8.1 Abeceda stereometrije

Točka, pravac i ravnina

Euklid prvo uvodi osnovne pojmove geometrije, a zatim postulate i aksiome koji se ne dokazuju, nego opisuju svojstva osnovnih pojmova.  Aksiom je osnovna tvrdnja u nekoj teoriji koja se smatra istinitom i ne dokazuje se. Zatim dolaze teoremi koje se mora dokazati, a u dokazima se pozivamo na aksiome, postulate ili već dokazane teoreme.

Evo nekoliko pojmova kako ih je Euklid opisao u prvoj knjizi Elemenata:

1. ​Točka je ono što nema dijelova.
2. Crta je duljina bez širine.
3. Krajevi crte su točke.
4. Dužina je ona crta koja jednako leži prema točkama na njoj.
5. Ploha je ono što ima samo duljinu i širinu.

Elemente možete detaljnije proučiti na poveznici.

Točka, pravac i ravnina osnovni su pojmovi geometrije prostora i oni se ne definiraju.

Točka je najosnovniji pojam u geometriji. Oznaka je točka (negdje kružić, križić...) uz koju je oznaka veliko slovo latinične abecede. Točka označava položaj i nema veličinu.

Približan model: pixel na zaslonu ekrana.

Pravac

Ravna linija koja prolazi kroz beskonačno mnogo točaka i povezuje ih. Proteže se beskonačno u dva suprotna smjera. Ima beskonačnu duljinu, nema visinu, ni širinu. Oznake su mala slova latinične abecede.

Približan model: laserska zraka, trag koji zrakoplovi ostavljaju na nebu.

Ravnina

Ravninu opisujemo kao beskonačan skup točaka koje tvore povezanu ravnu površinu beskonačnu u svim smjerovima. Ravnina ima beskonačnu širinu i duljinu, a debljina je nula. Oznake su mala slova grčkog alfabeta.

Približan model: list papira, strop učionice.

Aksiomi geometrije prostora

Zadatak 1.

U nastavku ćemo zajednički otkriti aksiome geometrije prostora. Popunite praznine.

Aksiomi geometrije prostora:

1. ​Kroz dvije različite točke prolazi točno jedan pravac.
2. Kroz tri točke koje ne leže na jednom pravcu prolazi točno jedna ravnina.
3. Pravac koji prolazi kroz dvije različite točke ravnine leži u toj ravnini.
4. Ako dvije različite ravnine imaju zajedničku točku, onda se sijeku u pravcu.
5. Kroz svaku točku može se provući točno jedna paralela sa zadanim pravcem. Uvjet: točka i zadani pravac leže u istoj ravnini.

Primjer 1.

Jeste li ikada primijetili da je četveronožni stolac manje stabilan od stolca na tri noge? To je primjer ravnine određene s trima točkama.

Primjena aksioma

Ako se dva pravca sijeku u dvije točke, tada su oni:

paralelni.

okomiti.

podudarni.

null

null

Dvije ravnine prostora mogu se sjeći:

u jednoj točki.

u dvije točke.

po pravcu.

null

null

Iz prvog aksioma imamo uvjet određenosti pravca.

Pravac je određen dvjema točkama.

Primjer 2.

Točke  $A$ i $B$ su kolinearne. Točke  $B$ i $C$ su kolinearne.

Točke $A,$  $B$ i $C$ su nekolinearne.

Primjer 3.

​Točke  $\mathit{F, E}$ i $D$ su komplanarne. Točke ​ $F,$  $E,$  $D$ i ​ $G$ su nekomplanarne.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Na stolu se nalazi dvostrani okvir za slike. Odredite komplanarne i kolinearne točke.

Rješenje

Kolinearne točke:  $G$ i ​ $B,$  $B$ i $C,$  $G$ i $D,$  $D$ i $F,$  $F$ i $E,$  $B$ i $F,$  $E$ i $C.$​

Komplanarne točke: $G,$  $B$ i​ $C,$ $B,$  $G,$  $D$ i $F,$ $B,$ $F,$  $E$ i $C,$ $D,$  $F$ i $E.$

---

Zadatak 3.

 ​Za točke sa Slike 1. odgovorite na pitanja.

Zadatak 4.

Točka $A$ leži na pravcu $m.$

Da

Ne

null

null

Točke $B, C i D$ su kolinearne.

Da

Ne

null

null

Točke  $A, B i F$ su komplanarne.

Da

Ne

null

null

Točke $A, B, C i D$ su kolinearne.

Da

Ne

null

null

Zadatak 5.

Pogledajte Sliku 2. Točka kolinearna s točkama  $F$ i  $C$ je točka

$G$

$D$

$E$

null

null

Pogledajte Sliku 2. Je li točka $F$ kolinearna s točkama  $G$ i $A?$

Da

Ne

null

null

Pogledajte Sliku 2. Točka koja je kolinearna s točkama $D$ i $C$ je točka  .

null

null

Zatvori

Primjer 4.

1. Na slici uočite tri kolinearne točke.

   Točke $E,$ $F$ i $D$ su kolinearne.

2. Jesu li točke $B,$ $C$ i $E$ komplanarne?

   Da, te su točke komplanarne zato što leže u jednoj ravnini.

Zadatak 6.

Za geometrijsko tijelo sa slike odgovorite na sljedeća pitanja:

1. Koja je točka kolinearna s točkama $A$ i $D?$
2. Koje su točke komplanarne s točkama $E,$ $F$ i $H?$
3. Jesu li točke $D,$ $A,$ $C$ i $G$ komplanarne?
4. Jesu li točke $D,$ $J,$ $A$ i $B$ kolinearne?