9.5 Piramide

Dijelovi piramide

Osnovni dijelovi piramide su baza ( $B$) i vrh ( $V$). Baza je konveksan poligon, a vrh piramide je točka koja leži izvan tog poligona. Pobočke ( $P_1,P_2,...$) su trokuti koji spajaju osnovne bridove baze s vrhom. Broj pobočki jednak je broju osnovnih bridova. Sve pobočke zajedno tvore pobočje piramide. ​

Na slici su dane najčešće oznake kojima se koristimo kod označavanja dijelova piramide.

Zadatak 1.

Dovucite zadane dijelove piramide u tri skupine: strane, bridovi i vrhovi.

 Baza

Pobočni bridovi

Bridovi baze

 Vrh piramide

Pobočke

 Vrhovi baze

 Strane

 Bridovi

 Vrhovi

null

null

Visina piramide je udaljenost vrha piramide $V$ od ravnine baze. Na slici je označena kao dužina $\overline{V{V}_1},$ gdje je $V_1$ ortogonalna projekcija vrha $V$ na ravninu baze.

Rastvorimo li piramidu, možemo uočiti da se njezina mreža sastoji od jedne baze koja je $n$-terokut i plašta koji čini $n$ trokuta.

Vrste piramida

Piramide mogu biti trostrane, četverostrane, peterostrane, šesterostrane...

Trostrane piramide još se zovu i tetraedri.

Ponovno pogledajte prizmu i piramidu kojoj je baza četverokut pa odgovorite koliko kojih elemenata imaju.

Zadatak 2.

Piramide mogu biti uspravne i kose.

Piramida čijoj se bazi može opisati kružnica i nožište visine pada u središte te kružnice naziva se uspravnom piramidom.

Piramida je kosa ako nije uspravna. 

Piramida je pravilna ako joj je baza pravilni mnogokut i ako je uspravna (ortogonalna projekcija vrha na ravninu baze pada u središte opisane kružnice baze).

Zadatak 3.

Odaberi tvrdnje koje se odnose na svaki pravilni $n$-terokut.

Sve stranice su jednakih duljina.

Svi kutovi su jednakih mjera.

Sve dijagonale su jednakih duljina.

Kod pravilnog šesterokuta imamo kraću i dulju dijagonalu. Provjeri skicirajući pravilni šeterokut.

Karakteristični trokuti su jednakostranični trokuti.

Jednakostranični trokuti su samo kod pravilnog trokuta.

null

null

Kod pravilnih mnogokuta središte ustvari čini središte upisane kružnice, središte opisane kružnice, težište  i centar simetrije.

Svi pobočni bridovi pravilne piramide jednakih su duljina.

Pogledamo li pravokutni trokut koji čine polumjer opisane kružnice $r,$ visina piramide $h$ i pobočni brid $b,$ možemo uočiti da vrijedi $b=\sqrt{r^2+h^2}.$

Kako su svi takvi trokuti sukladni (prema teoremu S-K-S, zbog zajedničkih kateta i pravoga kuta), zaključujemo da su tada i svi pobočni bridovi jednakih duljina. ​

Projekt

Na čvršćem papiru (kartonu) konstruirajte jedankostranični trokut, kvadrat, pravilni peterokut, pravilni šesterokut... Konstruirajte središte upisane kružnice i središte opisane kružnice.

Trostrana piramida

Trostrana piramida je najmanji konveksni skup prostora koji sadrži četiri nekomplanarne točke. Ako je baza tetraedra jednakostranični trokut, a ortogonalna projekcija vrha je u središtu opisane kružnice baze, trostrana piramida je pravilna.

Zadatak 4.

Baza trostrane piramide je  . Trostrana piramida ima vrhova,   bridova i strana.

null

null

Primjer 1.

Svi bočni bridovi trostrane piramide s ravninom baze zatvaraju kut od $45°.$ Baza joj je pravokutni trokut s katetom duljine $12$ centimetara i hipotenuzom duljine $20$ centimetara.

Kolike su duljine bočnog brida i visine piramide?

Baza naše piramide je pravokutni trokut.

Poznate su nam duljina jedne katete $a=12\mathrm{cm}$ i hipotenuze $c=20\mathrm{cm}.$ Uz pomoć Pitagorinog poučka lako odredimo duljinu druge katete,

$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{{20}^2-{12}^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16.$

Uočimo sada trokut $ADE.$ I on je pravokutan, s pravim kutom kod vrha $E,$ a kutom od $45°$ kod vrha $A.$

Analogno, i trokuti $BDE$ i $CDE$ su pravokutni, s jednakim kutovima i jednakim duljinama hipotenuze (sva su tri sukladna). Stoga je točka $E$ središte pravokutnom trokutu $ABC$ opisane kružnice.

Kako je poznato da se to središte nalazi na polovištu hipotenuze, zaključujemo da je $\left|\overline{AE}\right|=\left|\overline{EB}\right|=10\mathrm{cm},$ što je ujedno i visina piramide (jednakokračni pravokutni trokut $AED$).

Dakle, $h=10\mathrm{cm}.$

Koristeći se sada trigonometrijom pravokutnog trokuta, bočni brid možemo odrediti iz relacije

​ $\sin 45°=\frac{h}{b_{\mathrm{bm}}}$tj. ​ $b_b=\frac{h}{\sin 45°}=\frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=10\sqrt{2}\mathrm{cm}.$

Zadatak 5.

Kolika je visina trostrane piramide kojoj je baza trokut sa stranicama duljine $13,$ $14$ i $15$ centimetara, a svi su bočni bridovi prema ravnini baze priklonjeni pod kutom od $70°?$

Kolika je visina trostrane piramide kojoj je baza trokut sa stranicama duljine $13,$ $14$ i $15$ centimetara, a sve pobočke su prema ravnini baze priklonjene pod kutom od $70°?$

Četverostrana piramida

Baza četverostane piramide je četverokut (kvadrat, pravokutnik, romb, paralelogram, deltoid i dr.). Ako se radi o kvadratu, a ortogonalna projekcija vrha je u sjecištu dijagonala, piramida je pravilna. Mreža četverostane piramide sastoji se od četverokuta i četiriju trokuta. Kod pravilne piramide sva četiri trokuta koja čine pobočje sukladna su.

Zadatak 6.

Baza četverostrane piramide može biti bilo kakav . Četverostrana piramida ima  vrhova, bridova i   strana.

null

null

Karakteristični trokuti pravilne četverostrane piramide

Primjer 2.

Površina pobočja pravilne četverostrane piramide dva puta je veća od površine njezine baze. Odredimo kut koji zatvaraju pobočke s ravninom baze.

Označimo li duljinu stranice kvadrata slovom $a,$ a visinu pobočke s $v_1,$ iz uvjeta zadatka da je površina pobočja dva puta veća od površine baze slijedi $4·\frac{a·v_1}{2}=2a^2,$ tj ​ $a=v_1.$

U pravokutnom trokutu $△V{V}_{1}G$ imamo $\left|V_{1}G\right|=\frac{a}{2}$ i $\left|VG\right|=v_1=a,$ što možemo povezati trigonometrijskom vrijednosti šiljastog kuta ​ $\cos \alpha =\frac{\frac{a}{2}}{v_1}=\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2},$ iz čega slijedi da je kut $\alpha =60°.$

Zadatak 7.

Odredite visinu pravilne četverostrane piramide kojoj baza ima površinu​ $49{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}},$ a površina dijagonalnog presjeka je $35{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Šesterostrana piramida

Baza šesterostrane piramide je šesterokut, a pobočje se sastoji od šest trokuta. Kod pravilne šesterostrane piramide baza je šesterokut sastavljen od šest jednakostraničnih trokuta, a pobočje se sastoji od šest sukladnih trokuta.

Zadatak 8.

 Baza šesterostrane piramide je . Šesterostrana piramida ima   vrhova,  bridova i  strana.

null

null

Primjer 3.

Površina pobočke pravilne šesterostrane piramide iznosi ​ $12{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}},$ a duljina osnovnog brida baze iznosi ​ $4\mathrm{cm}.$ Koliko iznosi visina piramide?

Pobočka je jednakokračni trokut sa stranicom $a=4\mathrm{cm}$ i visinom $v_1.$

Kako je njezina površina $12{\mathrm{cm}}^2,$ možemo odrediti duljinu visine pobočke $v_1=6\mathrm{cm}.$

Iz pravokutnog trokuta $VID$ možemo odrediti duljinu bočnog brida $b=v12+a22=36+4=40=210\mathrm{cm}.$

Iz pravokutnog trokuta ​ $V{V}_{1}D$ primjenom Pitagorinog poučka možemo odrediti visinu piramide

$h=\sqrt{b^2-a^2}=\sqrt{40-16}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\mathrm{cm}.$

Zadatak 9.

Veći dijagonalni presjek pravilne šesterostrane piramide je jednakostranični trokut s duljinom stranice $6$ centimetara. Odredite visinu te piramide te kut pobočke i ravnine baze.

Kutak za znatiželjne

Trokut je najmanji konveksni skup u ravnini koji sadrži tri nekolinearne točke. Tetraedar je najmanji konveksni skup prostora koji sadrži četiri nekomplanarne točke. Tetraedar je objekt u prostoru analogan trokutu u ravnini.

Svaki konveksni poligon može se rastaviti na konačan broj trokuta. Analogno, svaki konveksni poliedar može se rastaviti na konačan broj tetraedara.

Postoje još mnoge analogije vezane uz trokut i tetraedar. Jedan primjer je Pitagorin poučak. Za pravokutni trokut vrijedi​ $c^2=a^2+b^2,$ dok za pravokutni tetraedar vrijedi ${P_D}^2={P_A}^2+{P_B}^2+{P_C}^2.$ Istražite taj i slične analogone te provjerite njihovu točnost.

Projekt

Svakoj pravilnoj piramidi može se upisati i opisati kugla. Središte tih kugli je težište piramide.  Tu činjenicu je teško pokazati u prostoru (pokušajte), ali analogon u ravnini može se lijepo predočiti. Napravite plakat na kojem ćete konstruirati jednakostranični trokut, kvadrat, pravilni šesterokut ili neki drugi pravilni lik, pa im konstruirajte upisanu i opisanu kružnicu.