8.3 Međusobni položaj pravaca i ravnina u prostoru

Odnos pravca i ravnine u prostoru

U idućoj animaciji pratite položaj pravca u odnosu na ravninu te uočite u kojem sve odnosu mogu biti pravac i ravnina. Kvadar i ravninu možete rotirati držeći lijevu tipku miša.

a. ​Svaka točka pravca ujedno je i točka ravnine. Situacija kada pravac leži u ravnini zapisuje se $p\subset \pi .$

b. Ako pravac i ravnina nemaju presječnih točaka, kažemo da su paralelni. Pišemo: $p\parallel \pi .$

c. Ako se pravac i ravnina sijeku, tada imaju samo jednu presječnu točku. Pišemo: ​ $p\cap \pi =A.$ Točka $A$ naziva se sjecište ili probodište pravca i ravnine.

Zadatak 2.

Pravac i ravnina mogu imati:

$0$ zajedničkih točaka

$1$ zajedničku točku

$2$ zajedničke točke

$4$ zajedničke točke

beskonačno mnogo zajedničkih točaka.

null

null

 

Koliko je pravaca koji ne leže u ravnini, a određeni su vrhovima kvadra, paralelno istaknutoj ravnini kroz vrhove $A,$ $B,$ $C$ i $D?$

null

Postupak:

To su: $EF,$ $EH,$ $EG,$ $FH,$ $FG,$ $GH.$

Odnos dviju ravnina

U idućoj animaciji pratite položaj ravnina u odnosu na istaknutu ravninu te uočite u kojem sve odnosu mogu biti.

a. Dvije se ravnine podudaraju ako imaju barem tri zajedničke nekolinearne točke. Pišemo: ​ $\pi =\rho .$

b. Dvije su ravnine paralelne ako se podudaraju ili ako se ne sijeku. Pišemo: ​ $\pi \parallel \rho .$

c. Dvije ravnine koje imaju zajedničkih točaka, a ne podudaraju se, sijeku se po pravcu. Pišemo: $\pi \cap \rho =p.$

Zadatak 3.

Presjek dviju ravnina u prostoru može biti:

 prazan skup

 jedna točka

 dvije točke

 dužina

 pravac

 ravnina.

null

null

Kutak za znatiželjne

Postoje i višedimenzionalni prostori. Istražite mogu li se u višedimenzionalnom prostoru dvije ravnine sjeći u samo jednoj točki.

Tri ravnine u prostoru mogu biti u jednom od pet mogućih položaja:

1. postoji samo jedna točka zajednička za sve tri ravnine
2. sve tri ravnine sijeku se duž jednog pravca
3. po dvije se ravnine sijeku u trima paralelnim pravcima
4. dvije su ravnine paralelne, a treća ih siječe duž dvaju paralelnih pravaca
5. sve su tri ravnine paralelne.

Kutak za znatiželjne

Razmislite kako bi ti položaji izgledali te ih skicirajte na plakatu. Pokušajte izraditi modele od kartona ili šperploče koji bi prikazivali moguće položaje triju ravnina u prostoru.

Zadatak 4.

Spojite grafičke prikaze s opisom položaja triju ravnina.

	Dvije ravnine su paralelne, a treća ih siječe.Ravnine se sijeku u jednoj točki.Sve tri ravnine su paralelne,Po dvije ravnine se sijeku duž pravca.Sve tri ravnine se sijeku duž jednog pravca.
	Dvije ravnine su paralelne, a treća ih siječe.Ravnine se sijeku u jednoj točki.Sve tri ravnine su paralelne,Po dvije ravnine se sijeku duž pravca.Sve tri ravnine se sijeku duž jednog pravca.
	Dvije ravnine su paralelne, a treća ih siječe.Ravnine se sijeku u jednoj točki.Sve tri ravnine su paralelne,Po dvije ravnine se sijeku duž pravca.Sve tri ravnine se sijeku duž jednog pravca.
	Dvije ravnine su paralelne, a treća ih siječe.Ravnine se sijeku u jednoj točki.Sve tri ravnine su paralelne,Po dvije ravnine se sijeku duž pravca.Sve tri ravnine se sijeku duž jednog pravca.
	Dvije ravnine su paralelne, a treća ih siječe.Ravnine se sijeku u jednoj točki.Sve tri ravnine su paralelne,Po dvije ravnine se sijeku duž pravca.Sve tri ravnine se sijeku duž jednog pravca.

null

null

Paralelnost

Zadatak 5.

Pogledajte kocku pa odgovorite u kojem su položaju:

1. ravnine $ABC$ i $EFG$
2. ravnina $ABC$ i pravac $EF$
3. pravci $AB$ i $CD$
4. ravnine $EAD$ i $BCG$
5. ravnina $FGH$ i pravac $BD$
6. pravci $AH$ i $BG.$
   

 ​

Zanimljivost

Sferna geometrija vrsta je neeuklidske geometrije na sferi za koju su pravci glave kružnice sfere, točke su točke sfere, a ravnina je zadana sfera. U sfernoj geometriji nije zadovoljen Euklidov aksiom o paralelama, svaka dva pravca sijeku se u dvije točke pa točkom izvan pravca ne prolazi niti jedan pravac paralelan sa zadanim pravcem.

Zadatak 6.

Na kocki s vrhovima $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ $F,$ $G,$ $H$ istaknute su točke $I,$ $J,$ $K,$ $L$ za koje vrijedi $\left|AI\right|=\left|BJ\right|=\left|CK\right|=\left|DL\right|.$ 

Odgovorite:

1. U kojem položaju su pravci $AB$ i $CD?$
2. U kojem položaju su pravci $AB$ i $IJ?$
3. U kojem položaju su pravci $CD$ i $IJ?$
4. U kojem položaju su ravnine $ABC$ i $IJK?$
5. U kojem položaju su ravnine $EFG$ i $IJK?$
6. U kojem položaju su ravnine $ABC$ i $EFG?$
   

U prošlom zadatku možemo uočiti tzv. tranzitivnost paralelnosti.

Kutak za znatiželjne

Paralelnost je relacija ekvivalencije. To znači da je binarna relacija i da vrijede svojstva refleksivnosti, simetričnosti i tranzitivnosti.

Sva tri svojstva smo već spomenuli. Potražite ih te dokažite da je paralelnost relacija ekvivalencije.

Proučite koje još vrste relacija postoje. Koja je razlika između relacija i funkcija?