9.3 Oplošje prizme

Oplošje prizme

Primjer 1.

Pogledajmo mrežu prizme od koje ćemo napraviti kutiju.

Baze su dva pravokutnika, a pobočje se također sastoji od četiriju pravokutnika, od kojih su dva jednaka. Kako bismo odgovorili na pitanje iz uvoda, trebamo izračunati površine tih pravokutnika i zbrojiti ih.

Prisjetimo se: Površina pravokutnika je umnožak duljina susjednih stranica.

$B=7·5=35{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}$

$P_1=7·4=28{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}$

$P_2=4·5=20{\mathrm{cm}}^2$

Ukupna površina potrošenog papira bila bi dvostruki zbroj svih površina (zato što se svaki pravokutnik pojavljuje u mreži dva puta), dakle površina je $166{\mathrm{cm}}^2.$ Površina kartona je $750{\mathrm{cm}}^2.$

Površina kartona je dovoljna. Ipak, u pravoj izradi kartonske kutije potrebno je provjeriti duljinu i širinu mreže koju u jednom dijelu trebamo izrezati kako bismo kutiju napravili čvršćom i lakše je izradili.

Duljina kartona treba biti $7\mathrm{cm}+4\mathrm{cm}+7\mathrm{cm}+4\mathrm{cm}=22\mathrm{cm},$ a širina $4\mathrm{cm}+5\mathrm{cm}+4\mathrm{cm}=13\mathrm{cm}.$ Dakle, Marko može izraditi poklon-kutiju za svoju mamu.

Površinu mreže koju smo računali zovemo oplošje prizme i označavamo slovom $O$.

Baze prizme su sukladni $n$-terokuti, a pobočje čini $n$ pravokutnika.

Oplošje prizme je zbroj površina baza i pobočja.

$O=2B+P$

Površine baze računamo s pomoću formula za površinu mnogokuta. Za površinu pobočja moramo izdvojiti i izračunati površine svih pravokutnika (paralelograme - kod prizmi koje nisu uspravne) i zbrojiti ih.

Zadatak 1.

Za računanje oplošja prizme trebat će nam formule za površine geometrijskih tijela. Prisjetimo se formula.

1. Odaberite pravu formulu za površinu za svaki geometrijski lik.
   

   

   $P=a^2$  ​

   $P=a·b$  ​

   $P=\frac{a·v_a}{2}$  ​

   $P=\frac{a+c}{2}·v$  ​

   $P=\frac{a·b}{2}$  ​

   

   null

   null

2. 
   

   

   $P=\frac{a·b}{2}$  ​

   $P=\frac{a+c}{2}·v$  ​

   $P=\frac{a·v_a}{2}$  ​

   $P=a·b$  ​

   $P=a^2$  ​

   

   null

   null

3. 
   

   

   $P=a^2$  ​

   $P=a·b$  ​

   $P=\frac{a·v_a}{2}$  ​

   $P=\frac{a+c}{2}·v$  ​

   $P=\frac{a·b}{2}$  ​

   

   null

   null

4. 
   

   

   $P=\frac{a·b}{2}$  ​

   $P=\frac{a+c}{2}·v$  ​

   $P=\frac{a·v_a}{2}$  ​

   $P=a·b$  ​

   $P=a^2$  ​

   

   null

   null

5. 
   

   

   $P=a^2$  ​

   $P=a·b$  ​

   $P=\frac{a·v_a}{2}$  ​

   $P=\frac{a+c}{2}·v$  ​

   $P=\frac{a·b}{2}$  ​

   

   null

   null

Kocka

Kocka je prizma omeđena sa šest sukladnih kvadrata.

Površina kvadrata je $a^2,$ gdje je $a$ stranica kvadrata.

Oplošje kocke je: $O=6·a^2.$

Na slici su još neki elementi koji mogu biti zanimljivi za računanje.

Strane kocke su kvadrati. Svaka strana ima dijagonalu koja se računa prema formuli:

$d=a\sqrt{2.}$

Poprečni presjek kocke (zelena površina na slici) je pravokutnik sa stranicama $a$ i $d$. Dijagonala tog pravokutnika je i prostorna dijagonala kocke $D.$

$D=\sqrt{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2+a^2}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}$

Primjer 2.

Kocka ima prostornu dijagonalu koja iznosi $6\sqrt{3}\mathrm{cm}.$ Koliko je oplošje kocke?

Ako znamo da je $D=a\sqrt{3},$ lako je pročitati da je brid kocke jednak $6\mathrm{cm}.$

Sad je oplošje kocke jednako:

$O=6a^2=6·6^2=6·36=216{\mathrm{cm}}^2$

Zadatak 2.

U parku se nalazi oglasna kocka koja stoji na jednom svom vrhu. Tvrtka koja je vlasnik kocke prodaje oglasni prostor na kocki. Brid kocke je $2$ metra. Ako je oglasni prostor veličine $30\times 40\mathrm{cm},$ a iznajmljuje se za $50$ kuna, koliko novca tvrtka može zaraditi ako iznajmi maksimum oglasnog prostora?

Rješenje

---

Kutak za znatiželjne

Jeste li gledali film Hiperkocka? Pogledajte trailer filma na http://tvprofil.net/show/499541/cube2-hypercube.

Što je to Hiperkocka? Što kaže matematika?

Hiperkocka izlazi iz našeg poznatog trodimenzionalnog prostora i uvodi nas u četvrtu dimenziju. To je zapravo četverodimenzionalna kocka.

Pogledajte kako možete napraviti hiperkocku.

Koliko oplošje ima ova hiperkocka?

Pogledajte kako nastaje mreža hiperkocke i kako izgleda:

Kvadar

Kvadar je prizma čije su stranice i baze pravokutnici. Po dvije suprotne strane sukladne su i paralelne.

Na slikama su prikazani kvadar i njegova mreža.

Oplošje kvadra kojemu su dimenzije $a$, $b$ i $c$ računamo prema formuli:

$O=2\left(ab+ac+bc\right).$

Na slici je i prostorna dijagonala koja spaja dva nasuprotna vrha kvadra. Prostornu dijagonalu možemo izračunati uz pomoć Pitagorinog poučka te uz upotrebu dijagonale strane.

$D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

U zadacima se često spominje i dijagonalni presjek kvadra. Kvadar ima tri različita dijagonalna presjeka. Dijagonalni presjek je presjek ravninom koja prolazi jednom od dijagonala okomito na stranu. Pogledajte sva tri dijagonalna presjeka.

Primjer 3.

Oplošje kvadra je $252{\mathrm{cm}}^2.$ Opseg baze kvadra je $16\mathrm{cm}.$ Visina je $15\mathrm{cm}.$ Izračunajte površine svih dijagonalnih presjeka.

Iz opsega baze možemo dobiti vezu između $a$ i $b.$

$a+b=8$

$a=8-b$

Sad podatke možemo uvrstiti u formulu za oplošje kvadra.

$252=2\left(8-b\right)·b+15b+120-15b$

Kad sredimo prethodni izraz, dobit ćemo kvadratnu jednadžbu po $b.$

$b^2-8b+6=0$

Rješenja su

$b_1=7.16\mathrm{cm}$ i $b_2=0.84\mathrm{cm}.$

Kad $b$ uvrstimo u jednadžbu za $a,$ dobit ćemo ista rješenja kao za $b.$

Za osnovne bridove kvadra uzet ćemo $a=0.84\mathrm{cm,}\mathrm{b=}\mathrm{7.16}\mathrm{cm}\mathrm{i}c=15\mathrm{cm}.$

Sad ćemo izračunati dijagonalne presjeke. Prvo moramo računati dijagonale strana.

$d_{ac}=\sqrt{a^2+c^2}=15.02\mathrm{cm}$

$P_1=b·d_{ac}=107.54{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}$

$d_{ab}=\sqrt{a^2+b^2}=7.21\mathrm{cm}$

$P_2=c·d_{ab}=108.15{\mathrm{cm}}^2$

$d_{bc}=\sqrt{b^2+c^2}=16.62\mathrm{cm}$

$P_3=a·d_{bc}=13.96{\mathrm{cm}}^2$

Pravilna trostrana prizma

Pravilna trostrana prizma kao baze ima jednakostranične trokute, a pobočke su tri jednaka pravokutnika čije su stranice visina i brid baze.

Oplošje te prizme računamo prema formuli:

$O=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+3·a·h,$ gdje je  $a$ osnovni brid, a $h$ visina prizme.

Primjer 4.

Trostrana prizma ima oplošje $36{\mathrm{cm}}^2,$ a visina je $7\mathrm{cm}.$ Koliko iznosi osnovni brid?

Oplošje pravilne trostrane prizme računamo prema formuli:

$O=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+3·a·h$

Ako uvrstimo sve podatke i sredimo jednadžbu, imamo kvadratnu jednadžbu:

$a^2\sqrt{3}+21a-72=0$

Rješenja te jednadžbe su $7.79$ i $-14.91.$

Duljina ne može biti negativna, pa je duljina osnovnog brida $7.79\mathrm{cm}.$

Zadatak 5.

Visina pravilne trostrane prizme je $6.5\mathrm{cm}.$ Ako je visina osnovice $4\mathrm{cm},$ koliko iznosi oplošje prizme?

Rješenje

---