5.3 Modeliranje eksponencijalnom funkcijom

Određivanje eksponecijalne funkcije s pomoću točaka s grafa

Primjer 1.

Pogledajmo primjer sličan onom koji smo u prethodnoj jedinici riješili s pomoću GeoGebre.

Izračunajmo eksponencijalnu funkciju oblika $f\left(x\right)=a·b^x$ ako graf funkcije prolazi kroz točke $\left(1,\frac{2}{3}\right)$ i $\left(-1,\frac{1}{6}\right).$

Prvo uvrstimo koordinate točaka u funkciju.

$\frac{2}{3}=a·b,$ umjesto​ $f\left(x\right)$ uvrstili smo $\frac{2}{3},$ a umjesto $x$ broj $1.$

$\frac{1}{6}=a·b^{-1},$ umjesto​ $f\left(x\right)$ uvrstili smo $\frac{1}{6},$ a umjesto $x$ broj $-1.$

Sada možemo iz prve i druge jednadžbe izraziti $a.$

$a=\frac{2}{3b},a=\frac{b}{6}$

Lijeve su strane jednake pa možemo izjednačiti i desne strane.

$\frac{2}{3b}=\frac{b}{6}$

$3b^2=12$

$b^2=4$

$b=2$

Sada računamo da je $a=\frac{1}{3},$ a funkcija koju tražimo je $f\left(x\right)=\frac{1}{3}·2^x.$

Kako izgleda graf te funkcije?

​

Primjer 2.

S grafa na slici očitajmo:

• dvije točke​
• vrijednost funkcije za $x=-1$
• onaj $x$ za koji je vrijednost funkcije ​jednaka $12.$

Rješenje

• ​Na grafu je najlakše očitati točke $\left(0,4\right)$ i $\left(1,12\right),$ ali možemo približno očitati i neke druge točke.
• Vrijednost funkcije je $\frac{4}{3},$ iako sa slike nije baš vidljivo (pri odabiru točaka treba paziti na to da su koordinate dobro vidljive kako ne bismo dobili pogrešan rezultat).
• Vrijednost funkcije je $12$ za $x=1.$

Primjer 3.

Za graf sa slike pronađimo eksponencijalnu funkciju oblika $f\left(x\right)=a·b^x.$

Prvo s grafa očitajmo barem dvije točke. Uočavamo točke $\left(0,3\right),$ $\left(1,6\right)$ i $\left(2,12\right).$ Sada kada imamo točke možemo ponoviti postupak iz prvog primjera.

Uvrstimo koordinate točaka u funkciju.

$3=a$

$6=a·b$

Slijedi da je $b=2.$

Na slici je graf funkcije $f\left(x\right)=3·2^x.$

Modeliranje realnih problema eksponencijalnom funkcijom

Podatke prikažemo tablično i tražimo matematički model, tj. matematičku funkciju koja povezuje podatke. Ako podatke prikažemo u koordinatnom sustavu, katkad ne možemo razlikovati linearni i eksponencijalni model. Kako odabrati model?

Podsjetimo se linearnog modela.

Primjer 4.

$f\left(x\right)=2x-1$

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f\left(x\right)$	$-1$	$1$	$3$	$5$

razlika argumenta	$1$	$1$	$1$	$1$
razlika vrijednosti funkcije	$2$	$2$	$2$	$2$

Kod linearnog modela razlika između vrijednosti funkcije je konstantna.

Pogledajmo sada jednu eksponencijalnu funkciju.

$f\left(x\right)=2^x$

Ako dijeljenjem uzastopnih vrijenosti funkcije za istu razliku argumenata imamo približno iste kvocijente, model je eksponencijalni i tražimo funkciju oblika $f\left(x\right)=a·b^x.$

Ipak u realnim su situacijama često odstupanja velika pa ne možemo očekivati dobro predviđanje rezultata. U nastavku pogledajte nekoliko primjera u kojima smo primijenili eksponencijalni model.

Primjer 5.

$g$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$y$	$16$	$36$	$70$	$147$	$248$	$361$	$513$	$587$	$719$	$817$

U tablici su prikazani podatci o broju korisnika interneta $y$ (u milijunima) u svijetu od 1995. do 2004. godine, gdje je $g$ redni broj godine.

Podatke prikažimo u koordinatnom sustavu tako da ucrtamo točke s koordinatama $\left(g,t\right).$

Točke s koordinatne ravnine možemo opisati eksponencijalnom funkcijom oblika $f\left(x\right)=a·b^x.$ Pritom nam pomaže GeoGebra (prisjetite se iz jedinice 5.2. kako dobiti funkciju iz niza točaka s pomoću GeoGebre).

Funkcija kojom se može opisati rast broja korisnika interneta u godini dana je izrazom:

$f\left(x\right)=8.58e^{0.44x}.$

Kao baza eksponencijalne funkcije pojavio se broj $e.$

Eulerov broj $e$ je iracionalan broj, a više o njemu naučit ćete u idućim modulima.

$e\approx \mathrm{2.718281828459045235360287471352..}$

Funkcija ne opisuje idealnu situaciju i neke točke „bježe” s grafa.

Primjer 6.

Odredimo broj korisnika interneta 2005. godine koristeći se funkcijom koju smo pronašli u prethodnom primjeru.

U eksponencijalnu funkciju uvrstimo ​ $x=11.$

$f\left(11\right)=8.58e^{0.44·11}$

Dobili smo broj od $1.085$ milijardi korisnika.

Pronađimo na internetu pravi podatak. Koliko se podatci razlikuju?

Broj korisnika 2005. godine bio je $1.018$ milijardi korisnika.

Primjer 7.

Izradili ste svoju mrežnu stranicu i ugradili brojač posjeta te pratili broj posjeta svaki mjesec. U tablici je prikazan broj posjeta $y$ i mjeseci $x.$

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$y$	$2$	$39$	$70$	$126$	$227$	$408$	$735$	$1322$	$2380$	$4285$

1. Pronađite eksponencijalni model za podatke.
2. Prema modelu koji ste našli koliko posjeta očekujete nakon $15$ mjeseci.
3. Možete li s grafa približno očitati kad će stranica imati $10000$ posjeta?
   

a. Model možemo pronaći kao u primjeru 1. ili kao u primjeru 4. Riješimo to na oba načina.

• I. način

  Uzmimo dvije točke s početka i sredine tablice $\left(2,39\right)$ i $\left(5,227\right).$

  Uvrstimo ih u eksponencijalni model $f\left(x\right)=a·b^x.$

  $39=a·b^2\Rightarrow a=\frac{39}{b^2}$
  

  $227=a·b^5\Rightarrow a=\frac{227}{b^5}$
  

  $b^3=\frac{227}{39}\Rightarrow b=1.8$
  

  $a=\frac{325}{27}\approx 12.04$
  

  Eksponencijalni model koji opisuje naš problem je dakle $f\left(x\right)=12.04·{1.8}^x.$

  Opisuje li model dobro dani problem možemo provjeriti tako da u dobivenu formulu uvrstimo nekoliko vrijednosti iz tablice. Uzmimo sedmi i deseti mjesec i provjerimo.

  $f\left(7\right)=12.04·{1.8}^7=737$
  

  $f\left(10\right)=12.04·{1.8}^{10}=4298$
  

  Vidimo da razlike nisu velike, ali ipak postoje.
  

• II. način

  Ucrtajmo točke iz tablice i iskoristimo naredbu PrilagodbaRasta(<lista točaka>).
  

  Ako uzmemo u popis točaka točke koje smo upotrijebili u prvom načinu, dobit ćemo istu funkciju. Uza sve točke iz tablice funkcija će se malo razlikovati.

  $f\left(x\right)=12.1·{1.8}^x$
  

  Koliko dobro taj model opisuje naš problem? Kolika su sada odstupanja?

  $f\left(7\right)=12.1·{1.8}^7=740.79$

  $f\left(10\right)=12.1·{1.8}^{10}=4320.27$
  

  Kod ovog su modela odstupnja veća.

b. $f\left(15\right)=12.04·{1.8}^{15}=81230$

Nakon $15$ mjeseci u idealnim uvjetima broj pregleda bio bi $81230.$ U realnim bi uvjetima broj pregleda bio manji.

c. S grafa očitavamo da će broj posjeta dosegniti $10000$ nakon približno $11$ mjeseci i $13$ dana.

Zadatak 1.

Tablica prikazuje plaće košarkaša u NBA-u od 1980. do 1998. u tisućama dolara. Pronađite eksponencijalnu funkciju koja opisuje taj rast. Izračunajte koliku bi plaću danas prema tom rastu trebao imati košarkaš u NBA-u i provjerite točnost dobivenih rezultata.

Eksponencijalna funkcija je $f\left(x\right)=161.43·{1.17}^x.$

Današnja plaća bila bi viša od $52$ milijuna, ali ipak prema podatcima s interneta ona je „samo” $29$ milijuna. Razmislite zašto nismo mogli dobiti točniju vrijednost.

Problem populacije

Zanimljivost

Populacija je skupina ljudi, životinja, biljaka ili nekih organizama koji žive na određenom području i u određenom vremenu. Ljudi odavno nastoje dobiti model kojim će moći predvidjeti populaciju ljudi, ali i drugih organizama. Zašto?

Thomas Malthus (1766. – 1834., engleski demograf) modelirao je 1798. godine demografski rast bez migracija.

Kako izračunati koliki će, uz idealne uvjete, biti stanovnika nekoga grada ili države za pet, deset ili više godina? Kada Zemlja više neće moći hraniti sve stanovnike svijeta? To su pitanja koja muče demografe, ali i obične ljude. Odgovor nudi jedan model.​

Malthusov model

$N=N_0{e}^{kt}uz{N}_0=N\left(0\right)$

$k$ – koeficijent rasta ili pada​

$t$ – vrijeme u satima

$N_0$ – početni broj jedinki

Ako je​ $k<0$ populacija pada, za​ $k>0$ riječ je o rastu populacije. Kad je $k=0,$ broj jedinki populacije se ne mijenja.

Taj model ne uzima u obzir promjenjivost stope rasta, mjenjanje okoliša u kojem jedinke žive, količinu hrane i vode pa broj jedinki neograničeno raste. Prema takvome modelu za $200$ godina broj goveda bio bi toliki da bi masom premašili masu Zemlje.

Zanimljivost

Thomas Austin ostat će poznat u povijesti kao čovjek koji je u Australiju donio zečeve. Bio je zaljubljenik u lov i iz Engleske je donio $24$ zeca. Nakon šest do sedam godina taj se broj popeo na $14000$ jer zečevi ondje nisu imali prirodnih neprijetelja. Danas ih je više od $200$ milijuna. U Australiji su prouzročili golemu štetu na usjevima te izazvali eroziju tla. Upotrijebljen je čak i virus koji je djelovao samo na zečeve.

Primjer 8.

Ljudi su na mali otok dovezli zečeve prije osam godina. Trenutačno na otoku ima $1400$ zečeva uz koeficijent rasta $0.55$ po godini.

1. Koliko je zečeva bilo u početku?
2. Koliko će ih biti za $12$ godina?

Rješenje

Koristimo se Mathusovim modelom.

1. $N\left(t\right)=N_0{e}^{kt}\Rightarrow N_0=\frac{N\left(t\right)}{e^{kt}}=\frac{1400}{e^{0.55·8}}\approx 50$

   U početku je bilo $50$ zečeva.

2. $N\left(12\right)=50·e^{0.55·20}\approx 2993707$

   Uz uvjet da se ne promijene okolinosti (voda, hrana, bez prirodnih neprijatelja), bit će ih oko tri milijuna.

Zadatak 2.

Početni broj bakterija u kulturi je $500.$ Koeficijent rasta je $0.4$ u jednom satu.

1. Napišite funkciju koja opisuje broj bakterija u satu.
2. Koliko je bakterija nakon jednog sata?
3. Koliko je bakterija nakon deset sati?​

Newtonov zakon hlađenja

Hlađenje tijela prema Newtonovu zakonu događa se prema formuli:

$T\left(t\right)=T_S+\left(T_0-T_s\right)e^{-kt}$.

$T$ - temperatura tijela nakon vremena $t$ 

$T_S$ – temperatura okoline

$T_0$ – početna temperatura zagrijanog tijela

$k$ – pozitivna konstanta hlađenja

Primjer 9.

Temperatura šalice kave je $100°\mathrm{C}$ u sobi s temperaturom $25°\mathrm{C}.$ Konstanta hlađenja je $0.048.$

1. Pronađimo eksponencijalni model hlađenja kave.
2. Kolika će biti temperatura šalice kave nakon deset minuta? Ako je moguće bez opeklina popiti kavu od ​ $68°\mathrm{C},$ možemo li početi piti?

Rješenje

1. $T\left(t\right)=25+75e^{-0.048t}$​
2. $T\left(10\right)=25+75e^{-0.048·10}=71.41°\mathrm{C}$

Pričekajmo još malo prije uživanja. Kava toplija od $68°\mathrm{C}$ može izazvati opekline trećeg stupnja.

Povezani sadržaji

U forenzici se često baš taj zakon koristi za utvrđivanje vremana ubojstva. Ako znamo kada se ubojstvo dogodilo, s pomoću postojanja ili ne postojanja alibija možemo eliminirati sumljivce i pronaći zločinca.

Zadatak 3.

Bila je kišna noć. Inspektora Beru pozvali su u $23.15$ da riješi slučaj ubojstva. Stigao je u $23.30.$ Trebalo je biti jednostavno. Poprište je bilo netaknuto, a policija je držala troje osumnjičenih u kući gdje se zločin dogodio. Bruno, Jan i Jurica su prijatelji, a Monika je sestrična žrtve. Inspektor je nakon ispitivanja osumljičenih zapisao:

• ​svi osumnjičeni stigli su u $15.30$ na proslavu rođendana
• Bruno i Monika otišli su po tortu u $17.30$ i vratili se u $19.30$
• Jurica je otišao po sokove u $16.30,$ a vratio se u $18.30$
• Jan je u $18.30$ primio hitan poziv s posla i vratio se u $20.30$ kada je zatekao Brunu, Moniku i Juricu u panici jer je njihov prijatelj i slavljenik bio mrtav.

Inspektor Bero razmišlja: „Kada bih znao vrijeme smrti znao bih i ubojicu.” Inspektorov pomoćnik Marin gleda termometar u sobi gdje je temperatura $25$ stupnjeva. Doktor Brzić mjeri temperaturu žrtve $33.9$ stupnja, a izračunao je i konstantu hlađenja $k=0.05.$ Sada je $1$ sat nakon ponoći.

Pomoćnik Marin izvadi tablet i počne kuckati.

„Marine, nije vrijeme za igranje igrica, težak je slučaj pred nama”, komentira inspektor.

„Inspektore, ne igram igrice. Primijenit ćemo matematiku. Napravio sam eksponencijalni model kojim ćemo riješiti slučaj. ”  

„Napravio si što? Daj da ja to vidim! Pa, to je fantastično. Idemo brzo riješiti slučaj.”

Možete li s pomoću Marinova modela pomoći inspektoru da otkrije tko je ubojica? U koliko je sati počinjen zločin? Tko nema alibi?

Iskoristite Marinovu aplikaciju i riješite zločin. Možete li odrediti vrijeme ubojstva?

Upišite temperaturu tijela žrtve. Pomoću klizača namjestite temperaturu okoline. Na grafu se nalazi točka čija $x$ koordinata govori vrijeme ubojstva.