoGebri te „pročitati” rješenje s grafa.

Primjer 2.

Posadili ste biljku s pet listova. Nakon dva tjedna prebrojili ste $20$ listova. Ako i dalje s ljubavlju njegujete i zalijevate biljku, ona će nastaviti rasti i broj listova će se eksponencijalno povećavati. Koliko će biljka imati listova nakon mjesec dana (četiri tjedna)?

Pokušajmo dobiti rješenje s pomoću GeoGebre.
Postavimo problem. Neka nam je na osi apscisa broj tjedana, a na osi ordinata broj listova od trenutka sadnje. Dakle, imamo dvije točke na krivulji: $\left(0,5\right)\mathrm{i}\left(2,20\right).$

Možemo iskoristiti alate GGB-a i pokušati najprije dobiti eksponencijalnu funkciju. Otvorimo GGB te u polje za unos upišimo naredbu: PrilagodbaRasta((0,5),(2,20))  i Enter. Dobili smo graf s pripadajućom funkcijom $\left(f\left(x\right)=5·2^x\right).$

Prilagodimo omjere koordinatnih osi u grafičkom prikazu (desna tipka miša), npr. na $1:10$ radi preglednosti.

Naredbom Točka(f) postavimo točku na graf te ju pomičimo dok ne dobijemo željene koordinate. U našem se zadatku traži broj listova nakon četiri tjedna. Dakle, potrebno je pronaći točku s apscisom $4$ i pročitati ordinatu.

Lijevo u algebarskom prozoru imamo sve potrebno za „pročitati” rješenje.

Rješenje

---

Zadatak 5.

Sarin je tata dobio kaznu za prebrzu vožnju kad se vraćao s posla. Iznos kazne povećava se eksponencijalno s obzirom na broj mjeseci odgode plaćanja. Ako plati za mjesec dana, kazna iznosi $300\mathrm{kn},$ no ako plati za tri mjeseca, kazna se povećava na $675\mathrm{kn}.$ Koliko će platiti kaznu ako ju ne plati pet mjeseci? Koliko bi iznosila kazna da je platio odmah?

Rješenje

---

Kutak za znatiželjne

Translacija grafa eksponencijalne funkcije

​Kod kvadratne funkcije smo crtanje parabole translacijom usporedili s grafom funkcije apsolutne vrijednosti. Iz jednadžbi krivulja $y=a{\left(x-x_0\right)}^2+y_0\mathrm{i}y=a\left|x-x_0\right|+y_0$ znamo da osnovne krivulje oblika $y=a{x}^2\mathrm{i}y=a\left|x\right|$ translatiramo u smjeru osi $x$ za $x_0$ i u smjeru osi $y$ za $y_0.$ Istovrsno vrijedi i za eksponencijalnu funkciju. Graf krivulje $y=a·b^{x-x_0}+y_0$ dobijemo pomakom grafa $y=a·b^x$ u smjeru osi $x$ za $x_0$ te u smjeru osi $y$ za $y_0.$

Nacrtajmo grafove eksponencijalnih funkcija:

1. $y=3^x+1$
2. $y=3^{x-2.}.$

Graf prve krivulje dobijemo pomakom eksponencijalnoga grafa $y=3^x$ za $1$ prema gore, ​a druge pomakom za $2$ udesno. Ako graf crtamo s pomoću točaka, pomaknemo dobivene točke grafa $y=3^x$ za $y_0=1,$ odnosno za $x_0=2$ te povučemo krivulju kroz nove točke (kao što smo učinili i s parabolom). Nacrtajte u bilježnici, a rezultat provjerite s pomoću sljedeće GeoGebre.

Zadana je fukcija oblika $f\left(x\right)=a·b^{kx-x_0}+y_0.$ Unosom u prazna polja upišite koeficijent $\left(a\right)$ koji množi eksponencijalnu funkciju ili ostavite zadani $a=1$ (kao i koeficijent $k$ uz $x$), a s pomoću klizača definirajte bazu $\left(b\right)$ te pomake $\left(x_0\mathrm{i}{y}_0\right).$

Pokušajte sami zaključiti što nam $x_0$ i $y_0$ govore o grafu eksponencijalne funkcije. Koja je asimptota krivulje i u kojoj točki krivulja siječe os $y?$

Riješite i sljedeći zadatak. Kao pomoć iskoristite interaktivni predložak u nastavku.

Rješenje

---

Zadatak 6.

Nacrtajte u bilježnicu graf funkcije $f\left(x\right)=2^x$ te s pomoću pomaka nacrtajte grafove funkcija:

$f_1\left(x\right)=2^x+3,$ $f_2\left(x\right)=2^x-3,$ $f_3\left(x\right)=2^{x-3}$ i $f_4\left(x\right)=2^{x+3}.$

Rješenje

---

Svojstva eksponencijalne funkcije

U sljedećoj ćemo vježbi pokušati utvrditi koja svojstva ima eksponencijalna funkcija.

Imamo dvije funkcije s bazama $a$ (između $0\mathrm{i}2$) i $b$ (između $1\mathrm{i}10$). Mijenjajte baze (jednu učvrstite, a drugu mijenjajte), usporedite grafove i pokušajte odgovoriti na  pitanja.

• Kada funkcija raste, a kada pada?
• Postoji li točka koja je zajednička svim funkcijama?
• Koje vrijednosti može poprimiti ordinata eksponencijalne funkcije?
• Kada je funkcija strmija?
• Možete li pronaći simetrične grafove s obzirom na os $y$?

Koordinate nekih točaka upisane su u tablicu tako da možete uspoređivati vrijednosti funkcija. Postoji istaknuta točka na grafu koju možete pomicati i pratiti što se događa s ordinatom točke kako povećavate apscisu. Što se događa s grafom kada je $x$ jako mali? Postoji li neki realan broj $x$ za koji graf presijeca os apscisu? Pomičite točku na krivulji ulijevo i pratite vrijednost ordinate te točke. Hoće li poprimiti negativnu vrijednost, to jest prijeći ispod osi apscisa?

Zadatak 7.

Odgovorite na sljedeća pitanja. Ako na neko pitanje ne znate odgovor, vratite se i ponovno istražite što se od vas traži.

1. Povežite uvjete na bazu s tijekom funkcije.
   

   $a>1$	$x_1<x_2\Rightarrow a^{x_1}>a^{x_2}$ (funkcija je padajuća)
   $0<a<b<1$	Što je baza veća, krivulja je strmija („brže raste”).
   $0<a<1$	$a^x=b^{-x}$  ​
   $1<a<b$	$x_1<x_2\Rightarrow a^{x_1}<a^{x_2}$ (funkcija je rastuća)
   $b=\frac{1}{a}=a^{-1}$  $(a\mathrm{i}b$ recipročne baze)	Što je baza manja, krivulja je strmija („brže pada”).

   

    
   

   null

2. Za eksponencijalnu funkciju $f\left(x\right)=a^x$  je:
   

   $f\left(0\right)=$  ​	$D_f=\mathbb{R}.$
   domena funkcije	$1.$ ​
   slika funkcije	$R_f=⟨0,+\infty ⟩$.​

   

   null

3. Svi grafovi eksponencijalne funkcije:
   

   su ispod osi apscisa

   sijeku os apscisa
   

   su desno od osi ordinata

   su iznad osi apscisa

   su lijevo od osi ordinata.

   

   null

4. Koja je jednadžba osi apscisa?
   

   $y=x$ 

   $y=0$  ​

   $x=0$  ​

   

   null

   null

Zamjećujemo da su nam svi grafovi eksponencijalnih funkcija iznad osi apscisa. Iz toga možemo zaključiti što je slika eksponencijalne funkcije (svi pozitivni realni brojevi). Isto tako dolazimo do zaključka da je os apscisa „približno tangenta krivulje”, ali ne možemo naći točku u kojoj se dodiruju. Udaljenost točke na krivulji od osi apscisa je sve manja i manja kako se $x$ udaljava prema negativnoj beskonačnosti za $a>1$ (odnosno prema pozitivnoj beskonačnosti za $0<a<1$), ali vrijednost funkcije uvijek ostaje pozitivna i jako blizu nule.

Pravac $y=0$ je asimptota krivulje $y=a^x.$

Sistematizirajmo svojstva eksponencijalne funkcije uočena vježbom te povežimo s onima koje znamo otprije.

Eksponencijalna funkcija $f\left(x\right)=a^x,a\in {\mathbb{R}}^{+},a\ne 1$ ima sljedeća svojstva.

• Funkcija je definirana za sve realne brojeve, $D_f=\mathbb{R}.$
• Slika funkcije su pozitivni realni brojevi, $R_f=⟨0,+\infty ⟩.$
• Za proizvoljne realne brojeve $x_1\mathrm{i}{x}_2$ vrijedi $a^{x_1}·a^{x_2}=a^{x_1+x_2}.$
• Za proizvoljne realne brojeve $x_1\mathrm{i}{x}_2$ vrijedi ${\left(a^{x_1}\right)}^{x_2}=a^{x_1·x_2}.$
• Zajednička točka svim krivuljama je $\left(0,1\right),a^0=1.$
• Ako je $a>1,$ funkcija je rastuća, $x_1<x_2\Rightarrow a^{x_1}<a^{x_1}$  za proizvoljne realne brojeve $x_1\mathrm{i}{x}_2.$
• Ako je $0<a<1,$  funkcija je padajuća, $x_1<x_2\Rightarrow a^{x_1}>a^{x_1}$  za proizvoljne realne brojeve $x_1\mathrm{i}{x}_2$
• Asimptota eksponencijalne funkcije je os apscisa, $y=0.$
• Funkcije $f\left(x\right)=a^{x}if\left(x\right)=a^{-x}={\left(\frac{1}{a}\right)}^x$ su simetrične s obzirom na os ordinatu.

Ako je $a^{x_1}=a^{x_2},$ tada vrijedi $x_1=x_2.$ To se svojstvo naziva injektivnost funkcije.

Pogledajmo iz čega proizlazi ovo zadnje svojstvo injektivnosti.

U prethodnoj vježbi postavite $a=1.$ U koliko se točaka sijeku dobiveni pravac i eksponencijalna funkcija? Postoji li barem jedan usporedan pravac s osi apscisa koji siječe eksponencijalni graf u više od jedne točke?

Horizontalnim testom provjeravamo je li funkcija injekcija. Funkcija je injekcija ako pravac usporedan s osi apscisa siječe graf funkcije u najviše jednoj točki.

Kutak za znatiželjne

Svojstvo injektivnosti lako dokazujemo tako da pretpostavimo suprotno.

Pretpostavimo da iz $a^{x_1}=a^{x_2}$ slijedi da je $x_1\ne x_2.$ Tada mora jedan biti manji od drugog. Neka je, primjerice, $x_1<x_2$ pa iz svojstva da je funkcija rastuća (padajuća) vrijedi $a^{x_1}<a^{x_2}$ $\left(a^{x_1}>a^{x_2}\right),$ što je suprotno pretpostavci da su vrijednosti jednake. Time smo dokazali da svojstvo injektivnosti vrijedi.

Ovdje smo dobili još jednu tvrdnju ekvivalentu zapisanom svojstvu injektivnosti:

$x_1\ne x_2\Rightarrow a^{x_1}\ne a^{x_2}.$

Primjer 3.

Koje od sljedećih funkcija su injekcije?

1. linearna funkcija $\left(f\right)$
2. kvadratna funkcija $\left(g\right)$
3. konstantna funkcija $\left(k\right)$
4. funkcija apsolutne vrijednosti $\left(a\right)$
5. eksponencijalna funkcija $\left(e\right)$

Nacrtajmo u bilježnicu funkcije i s pomoću horizontalnog testa utvrdimo injektivnost.

Rješenje

---

Zadatak 8.

Koje od funkcija su injektivne?

Rješenje

---

Primjena svojstava eksponencijalne funkcije na zadatcima

Primjer 4.

Primjenjujući svojstvo injektivnosti riješimo jednadžbu $7^{0.5-x}=49.$

Pronađimo jednake baze pa, koristeći se svojstvom injektivnosti, izjednačimo eksponente.

$7^{0.5-x}=7^2\Rightarrow 0.5-x=2\Rightarrow x=2.5=\frac{5}{2}$

Zadatak 9.

Primjenjujući svojstvo injektivnosti i $a^0=1,$ riješite jednadžbe.

1. ${10}^x=1$​
2. $\frac{1}{16}=2^{-x}$ ​
3. $3^{2-x}=3$

Rješenje

---

Primjer 5.

Primjenjujući svojstvo monotonosti funkcije (rasta i pada), riješimo nejednadžbu $2^x>8.$

Prikažimo desnu stranu s pomoću iste baze $2^x>2^3.$

S obzirom na to da je baza $a=2>1,$ znamo da je funkcija rastuća pa vrijedi ista nejednakost i za eksponente. Rješenje je $x>3.$

Dakle, za sve $x>3$ vrijednost eksponencijalne funkcije s bazom $2$ je veća od osam. Prikkažite to grafički.

Zadatak 10.

Primjenjujući svojstvo monotnosti funkcije te pravila potencije ${\left(a^{x_1}\right)}^{x_2}=a^{x_1·x_2},$ riješite nejednadžbe. (Pazite na tok funkcije kad su baze manje od jedan.)

1. $16<4^x$
2. $3^{-x}<{\left(\frac{1}{3}\right)}^2$
3. ${25}^{5-\frac{x}{2}}>125$
4. ${0.1}^{2x}>0.01$

Rješenje

---

Primjer 6.

Koristeći se činjenicom za $a<1,$ što je baza manja krivulja je strmija, pridružimo eksponencijalnu jednadžbu pripadajućem grafu.

Rješenje

---

Zadatak 11.

Koristeći se svojstvom „ bržeg rasta” eksponencijalne funkcije, povežite sljedeće jednadžbe s grafovima.

 ​

$p\left(x\right)$	$2.y={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$
$g\left(x\right)$	$4.y={\left(\frac{5}{2}\right)}^x$
$f\left(x\right)$	$1.y={\left(\frac{5}{3}\right)}^x$
$q\left(x\right)$	$3.y={\left(\frac{4}{5}\right)}^x$

null

null