7.2 Međusobni položaji pravaca i ravnina u prostoru

Pravci u ravnini

Neka je ravnina u kojoj promatramo pravce crtaća ravnina.

Pravci u ravnini mogu biti:

1. Paralelni (usporedni) pravci, na slici, $p\parallel q$

   • paralelni pravci nemaju zajedničkih točaka

2. Pravci koji se podudaraju, na slici $u=v$

   • pravci koji se podudaraju imaju sve točke zajedničke, oni su isti

3. Pravci koji se sijeku, na slici pravci $m\mathrm{i}n,$ čiji je presjek točka $P$

   • pravci koji se sijeku imaju jednu zajedničku točku
4. Poseban položaj pravaca koji se sijeku su Okomiti pravci, na slici, $q\perp t.$

Otkrijmo kakve međusobne položaje mogu imati tri ravnine.

Kako želimo proučavati međusobne položaje pravaca u prostoru, a ne samo u ravnini, poslužit ćemo se modelom prostora na kvadru.

Pravce ćemo imenovati vrhovima kvadra koji pripadaju zadanom pravcu.

Primjer 1.

U vrhovima kvadra bridovi se, po dva, spajaju pod pravim kutom.

Naveden je primjer za vrh $B:$

$A\mathbf{B}\perp \mathbf{B}C,F\mathbf{B}\mathrm{\perp }\mathbf{B}\mathrm{C}\mathrm{i}A\mathit{B}\mathrm{\perp }\mathbf{B}\mathrm{F}$

Primjer 2.

Nasuprotne strane su paralelni i sukladni pravokutnici, $3$ para sukladnih pravokutnika.

Primjer 3.

Svi nasuprotni bridovi su sukladni i paralelni.

​

Pravci u prostoru koji sadrže bridove kvadra

Primjer 4.

Na modelu prostora zadan je pravac $AB$. Odredimo pravce određene vrhovima kvadra koji su paralelni s pravcem $AB.$

Odredimo odnose među istaknutim pravcima.

S pravcem $AB$ paralelni su pravci $CD,$ $EF$ i $GH$.

Zapisujemo: $AB\parallel DC,AB\parallel EFiAB\parallel GH.$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

U sljedećoj interakciji odredi usporedne (paralelne) pravce određene vrhovima kvadra. Točnost provjerite odabirom gumba Provjerite.

Zadatak 2.

Promotrite sliku i odgovorite.

1. Na slici su istaknuti paralelni pravci.

   

   Da

   Ne

   

   null

   null

2. Na slici su istaknuti paralelni pravci.

   

   Da

   Ne

   

   null

   null

3. Na slici su istaknuti paralelni pravci.

   

   Da

   Ne

   

   null

   null

4. Na slici su istaknuti paralelni pravci.

   

   Da

   Ne

   

   null

   null

Zatvori

Primjer 5.

Na modelu prostora zadan je pravac $AB$.

Odredimo pravce određene vrhovima kvadra koji su okomiti na pravac $AB.$

Tražimo pravce koji sijeku pravac $AB$ i okomiti su na njega.

To su dva pravca, $AE$ i $BF.$

Zadatak 3.

Promotrite sliku i odgovorite.

Pravci u prostoru koji ne sadrže bridove kvadra

Kada su pravci određeni susjednim vrhovima kvadra, relativno je lako odrediti usporednost ili okomitost.

Promatrat ćemo odnose među pravcima kada nisu oba zadana susjednim vrhovima kvadra.

Primjer 6.

Promotrimo pravce $AC$ i $EG.$ Ti pravci su primjer para pravaca određenih nesusjednim (nasuprotnim) vrhovima kvadra. Prema slici, pravci $AC\mathrm{i}EG$ su paralelni; $AC\parallel EG.$

Primjer 7.

Promotrimo par pravaca $AE$ i $EG.$ Prema slici pravci $AE\mathrm{i}EG$ su okomiti; $AE\perp EG.$ ​

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

U sljedećoj interakciji odredite okomite pravce. Ispravnost provjeri odabirom gumba Provjerite.

Zadatak 5.

Riješite kviz o paralelnosti i okomitosti pravaca.

1. Ispišite sve pravce određene vrhovima kvadra paralelne s istaknutim pravcem $GB.$

   

   $HA$

    

   

   null

   null

2. Odaberite par pravaca određenih vrhovima kvadra okomite na istaknuti pravac $AH.$

   

   $AE\mathrm{i}HD$  ​

   $FE\mathrm{i}DC$  ​

   $AB\mathrm{i}HG$  ​

   

   null

   null

3. Pravci određeni vrhovima kvadra okomiti na pravac $ED$ su pravci:

   

   $HD$

   $EF$ 

   $AE$

   $DC$

   

   null

   null

4. Pravci određeni vrhovima kvadra paralelni s pravcem $DG$ su pravci:

   

   $EG$

   $HA$

   $CA$​

   $FA$

   

   null

   null

Zatvori

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 6.

Na modelu kocke odredite sve pravce određene vrhovima te kocke okomite na istaknuti pravac $FC.$

Rješenje

Prema slici, pravci okomiti na pravac $FC$ su pravci $EF$ i $DC.$

---

Zadatak 7.

Jesu li pravci $FD$ i $HB$ na modelu kocke međusobno okomiti? Obrazložite.

Rješenje

Otkrijmo kakve međusobne položaje mogu imati tri ravnine.

Prema slici, istaknuti lik je pravokutnik jer su $\overline{FB}\perp \overline{BD}$ i $\overline{HD}\perp \overline{BD}$ te su $\overline{FB}\cong \overline{HD}.$

Dužine $\overline{HF}$ i $\overline{DB}$ su dijagonale kvadrata i nikako ne mogu biti jednake duljine kao $\overline{FB}\mathrm{i}\overline{HD}$ koje su stranice kvadrata.

Pravci $FD$ i $HB$ sadrže dijagonale tog pravokutnika, a dijagonale pravokutnika nisu međusobno okomite. ​

---

Zatvori

Međusobni položaji pravca i ravnine u prostoru

Promotrimo međusobne položaje istaknutih pravaca s ravninom $ABC$ na modelu prostora.

Pravac i ravnina mogu biti:

1. Pravac pripada ravnini, na slici $AC,AB,AD\in ABC$

   • zajedničke točke pravca i ravnine kojoj pravac pripada su sve točke tog pravca​

2. Pravac i ravnina se sijeku, na slici ravnina i pravac $ABC\mathrm{i}AG,$ čiji je presjek točka $A$

   • poseban položaj ravnine i pravca koji se sijeku, okomitost ravnine i pravca na slici, $ABC$​ i $AE$​
   • pravac i ravnina koji se sijeku imaju jednu zajedničku točku ​

3. Pravac i ravnina su paralelni, na slici, $ABC\parallel EG,ABC\parallel EF,ABC\parallel EH$
   

   • paralelni pravac i ravnina nemaju zajedničkih točaka.

Paralelnost (usporednost) pravca i ravnine

Primjer 8.

Odredimo na modelu prostora sve pravce određene vrhovima kvadra paralelne s ravninom $ABC$.

Pravci određeni vrhovima kvadra paralelni s ravninom $ABC$ su:

$EF,$ $FG,$ $GH,$ $HE,$ $EG$ i $FH.$

Zadatak 8.

U sljedećem kvizu uvježbajte uočavati pravce paralelne sa zadanom ravninom.

Presjek pravca i ravnine

Promotrimo na modelu prostora pravac $AG$ i ravninu $ABC$.

Pravac $AG$ i ravnina $ABC$ imaju jednu zajedničku točku, točku $A$.

Zajednička točka pravca i ravnine je mjesto presjeka pravca i ravnine.

Tu točku nazivamo probodište.

Točka $A$ je probodište pravca $AG$ i ravnine $ABC$.

Zadatak 9.

U sljedećem zadatku uvježbajte određivanje probodišta pravca i ravnine.

Pripadnost pravca ravnini

Znamo:

• pravac je određen sa svoje bilo koje dvije točke. ​
• ravnina je određena sa svoje bilo koje tri nekolinearne točke.

Proučimo pravce i ravninu određene vrhovima kvadra koji predstavlja model prostora.

Ravnini $ABC$ pripada šest pravaca određenih vrhovima kvadra: $AB,$ $BC,$ $CD,$ $DA,$ $AC$ i $BD.$

Svi su oni određeni vrhovima kvadra koji pripadaju ravnini $ABC.$

Zadatak 10.

Ispitajte odnose pravca i ravnine.

Mimoilazni ili mimosmjerni pravci

Primjer 9.

Na modelima prostora istaknuta su po dva pravca.

Na prvom modelu pravci se sijeku, na drugom se sijeku pod pravim kutom (međusobno su okomiti), a na trećem međusobno paralelni.

Što je zajedničko parovima pravaca?

Oba pravca na svakom modelu, bez obzira na međusobni položaj, pripadaju istoj ravini.

Primjer 10.

Promotrimo pravce na slici.

Možemo li odrediti takvu ravninu da joj oba istovremeno pripadaju?

Pravac $EF$ pripada ravninama $ABF$ i $EFG,$ na slici obojene žutim nijansama.

Pravac $BC$ pripada ravninama $ABC$ i $BCG,$ na slici obojene zelenim nijansama.

Pravci $EF$ i $BC$ ne pripadaju istoj ravnini.

Oni se:

• ​ne sijeku
• nemaju zajedničkih točaka
• nisu međusobno okomiti
• nisu međusobno paralelni.

Za pravce $EF$ i $BC$ kažemo da su  su mimoilazni ili mimosmjerni .

Zadatak 11.

Odredite mimoilazne pravce.

Zadatak 12.

Odredite međusobne položaje zadanih pravaca u prostoru na modelu kvadra.

Međusobni položaji ravnina u prostoru

Uočimo međusobne položaje:

• ravnina krovova

Ravnine su krovova, istaknute crveno, paralelne.

• ravnina zidova​

Ravnine se zidova, istaknute žuto, sijeku.

Dvije ravnine u prostoru mogu biti:

1. Paralelne ravnine

   • usporedne ravnine nemaju zajedničkih točaka​

2. Ravnine koje se sijeku

   • posebni položaj ravnina koje se sijeku su međusobno okomite ravnine

3. Ravnine koje se podudaraju

   • ravnine koje se podudaraju imaju sve točke zajedničke.​

Primjer 11.

Uočimo i zapišimo međusobno paralelne ravnine na modelu prostora.

Ravnine​ $ABC\mathrm{i} EFG$  paralelne su, $ABC\parallel EFG.$

Ravnine $ADH\mathrm{i}BCG$  paralelne su, $ADH\parallel BCG.$

Ravnine​ $ABF\mathrm{i}DCG$ paralelne su, $ABF\parallel DCG.$

Paralelne ravnine: Paralelne ravnine nemaju zajedničkih točaka.

Zadatak 13.

Otkrijte Paralelne (usporedne) ravnine.

Primjer 12.

Uočimo parove ravnina $BCG\mathrm{i}EFG$ te $ADH\mathrm{i}DBF$ na modelima prostora.

Oba se para ravnina sijeku.

Ravnine $BCG\mathrm{i}EFG$  sijeku se pod pravim kutom, $BCG\perp EFG$​.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 14.

Otkrijte međusobno okomite ravnine.

Zadatak 15.

Odredite međusobne položaje ravnina u prostoru.

1. Ravnine $BFG$ i $ADH$
   

   

   
   

    

   , a ravnine $BFG$ i $ADG$ 

    

    .

    se sijeku

   su paralelne

   

   null

   null

2. Zadana je ravnina $EHD.$ Ravnine određene vrhovima kvadra koje sijeku zadanu ravninu su

   

   $ABF$

   $EFG$

   $HGC$

   $BCG$

   $ABC$

   

   null

   null
3. Ravnina paralelna s ravninom $DCG$ je
   

   

    .

   

   null

   null
4. Istaknuta ravnina siječe se sa
   

   

    ravnina određenih vrhovima kvadra.

   

   null

   null
5. Ravnina $CHE$ okomita je na
   

   

   3 10 5 4 6 2 ravnine, siječe se sa 4 3 1 2 50 6 ravnina, a paralelna je s 1 4 20 6 5 3 ravnina određenih vrhovima kvadra.

   

   null

   null

Zadatak 16.

Odredite sve ravnine određene vrhovima kvadra koje sijeku ravninu $ABG$.

Rješenje

Ravnine koje sijeku ravninu $ABG$ su: $BCG,$ $BCD,$ $ADH,$ $DCG,$ $EFG$ i $ABF.$

---

Zatvori

Presjek dviju ravnina

Primjer 13.

Promotrimo istaknute ravnine na modelu prostora.

Ravnine se $ABF$ i $FBC$ na slici sijeku.

Odredimo što je presjek tih dviju ravnina.

Presjek ravnina $ABF$ i $FBC$ je pravac $BF.$

Presjek je dviju ravnina pravac.

Primjena znanja o međusobnim položajima pravaca i ravnina u prostoru

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 17.

Na slici je tetraedar. Ima četiri vrha. Ispišite mimoilazne pravce određene njegovim vrhovima.

Rješenje

Mimoilazni su pravci:

$AB$ i $CD$

$BC$ i $AD$

$BD$ i $AC.$

---

Zadatak 18.

Na slici je toranj.

Na tornju su dva sata. Prikazan je jedan.

Satovi pripadaju paralelnim ravninama zidova.

Jedna vrata i jedan prozor pripadaju različitim ravninama zidova okomitim na ravnine gdje su satovi.

Odredite ravninu zida gdje su vrata i ravninu zida gdje je drugi sat.

Rješenje

Ravnina je zida gdje su vrata $ADH.$

Ravnina je zida gdje je drugi sat $DCG.$

---

Zadatak 19.

Opišite što je na slici model:

• mimoilaznosti
• paralelnost pravaca
• okomitosti pravaca
• okomitosti pravca i ravnine.

Rješenje

• mimoilaznost pravaca - žice za struju s različitih nizova stupova, tok rijeke i most preko rijeke
• usporednost pravaca - žice koje povezuju stupove međusobno su usporedne, rubovi ceste
• okomitost pravaca - žica za struju i stup za struju
• okomitost pravca i ravnine - stup za struju i tlo

---

Zatvori

Projekt

 Pokušaj nacrtati nemogući trokut.

Zadatak 20.

Odredite presjek istaknutih ravnina na slici.

Presjek je pravac $EC.$