Pojmovnik

Aksiomi geometrije prostora:

1. ​Kroz dvije različite točke prolazi točno jedan pravac.
2. Kroz tri točke koje ne leže na jednom pravcu prolazi točno jedna ravnina.
3. Pravac koji prolazi kroz dvije različite točke ravnine leži u toj ravnini.
4. Ako dvije različite ravnine imaju zajedničku točku, onda se sijeku u pravcu.
5. Kroz svaku točku može se provući točno jedna paralela sa zadanim pravcem. Uvjet: točka i zadani pravac leže u istoj ravnini.

Centralna simetrija preslikavanje je prostora koje točku $A$ preslika u točku $A\text{'}$ tako da vrijedi:

• točke $A,A\text{'}\mathrm{i}O$ leže na istom pravcu
• vrijedi $\left|AO\right|=\left|A\text{'}O\right|$.

Točku $O$ nazivamo središte simetrije.

Strane poliedra mnogokuti su koji omeđuju poliedar.

Bridovi poliedra stranice su mnogokuta koji omeđuju poliedar.

Vrhovi poliedra vrhovi su mnogokuta koji omeđuju poliedar.

Zbroj broja vrhova i broja strana za svaki poliedar za dva je veći od broja njegovih bridova, tj. vrijedi Eulerova formula

$V+S-B=2$

Geometrija (mjerstvo) grana je matematike koja se bavi prostornim odnosima i oblicima.

Neka je $S$ istaknuta točka u prostoru (središte homotetije).

Homotetija je preslikavanje koje točki $A$ pridružuje točku $A\text{'}$ takvu da vrijedi:

• točke $S,A\mathrm{i}A\text{'}$ leže na istom pravcu (kolinearne su)
  
• $\left|SA\text{'}\right|=\left|k\right|·\left|SA\right|$ 
• za $k>0$ točke $A\mathrm{i}A\text{'}$ leže na istom polupravcu određenom točkom $S$ 
• za $k<0$ točke $A\mathrm{i}A\text{'}$ leže na različitim polupravcima određenim točkom $S$.

Broj $k$ naziva se koeficijent homotetije.

Sve točke koje leže na istom pravcu su kolinearne.

Za razliku od kolinearnih točaka nekolinearne točke ne leže na istom pravcu.

Točke koje leže u jednoj ravnini su komplanarne.

Točke koje ne leže u jednoj ravnini su nekomplanarne.

Konveksni mnogokut (poligon) omeđeni je skup u ravnini dobiven kao presjek konačno mnogo poluravnina.

Konveksni poliedar omeđeni je skup u prostoru dobiven kao presjek konačno mnogo poluprostora.

Ako se ravnine​ $\pi$ i $\rho$ sijeku po pravcu $p$, onda kroz točku ​ $A\in p$, okomito na pravac $p$, prolazi jedinstvena okomica $a$ sadržana u $\pi$ i jedinstvena okomica $b$ sadržana u $\rho$. Manji od kutova koje zatvaraju te dvije okomice kut je između ravnina $\pi$ i $\rho$.

Kut pravca i ravnine jest kut između pravca i njegove ortogonalne projekcije na ravninu.

Dvije ravnine u prostoru mogu biti ili paralelne ili je njihov presjek pravac. Pritom paralelnost uključuje slučaj kad se ravnine podudaraju.

Pravac i ravnina u prostoru su ili paralelni ili se sijeku u jednoj točki. Pritom paralelnost uključuje i slučaj kad pravac leži u ravnini.

Dva su pravca mimoilazna ako ne leže u istoj ravnini.

Iz prvog aksioma imamo uvjet određenosti pravca.

Pravac je određen dvjema točkama.

Ravnina $\pi$  okomita je na ravninu $\rho$ ako sadrži pravac koji je okomit na ravninu $\rho$. Pišemo: $\pi \perp \rho$.

Pravac $p$ koji siječe ravninu $\pi$ okomit je na nju ako je okomit na svaki pravac koji prolazi probodištem pravca i ravnine i leži u toj ravnini. Pišemo: $p\perp \pi$.

Ako je $\alpha \perp \pi$ i $\beta \perp \pi$, onda je i presječni pravac $p=\alpha \cap \beta$ okomit na $\pi$.

Ortogonalna projekcija preslikavanje je koje će svaku točku $T$ prostora preslikati u točku $T_1$ ravnine na način da kroz točku $T$ povučemo okomicu na ravninu. Probodište okomice i ravnine tražena je točka $T_1$.​

Ako je pravac okomit na ravninu, njegova ortogonalna projekcija je samo jedna točka $T$ (sjecište pravca i ravnine).

Ortogonalna projekcija točke na ravninu je točka.

Dvije su ravnine paralelne ako nemaju zajedničkih točaka. Također se smatra da je ravnina paralelna sama sa sobom.

Dva su pravca paralelna ako leže u istoj ravnini i nemaju zajedničkih točaka. Također se smatra da je svaki pravac paralelan sam sa sobom.

Pravac i ravnina su paralelni ako nemaju zajedničkih točaka. Također se smatra da je pravac paralelan s ravninom koja ga sadrži.  

Planimetrija je grana geometrije koja se bavi geometrijskim likovima u ravnini i njihovim odnosima.

Pravci u prostoru mogu se nalaziti u dvama položajima:

• pravci leže u istoj ravnini
• pravci ne leže u istoj ravnini
  

Dva pravca u ravnini mogu se naći u sljedećim položajima:

1. ​pravci se podudaraju
2. pravci nisu istovjetni i sijeku se
3. pravci se ne sijeku.

Tri ravnine u prostoru mogu biti u jednom od pet mogućih položaja:

1. postoji samo jedna točka zajednička za sve tri ravnine
2. sve tri ravnine sijeku se duž jednog pravca
3. po dvije se ravnine sijeku u trima paralelnim pravcima
4. dvije su ravnine paralelne, a treća ih siječe duž dvaju paralelnih pravaca
5. sve su tri ravnine paralelne.

Poluprostor je skup svih točaka prostora koje se nalaze s iste strane neke ravnine tog prostora.

Poluravnina je skup svih točaka ravnine koje se nalaze s jedne strane nekog pravca te ravnine.

Neka je $P$ površina mnogokuta,  $P_1$ površina njegove ortogonalne projekcije, a $\alpha$ kut koji zatvara ravnina lika s ravninom projekcije. Tada vrijedi ​ $P_1=P·\cos \alpha$.

Mnogokut kojemu su sve stranice jednake i svi kutovi jednaki zove se pravilni mnogokut.

Geometrijsko (konveksno) tijelo koje je omeđeno sukladnim pravilnim mnogokutima i kojemu iz svakog vrha izlazi jednak broj bridova zove se pravilni poliedar.

Simetralna ravnina dužine $\overline{AA\text{'}}$ ravnina je koja prolazi polovištem $P$ te dužine i okomita je na pravac $AA\text{'}$.

Stereometrija je grana geometrije koja proučava geometrijska tijela i njihove odnose u trodimenzionalnom prostoru.

Paralelnost pravaca i paralelnost ravnina tranzitivne su relacije. To znači da imaju svojstva:

Ako je ​ $a\parallel b$  i ako je $b\parallel c$ onda je i $a\parallel c$.

Ako je​ $\pi \parallel \rho$  i ako je $\rho \parallel \sigma$ onda je $\pi \parallel \sigma$.

Udaljenost mimosmjernih pravaca udaljenost je paralelnih ravnina u kojima leže ti mimosmjerni pravci.

Udaljenost pravca $q$ od njemu paralelnog pravca $p$ udaljenost je između bilo koje njegove točke $T$ od tog pravca. Ako se pravci sijeku, udaljenost je $0$.

Udaljenost pravca  $p$ od njemu paralelne ravnine udaljenost je bilo koje njegove točke  $T$ od te ravnine. Ako pravac siječe ravninu, udaljenost je $0$.

Udaljenost točke $T$ od pravca $p$ udaljenost je točke $T$ od njezine ortogonalne projekcije​ $T_1$ na pravac $p$. Točka $T_1$ sjecište je pravca $p$ i pravca okomitog na $p$ kroz $T$.

Udaljenost točke  $T$ od ravnine  $\pi$ udaljenost je točke  $T$ od njezine ortogonalne projekcije  $T_1$ na ravninu $\pi$.

Neka je zadana ravnina $\sigma$. Točki $A$ pridružimo točku $A\text{'}$ tako da vrijedi:

• točke su jednako udaljene od ravnine, tj. ako točka $P$, polovište dužine $\overline{AA\text{'}}$, pripada ravnini, tada vrijedi $\left|AP\right|=\left|A\text{'}P\right|$
• pravac $AA\text{'}$ okomit je na danu ravninu.

Tada preslikavanje $A\mapsto A\text{'}$ zovemo zrcalna simetrija.