9.4 Obujam prizme

Mjerne jedinice

Volumen se mjeri u ${\mathrm{mm}}^3,{\mathrm{cm}}^3,{\mathrm{dm}}^3,{\mathrm{m}}^3,...$ , ali i u $\mathrm{l},$ $\mathrm{dl}...$

Prisjetite se pretvaranja mjernih jedinica za volumen s pomoću sljedeće interakcije.

Uparite jednake volumene.

$10{\mathrm{mm}}^3$	$0.01{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$
$$ 0.1 dm 3	$1\mathrm{dl}$
$10\mathrm{l}$	$0.1{\mathrm{cm}}^3$

null

null

Volumen prizme

Zamislite nastanak prizme na sljedeći način:

• ​Nacrtamo bazu prizme.
• Iz jednog od vrhova povučemo dužinu.
• Translatiramo bazu tako da vrh čija je dužina povučena putuje po toj dužini.

Skup nastalih točaka je prizma.

Nastanak prizme pogledajte u sljedećoj animaciji.

Sad je očito da je svaki presjek prizme ravninom paralelnom s bazom sukladan s bazom prizme.

Prisjetimo se Cavalierijeva principa za tijela:

Ako se dva geometrijska tijela nalaze između dviju paralelnih ravnina i svaka ravnina paralelna tim ravninama siječe tijela tako da presjeci imaju istu površinu, tada tijela imaju jednake volumene. 

Stoga sve prizme jednakih visina i baza jednakih površina imaju isti volumen, odnosno volumen ovisi samo o površini baze i visini prizme.

Ako je površina baze prizme $B,$ a visina prizme $h,$ tada volumen prizme računamo kao umnožak površine baze $B$ i visine prizme $h$ .

$V=B·h$ 

Primjer 1.

Ako je volumen prizme $200{\mathrm{mm}}^3,$ a visina $0.005\mathrm{cm},$ kolika je površina baze prizme?

Iz volumena i visine možemo izračunati bazu. Moramo samo "ujednačiti" mjerne jedinice.

$V=0.2{\mathrm{cm}}^3$

$h=0.005\mathrm{cm}$

$B=\frac{V}{h}=\frac{0.2}{0.005}=40{\mathrm{cm}}^2$

Primjer 2.

Jedna trgovina odlučila je kupiti akvarij u obliku kvadra kako bi uljepšala prostor. Površina na koju žele postaviti akvarij je $2000{\mathrm{cm}}^2.$ Žele akvarij od barem $100\mathrm{l}$ kako bi održavanje bilo lakše.

Koliko visok treba biti akvarij?

Prvo ćemo litre preračunati u ${\mathrm{dm}}^3.$

$V=100\mathrm{l=}\mathrm{100}{\mathrm{dm}}^{\mathrm{3}}$

$B=2000{\mathrm{cm}}^2=20{\mathrm{dm}}^2$

Sad će i visina biti u decimetrima.

$h=\frac{V}{B}=\frac{100}{20}=5\mathrm{dm}$

Visina akvarija bit će pola metra.

Volumen kocke i kvadra

Volumen kocke osnovnog brida $a$ je:

$V=a^3.$

Volumen kvadra čije su dimenzije $a,$ $b$ i $h$ je:

$V=a·b·h$

Primjer 3.

Koliko kocaka brida duljine $2\mathrm{cm}$ stane u kutiju u obliku kvadra dimenzija $20\mathrm{cm}$ puta $10\mathrm{cm}$ i visine $8\mathrm{cm}?$

Da bismo odgovorili na to pitanje, trebamo izračunati volumen kocke i kvadra.

$V_{KOCKE}=a^3=2^3=8{\mathrm{cm}}^3$

$V_{KVADRA}=20·10·8=1600{\mathrm{cm}}^3$

Sad još trebamo podijeliti volumen kvadra s volumenom kocke:

$n=\frac{1600}{8}=200$

Odgovor je: $200$ kocaka.

To je problem koji se pojavljuje kod skladištenja i prijevoza tereta kontejnerima.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Ako se osnovni brid kocke poveća za $10\%,$ koliko je povećanje volumena u postocima?

Rješenje

Povećanje volumena je za $33.1\%.$

---

Zadatak 2.

Kino je dizajniralo dvije vrste vrećica za kokice u obliku kvadra i obje imaju isti volumen - $96$ kubnih mjernih jedinica. Jedna ima dimenzije baze $3$ i $4,$ a druga $4$ i $4$ mjerne jedinice. Izračunajte visinu obiju vrećica. Ako kino želi smanjiti količinu papira za izradu vrećica, koji model treba odabrati?

Rješenje

Visina prve vrećice je $8,$ a druge $6$ mjernih jedinica.

Oplošje bez gornje baze prve vrećice je $124,$ a druge $112$ kvadratnih jedinica.

Kino treba odabrati drugu vrstu vrećica kako bi uštedjelo na papiru.

---

U sljedećoj interakciji uvježbajte računanje oplošja i volumena kvadra različitih dimenzija.

Zatvori

Primjer 4.

Za kraj - mozgalica.

Imamo kocku koja je sastavljena od $125$ manjih kocaka dimenzija $1\times 1\times 1.$ Iz kocke su nakon toga uklonjene manje kocke na način prikazan na slici, i to ne samo vanjske nego i unutarnje, prema istom uzorku.

Koliki je postotak volumena početne kocke ostao nakon što smo uklonili $15$ stupaca?

Rješenje je $54.4\%.$

Objasnite postupak.

Trostrana prizma

Trostrana prizma za bazu ima trokut. Baza može biti raznostraničan, jednakokračan, jednakostraničan i pravokutan trokut.

Volumen trostrane prizme je umnožak površine baze i visine.

$V=B·h$

Površinu baze koja je raznostraničan trokut sa stranicama $a,$ $b$ i $c$ možemo izračunati s pomoću Heronove formule:
$B=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)},$ gdje je $s=\frac{a+b+c}{2}.$

Površinu baze koja je pravokutan trokut s katetama $a$ i $b$ možemo izračunati s pomoću osnovne formule, prema kojoj je površina polovica umnoška stranice i visine na tu stranicu. Katete pravokutnog trokuta međusobno su okomite, tj. jedna drugoj su visina.

$B=\frac{a·b}{2}$

Površinu baze trostrane prizme koja je jednakokračan trokut sa zadanom osnovicom i krakovima računamo s pomoću Pitagorinog poučka.

Prvo računamo visinu trokuta s pomoću osnovice i kraka:

$v=\sqrt{b^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}$

Površina baze je:

$B=\frac{a·v}{2}$

Površinu smo mogli izračunati na isti način preko visine na krak.

Površinu baze koja je jednakostraničan trokut sa zadanom duljinom stranice možemo također izračunati koristeći se Pitagorinim poučkom.

Prvo računamo visinu tokuta:

$v=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Sad možemo izračunati površinu baze:

$B=\frac{a·\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Volumen pravilne trostrane prizme je:

$V=\frac{a^2·\sqrt{3}}{4}·h$

Uvježbajte računanje volumena i oplošja pravilne trostrane prizme u sljedećoj interakciji.

Primjer 5.

Za prizmu čija baza je pravokutan trokut izračunajmo volumen. Kako je baza pravokutan trokut, za računanje površine baze trebamo dvije katete. Imamo jednu katetu i hipotenuzu. Označimo li katetu koju trebamo izračunati s $a,$ imamo:

$a=\sqrt{{13}^2-5^2}=\sqrt{144}=12$

Sad možemo izračunati površinu baze.

$B=\frac{a\times b}{2}=\frac{12\times 5}{2}=30$

Volumen je umnožak baze i visine.

$V=30\times 4=120$

Zadatak 3.

Posudu u obliku prizme s bazom raznostraničnim trokutom želimo upotrijebiti kao dar za rođendan. Posudu ćemo ispuniti čokoladama čiji je volumen $10{\mathrm{cm}}^3.$

Ako baza posude ima stranice duljine $2,$ $5$ i $6\mathrm{cm},$ a visina posude je $15\mathrm{cm},$ koliko čokoladica trebamo kupiti da pripremimo naš poklon?

$s=\frac{2+5+6}{2}=\frac{13}{2}=6.5\mathrm{cm}$

$\begin{array}{l}B=\sqrt{6.5·\left(6.5-2\right)·\left(6.5-5\right)·\left(6.5-6\right)}=\frac{3\sqrt{39}}{4}{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

$V=\frac{3\sqrt{39}}{4}·15=\frac{45\sqrt{39}}{4}{\mathrm{cm}}^3$

U našu posudu stane $7$ čokoladica.

Izračunavanje volumena i oplošja trostrane prizme kojoj je baza raznostraničan trokut uvježbajte u sljedećoj inetrakciji.

Volumen prizmi različitih baza

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Mama je odlučila isprobati novi recept za kolač. Napravila je smjesu i tek tada vidjela da u receptu piše kako kolač treba ispeći u kalupu oblika kvadra dimenzija $20\mathrm{cm}$ puta $15\mathrm{cm}$ i visine $10\mathrm{cm}.$ Ali ona nema takav kalup. Ima samo ovaj koji vidimo na slici.

Je li taj kalup dovoljno velik da u njemu ispeče kolač?

Rješenje

Volumen prve posude je volumen kvadra i iznosi $3000{\mathrm{cm}}^3.$ Druga posuda je prizma kojoj je baza jednakokračni trapez. Njezin volumen je $1500{\mathrm{cm}}^3.$ Mama će kolač morati peći dvaput, jer je volumen njezina kalupa dva puta manji od predviđenog u receptu.

---

Zadatak 5.

Izračunajte volumen šesterostrane pravilne prizme ako je osnovni brid $5\mathrm{m},$ a visina prizme $7\mathrm{m}.$

Rješenje

Šesterokut - bazu prizme možemo podijeliti na šest jednakostraničnih trokuta, čiju površinu možemo izračunati.

Površina baze je:

$B=6·\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3}{2}·5^2·\sqrt{3}=\frac{75\sqrt{3}}{2}{\mathrm{m}}^2$

Sad računamo volumen.

$V=\frac{75\sqrt{3}}{2}·7\approx 454.67{\mathrm{m}}^3$ 

---

Zatvori