x
Učitavanje
  1. Matematika 2
  2. 8. Geometrija prostora
  3. 8.4 Okomitost

8.4 Okomitost

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Što ću naučiti?
Samostalno učenje
Procijenite svoje znanje
Sadržaj jedinice
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Eratosten

Grčki matematičar Eratosten je 240. godine pr. Kr. odredio opseg Zemlje koristeći se samo štapom. Mjerio je duljine sjena štapa točno u podne na dvjema lokacijama poznate udaljenosti te je jednostavnim matematičkim računom odredio polumjer i opseg Zemlje. Upravo ta ideja, stara više od dvije tisuće godina, nadahnula je pokretanje međunarodnog projekta pod nazivom „Eratostenov eksperiment“.

Detalje o Eratostenovom eksperimentu i prijave za sudjelovanje u eksperimentu možete pronaći na stranicama CARNeta posvećenima Eratostenovom eksperimentu.

Okomitost pravca i ravnine

Primjer 1.

Kocka ABCDEFGH

Prisjetimo se u kakvom odnosu mogu biti dva pravca. Na modelu kocke pronađite paralelne pravce, pravce koji se sijeku i mimoilazne pravce.

  • Neki primjeri paralelnih pravaca: A B i C D , F G i B C , A E i D H .
  • Primjeri pravaca koji se sijeku: A B i B C , B F i F G , D H i A D .
  • Primjeri mimoilaznih pravaca: A B i H D , B F i A D , C G i E H .

Pogledamo li pravce A B i B C možemo uočiti da će se sjeći. Presjek tih dvaju pravaca nalazi se u točki B . Kut pod kojim se sijeku ta dva pravca iznosi 90 ° pa su ta dva pravca međusobno okomita.

Kada je pravac okomit na ravninu?

Na predlošku koji slijedi istaknite ravninu A B C i pravac B F te pogledajte u kojem su odnosu.

Sada istaknite drugi pravac, B G . On je okomit na pravac A B iz ravnine A B C , ali nije okomit na tu ravninu. Zašto? Možete li zaključiti kada je pravac okomit na ravninu?

Povećaj ili smanji interakciju

Pravac p koji siječe ravninu π okomit je na nju ako je okomit na svaki pravac koji prolazi probodištem pravca i ravnine i leži u toj ravnini. Pišemo: p ⊥ π .

Okomitost pravca i ravnine
Okomitost pravca i ravnine

Zadatak 1.

Da bismo zaključili da je pravac okomit na ravninu, potrebno je provjeriti da je okomit na:

null
null

Pravac je okomit na ravninu ako i samo ako je okomit na barem dva pravca koji prolaze probodištem.

Pravac AH nije okomit na ravninu ABC
Pravac A H nije okomit na ravninu A B C

Pogledajmo dijagonalu A H strane A D E kocke A B C D E F G H . Ona je okomita na pravac A B , ali nije okomita na ravninu u kojoj leži pravac A B , na ravninu A B C . Zaključujemo kako nije dovoljno da je pravac okomit na samo jedan pravac iz te ravnine. Potrebna su barem dva pravca koja prolaze zajedničkom točkom.

Pravac AE okomit je na ravninu ABC
Pravac A E okomit je na ravninu A B C

Pogledajmo brid kocke A E . Okomit je na pravac koji prolazi kroz točke A i B te na pravac kroz točke A i D . Okomit je na dva pravca koja prolaze kroz ravninu A B C , pa je okomit i na tu ravninu.

Svojstva relacije okomito

Paralelni pravci okomiti na ravninu

Ako je p ⊥ π i q ∥ p , onda je q ⊥ π .

Ako je pravac okomit na ravninu, onda je svaki pravac paralelan s njim okomit na tu ravninu.

Ako je ​ p ⊥ π   i q ⊥ π , onda je p ∥ q .

Dva pravca okomita na ravninu međusobno su paralelna.

Pravac okomit na dvije ravnine

Ako je p ⊥ π i π ∥ ρ , onda je p ⊥ ρ.

Pravac okomit na ravninu okomit je na svaku ravninu paralelnu s njom.

Zadatak 2.

Kocka ABCDEFGH

Pogledajte kocku s vrhovima A B C D E F G H te odgovorite jesu li tvrdnje istinite.

  1. Pravac B D okomit je na ravninu D C G .

    null
    null

  2. Pravac C D okomit je na ravninu B C H .

    null
    null

  3. Pravac E D okomit je na ravninu A B G .

    null
    null

  4. Pravac E D okomit je na ravninu E B G .

    null
    null

Okomitost ravnina

Pogledajte grafički prikaz kocke na kojoj su istaknute dvije ravnine. One se sijeku po pravcu  p . Zarotirajte grafički prikaz i pratite pravce a  i  b . Pravci a i b međusobno su okomiti, a svaki od njih nalazi se u jednoj ravnini.

Pravac b okomit je na ravninu ​ π  jer je okomit na dva njezina pravca ( p i a ).

Povećaj ili smanji interakciju

Ravnina π   okomita je na ravninu ρ  ako sadrži pravac koji je okomit na ravninu ρ . Pišemo: π ⊥ ρ .

Primjer 2.

Kocka s ravninom ABC

Neka je zadana kocka A B C D E F G H kao na slici.

Pronađimo ravnine određene vrhovima kocke koje su okomite na ravninu A B C .

To su ravnine određene vrhovima A B E F , A B E F , C D G H i A D E H .

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 3.

Koje su ravnine određene vrhovima kvadra A B C D E F G H okomite na ravninu A D H ?

Kvadar ABCDEFGH


null
null

Zadatak 4.

Kvadar ABCDEFGH, točka I na bridu GH, točka J na bridu CD - zadatak s pravcima

Na slici je kvadar s vrhovima A B C D E F G H . Pronađite nekoliko pravaca određenih istaknutim točkama koji:

  1. jesu međusobno okomiti
  2. jesu okomiti na ravninu A B C
  3. nisu međusobno okomiti
  4. nisu okomiti na ravninu A B C .

Primjeri mogućih rješenja:

  1. A B ⊥ B C , ​ A E ⊥ A B , ​ B F ⊥ B C .
  2. B F ,   C G ,   D H ,   A E ...
  3. A B  i  B J ,   A B  i  C D ,   A B  i  G C .
  4. F G ,   F E ,   B I .
Zatvori
Prikazane su tri međusobno okomite ravnine čije presječnice su međusobno okomite.
Okomitost presječnice okomitih ravnina

Ako je α ⊥ π i β ⊥ π , onda je i presječni pravac p = α ∩ β okomit na π .

Zadatak 5.

  1. Ako za dvije ravnine vrijedi α ⊥ β, tada je β ⊥ α .

    null
    null

  2. Ako za tri ravnine vrijedi α ⊥ π i β ⊥ π , tada je α ⊥ β .

    null
    null

  3. Ako za tri ravnine vrijedi α ⊥ π i β ⊥ π , tada je α ∥ β .

    null
    null

Ortogonalna projekcija

Tlocrt, nacrt i bokocrt
Tlocrt, nacrt i bokocrt

U osnovnoj školi u sklopu predmeta Tehnički odgoj govorili ste o projekcijama tijela na ravninu. Jedna od vrsta projekcija je pravokutna ili ortogonalna projekcija. Za nju je karakteristično da su zrake projiciranja međusobno usporedne i okomito padaju na ravninu projiciranja.

Ortogonalna projekcija preslikavanje je koje će svaku točku T prostora preslikati u točku T 1  ravnine na način da kroz točku T povučemo okomicu na ravninu. Probodište okomice i ravnine tražena je točka T 1 . ​

Ortogonalna projekcija točke na ravninu

Projekcija točke na ravninu

Ortogonalna projekcija točke na ravninu je točka.

Primjer 3.

Kvadar ABCDEFGH s ravninom

Na slici je kvadar s vrhovima A B C D E F G H .

Odredimo ortogonalne projekcije točke A i točke F na ravninu A B C .

Budući da točka A leži u ravnini, njezina ortogonalna projekcija je ona sama, dok je ortogonalna projekcija točke F točka B .

Ortogonalna projekcija pravca na ravninu

U idućoj animaciji pratite ortogonalnu projekciju pravca na ravninu pa odgovorite na pitanje.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 6.

  1. Što sve može biti ortogonalna projekcija pravca na ravninu?

    null
    null

  2. U kojem odnosu mogu biti pravac i ravnina u prostoru?

    null
    null
Ortogonalna projekcija pravca koji leži u ravnini
Ortogonalna projekcija pravca koji leži u ravnini

Ako pravac leži u ravnini, njegova ortogonalna projekcija upravo je taj pravac.

Ortogonalna projekcija pravca paralelnog s ravninom
Ortogonalna projekcija pravca paralelnog s ravninom

Ako je pravac paralelan s ravninom, njegova ortogonalna projekcija bit će pravac koji leži u ravnini, a dobije se tako da uzmemo dvije točke na pravcu te odredimo njihove ortogonalne projekcije na ravninu. Pravac kroz ortogonalne projekcije točaka ortogonalna je projekcija pravca.

Ortogonalna projekcija pravca koji siječe ravninu
Ortogonalna projekcija pravca koji siječe ravninu

Ako pravac siječe ravninu pod kutom koji nije 90 ° , njegova ortogonalna projekcija je pravac.

Ortogonalna projekcija pravca okomitog na ravninu
Ortogonalna projekcija pravca okomitog na ravninu

Ako je pravac okomit na ravninu, njegova ortogonalna projekcija je samo jedna točka T (sjecište pravca i ravnine).

Primjer 4.

Kocka ABCDEFGH s ravninom

Na kocki A B C D E F G H istaknuta je ravnina kroz točke A B C .

Odredite ortogonalne projekcije na tu ravninu:

  1. pravca A B ​
  2. pravca E F
  3. pravca B E
  4. pravca A E
  5. točke F .

Ortogonalne projekcije su:

  1. pravac A B
  2. pravac A B
  3. pravac A B
  4. točka A
  5. točka B .

Zadatak 7.

 Ortogonalna projekcija trokuta na ravninu može biti:

null
null

Izradi vježbu

Razmislite u kojem sve položaju može biti trokut u odnosu na neku ravninu tena papiru  skicirajte njegove ortogonalne projekcije.

...i na kraju

Lego kockice

U ovoj jedinici govorili smo o okomitosti i ortogonalnoj projekciji. Kako biste provjerili shvaćanje tih pojmova, poigrajte se s dječjim kockicama. Izradite neki objekt od kockica te nacrtajte njegove ortogonalne projekcije na donju, prednju i desnu ravninu. Svoj crtež predajte kolegi i zamolite ga da sastavi objekt na temelju crteža. Jeste li bili uspješni?

Idemo na sljedeću jedinicu

8.5 Kut pravca i ravnine. Kut dviju ravnina