7.4 Ortogonalna projekcija

Okomitost pravca i ravnine

Naučili ste da je pravac okomit na ravninu ako probada ravninu i ako je okomit na pravce te ravnine koji prolaze probodištem.

Podsjetimo se:

Za model prostora koristimo kvadar ili kocku.

Kvadar je geometrijsko tijelo omeđeno s tri para međusobno sukladnih pravokutnika.

Kocka je geometrijsko tijelo omeđeno sa šest međusobno sukladnih kvadrata.

Točke $A$, $B$, $C$, $D$, $E,$ $F,$ $G$ i $H$ vrhovi su kvadra (kocke)  $ABCDEFGH$.

Dužine $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ $\overline{DA},$ $\overline{EF},$ $\overline{FG},$ $\overline{GH},$ $\overline{HE},$ $\overline{AE},$ $\overline{BF},$ $\overline{CG}$ i $\overline{DH}$ bridovi su kvadra (kocke).

Pravokutnici (kvadrati)  $ABCD,$ $EFGH$, $BCGF$, $ADHE,$ $ABFE$ i $DCGH$ strane su kvadra (kocke).

Plošna je dijagonala kvadra (kocke) dužina koja spaja dva vrha koja pripadaju istoj strani.

Prostorna je dijagonala kvadra (kocke) dužina koja spaja dva vrha koja ne pripadaju istoj strani.

Zadatak 1.

Ortogonalna projekcija točke na pravac

Promotrimo u ravnini pravac $p$ i točku $T$ koja ne pripada tom pravcu.

Postoji beskonačno mnogo dužina čija je jedna rubna točka $T$, a druga rubna točka neka točka pravca $p.$

Među nacrtanim dužinama ističe se dužina čija je druga rubna točka točka $D$. Ta je točka presjek pravca $p$ i okomice točkom $T$ na pravac $p$.

Točku $D$ zovemo nožište okomice, ali i ortogonalna projekcija točke $T$ na pravac $p$ i najčešće je označavamo $T\text{'}.$

Ortogonalna projekcija točke $T$ na pravac $p$ je presjek pravca $p$ i okomice točkom $T$ na pravac $p$.

Kutak za znatiželjne

Uočite na slici trokute $ADT$, $BDT$, $CDT$ i $EDT$. Svi su ti trokuti pravokutni i imaju zajedničku katetu $\overline{DT}.$ Dužine $\overline{AT},$ $\overline{BT},$ $\overline{CT}$ i $\overline{ET}$ hipotenuze su navedenih trokuta. Budući da se hipotenuza u pravokutnom trokutu nalazi nasuprot najvećeg (pravog) kuta, ona je najdulja stranica tog trokuta.

Zaključujemo da je $\left|TD\right|<\left|TA\right|,$ $\left|TD\right|<\left|TB\right|,$ $\left|TD\right|<\left|TC\right|$ i $\left|TD\right|<\left|TE\right|.$ Dakle, duljina okomice $\overline{DT}$ najmanja je udaljenost točke $T$ od pravca $p$.​

Udaljenost točke $T$ od pravca $p$ je udaljenost točke $T$ od njezine ortogonalne projekcije $T\text{'}$ na pravac $p$. Pišemo $d\left(T,p\right)=\left|TT\text{'}\right|$.

Ortogonalna projekcija točke na ravninu

Zadatak 2.

Duje se spušta niz brdo i želi pomoću Walkie-talkiea kontaktirati Renata koji se nalazi na vrhu drugog brda. Kako bi prijem bio što bolji, trebaju se nalaziti na najmanjoj razdaljini. Na kojem mjestu Duje treba kontaktirati Renata?

Zamislimo vrh planine kao točku, a padinu brda kao ravninu. Trebamo pronaći najkraću udaljenost točke od ravnine tj. ortogonalnu projekciju točke na ravninu. Duje bi trebao doći do točke označene slovom $D$ te tamo kontaktirati Renata.

Promotrimo ravninu $R$ i točku $T$ koja ne pripada toj ravnini (nalazi se izvan ravnine). Točkom $T$ prolazi beskonačno mnogo pravaca koji probadaju ravninu $R$ , no samo je jedan od tih pravaca okomit na promatranu ravninu. Pravac $TS$ probada ravninu $R$ u točki $S$ i okomit je na pravce $PS$, $QS$ i $VS$ koji prolaze probodištem. Dakle, pravac $TS$ okomit je na ravninu $R$ .

Kutak za znatiželjne

Uočite na slici trokute $TSP,$ $TSQ$ i $TSR.$ Svi su ti trokuti pravokutni i imaju zajedničku katetu $\overline{TS}.$ Dužine $\overline{TP},$ $\overline{TQ}$ i $\overline{TR}$ hipotenuze su navedenih trokuta. Budući da se hipotenuza u pravokutnom trokutu nalazi nasuprot najvećeg (pravog) kuta, ona je najdulja stranica tog trokuta. Zaključujemo da je $\left|TS\right|<\left|TP\right|$, $\left|TS\right|<\left|TQ\right|$ i $\left|TS\right|<\left|TR\right|$.

Dakle, duljina okomice $\overline{TS}$ najmanja je udaljenost točke $T$ od promatrane ravnine.​

Zadatak 3.

Odredite ortogonalnu projekciju točke na ravninu. Pritom koristite alate za konstrukciju okomice na ravninu kroz zadanu točku (nakon što odaberete alat, kliknite na točku, a zatim na ravninu), konstrukciju sjecišta pravca i ravnine (nakon što odaberete alat kliknite na pravac, a zatim na ravninu) te rotaciju prikazane ravnine. Ako točka pripada ravnini, preslikat će se ortogonalnom projekcijom u samu sebe.

Udaljenost točke $T$ od ravnine $R$ definiramo kao udaljenost točke $T$ od njezine ortogonalne projekcije $T\text{'}$ na ravninu. Pišemo $d\left(T,R\right)=\left|TT\text{'}\right|.$​

Primjer 1.

Nacrtan je kvadar $ABCDEFGH$ i istaknuta ravnina $ABC$. Odredimo ortogonalnu projekciju točaka $G$ i $A$ na ravninu $ABC.$

Točkom $G$ nacrtamo okomicu na ravninu $ABC$. Taj pravac probada ravninu $ABC$ u točki $C$. Zato je točka $C$ ortogonalna projekcija točke $G$ na ravninu $ABC.$ Pišemo $G\text{'}\equiv C$.

Točkom $A$ nacrtamo okomicu na ravninu $ABC.$ Budući da točka $A$ pripada ravnini $ABC$, ta okomica probada ravninu $ABC$ upravo u točki $A$. Zato je točka $A$ sama svoja ortogonalna projekcija na ravninu $ABC.$ Pišemo $A\text{'}\equiv A.$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 4.

Koristeći kvadar $ABCDEFGH$ kao model, odredite ortogonalnu projekciju točke $F$ na ravninu:        

a. $ABC$   

Rješenje

a. Okomica točkom $F$ na ravninu $ABC$ probada tu ravninu u točki $B.$ Zato je $F\text{'}\equiv B$.

Točku $B$ zovemo tlocrt točke $F.$

---

b. $CDH$  

Rješenje

b. Okomica točkom $F$ na ravninu $CDH$ probada tu ravninu u točki $G.$ Zato je $F\text{'}\equiv G$.

Točku $G$ zovemo nacrt točke $F.$

---

c. $ADH.$

Rješenje

c. Okomica točkom $F$ na ravninu $ADH$ probada tu ravninu u točki $E.$ Zato je $F\text{'}\equiv E$.

Točku $E$ zovemo bokocrt točke $F.$

---

Zadatak 5.

Riješite zadatke koristeći kao model prostora kvadar $ABCDEFGH.$

1. Koja je točka ortogonalna projekcija točke $D$ na ravninu $EFG?$

    Točka $A.$

    Točka $C.$

    Točka $D.$

    Točka $H.$

   

   null

   null

2. Odredite ortogonalnu projekciju točke $C$ na ravnine određene stranama kvadra i spojite odgovarajuće parove.
   

   Ortogonalna je projekcija točke $C$ na ravninu $ADH$	točka $B.$
   Ortogonalna je projekcija točke $C$ na ravninu $ABC$	točka $G.$
   Ortogonalna je projekcija točke $C$ na ravninu $EFG$	točka $D$.
   Ortogonalna je projekcija točke $C$ na ravninu $ABF$	točka $C$.

   

   null

   null

3. Ortogonalna projekcija $T\text{'}$ točke $T$ koja pripada ravnini projekcije podudara se s točkom $T.$
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

Zatvori

Ortogonalna projekcija dužine i pravca

Kako odrediti ortogonalnu projekciju neke dužine ili pravca na zadanu ravninu?

Budući da je dužina zadana svojim rubnim točkama, ortogonalna projekcija dužine određena je ortogonalnim projekcijama njezinih rubnih točaka. Pri određivanju ortogonalne projekcije pravca morat ćemo odabrati bilo koje dvije točke tog pravca te odrediti ortogonalne projekcije odabranih točaka. Promotrimo primjere na modelu kvadra.

Primjer 2.

Koristeći kvadar $ABCDEFGH$ kao model, istaknimo ravninu $ABC$ pa odredimo ortogonalnu projekciju na ravninu $ABC$ za dužine:

  $\overline{HF}$

Pri određivanju ortogonalne projekcije dužine prvo moramo odrediti ortogonalne projekcije njezinih rubnih točaka.

Budući da je $H\text{'}\equiv D$ i $F\text{'}\equiv B,$ zaključujemo da je ortogonalna projekcija dužine $\overline{HF}$ na ravninu $ABC$ dužina $\overline{DB}$.

  $\overline{ED}$

Zbog  $E\text{'}\equiv A$ i $D\text{'}\equiv D$ zaključujemo da je ortogonalna projekcija dužine $\overline{ED}$ na ravninu $ABC$ dužina $\overline{AD}$.​

  $\overline{GC}$

Zbog $G\text{'}\equiv C$ i $C\text{'}\equiv C$ zaključujemo da je ortogonalna projekcija dužine $\overline{GC}$ na ravninu $ABC$ točka $C.$

te pravca $EC$ na ravninu $ABC.$

Zbog $E\text{'}\equiv A$ i $C\text{'}\equiv C$ vrijedi da je ortogonalna projekcija pravca $EC$ na ravninu $ABC$ pravac $AC$.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Koristeći interakciju promotrite ortogonalnu projekciju pravca na ravninu. Rotacijom mijenjajte položaj pravca u odnosu na ravninu.

Zadatak 7.

Pomoću interakcije prikažite ortogonalnu projekciju zadane dužine na prikazanu ravninu. Pritom koristite ponuđene alate (crtanje točke, crtanje dužine, crtanje okomitog pravca, crtanje sjecišta te rotacije).

Zadatak 8.

Riješite zadatke koristeći kao model prostora kvadar $ABCDEFGH.$

1. Ortogonalna je projekcija dužine $\overline{AD}$ na ravninu $EFG$ dužina $\overline{ED}$.
   

   Da

   Ne

   

   Pomoć:

   $A\text{'}\equiv E,$ $D\text{'}\equiv H$ 

   null

2. Što je ortogonalna projekcija dužine $\overline{AG}$ na ravninu $ABC?$

    Dužina $\overline{AB}.$

    Dužina $\overline{AC}.$

    Dužina $\overline{BC}.$

    Dužina $\overline{AD}.$

   

   null

3. Spojite parove i dovršite rečenice.
   

   Ortogonalna je projekcija dužine $\overline{BE}$ na ravninu $ABC$	dužina $\overline{AB}.$
   Ortogonalna je projekcija pravca $DF$ na ravninu $ADH$	točka $G$.
   Ortogonalna je projekcija pravca $FG$ na ravninu $CDH$	dužina $\overline{HG}$.
   Ortogonalna je projekcija dužine $\overline{EG}$ na ravninu $CDH$	pravac $DE.$
   Ortogonalna je projekcija dužine $\overline{AB}$ na ravninu $DHE$	točka $A$.

   

   null
4. Ortogonalna je projekcija pravca $CF$ na ravninu $ABC$ točka C točka B dužina CB pravac CB , a ortogonalna je projekcija pravca $CF$ na ravninu $ADH$ točka D točka E dužina DE pravac DE .

   

   null

Zatvori

Duljina ortogonalne projekcije (dužine)

Rješavajući prethodne primjere i zadatke, mogli ste primijetiti da je ortogonalna projekcija dužine na ravninu (stranu kvadra) dužina iste duljine ili dužina kraća od početne dužine ili da je ortogonalna projekcija dužine točka. Što utječe na to?

Primjer 3.

Odredimo ortogonalnu projekciju dužine $\overline{EG}$ na ravnine $ABC,$ odnosno $CDH$.

Ortogonalna je projekcija dužine $\overline{EG}$ na ravninu $ABC$ dužina $\overline{AC}$.

Te dvije dužine pripadaju paralelnim ravninama (plošne dijagonale nasuprotnih strana kvadra $ABCDEFGH$) i jednake su duljine.

Primjer 4.

Usporedimo duljine ortogonalnih projekcija dužine $\overline{EG}$ na ravnine $ABC,$ odnosno $CDH$ i duljinu dužine $\overline{EG}.$

Ortogonalna je projekcija dužine $\overline{EG}$ na ravninu $CDH$ dužina $\overline{HG}$.

Te dvije dužine pripadaju istoj strani kvadra, pri čemu je dužina $\overline{EG}$ plošna dijagonala, a dužina $\overline{HG}$ brid kvadra. Dužina $\overline{HG}$ kraća je od početne dužine $\overline{EG}$.

 

Ako je dužina paralelna s ravninom projekcije, njezina je ortogonalna projekcija dužina jednake duljine.

Ako je dužina okomita na ravninu projekcije, njezina je ortogonalna projekcija točka (probodište okomice točkom na ravninu projekcije i ravnine projekcije).

Ako dužina nije paralelna s ravninom projekcije i nije okomita na ravninu projekcije, onda je njezina ortogonalna projekcija dužina koja je kraća od početne dužine.

Primjer 5.

Duljine su bridova kvadra $ABCDEFGH$  $\left|AB\right|=8\mathrm{cm},$ $\left|BC\right|=6\mathrm{cm}$ i $\left|CG\right|=7.5\mathrm{cm}.$ Odredimo duljinu ortogonalne projekcije dužine $\overline{EG}$ na ravninu:

1. $ABC$
2. $BCG$
3. $CDH$.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Duljine su bridova kvadra $ABCDEFGH$ $\left|AB\right|=6\mathrm{cm},$ $\left|BC\right|=2\mathrm{cm}$ i $\left|CG\right|=4\mathrm{cm}.$ Odredimo duljinu ortogonalne projekcije dužine $\overline{DF}$ na ravninu:

1. $ABC$
2. $BCG$
3. $CDH$.

Rješenje

1. Ortogonalna je projekcija dužine $\overline{DF}$ na ravninu $ABC$ dužina $\overline{DB}.$ Dužina $\overline{DB}$ plošna je dijagonala strane $ABCD$. Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut $ABD$ dobivamo da je duljina dužine $\overline{DB}$ jednaka $\sqrt{40}\mathrm{cm},$ što iznosi približno $6.3\mathrm{cm}.$
2. Ortogonalna je projekcija dužine $\overline{DF}$ na ravninu $BCG$ dužina $\overline{CF}.$ Dužina $\overline{CF}$ plošna je dijagonala strane $BCGH$. Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut $BCF$ dobivamo da je duljina dužine $\overline{CF}$ jednaka $\sqrt{20}\mathrm{cm},$ što iznosi približno $4.5\mathrm{cm}.$
3. Ortogonalna je projekcija dužine $\overline{DF}$ na ravninu $CDH$ dužina $\overline{DG}.$ Dužina $\overline{DG}$ plošna je dijagonala strane $DCGH.$ Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut $DCG$ dobivamo da je duljina dužine $\overline{DG}$ jednaka $\sqrt{52}\mathrm{cm},$ što iznosi približno $7.2\mathrm{cm}.$
   

---

Zadatak 10.

Riješite zadatke koristeći kao model prostora kvadar $ABCDEFGH.$

1. Ortogonalna projekcija vrha kvadra na neku od ravnina kojima pripadaju strane kvadra može biti taj isti vrh.
   

   Da

   Ne

   

   Pomoć:

   Ortogonalna projekcije točke koja pripada ravnini projekcije je sama ta točka.

   
   

   null

2. Ortogonalna projekcija dužine uvijek je dužina čija je duljina jednaka duljini zadane dužine.
   

   Da

   Ne

   

   Pomoć:

   Duljina ortogonalne projekcije dužine ovisi o položaju te dužine prema ravnini projekcije.
   

   null

3. Ortogonalna projekcija pravca uvijek je pravac.
   

   Da

   Ne

   

   Pomoć:

   Ako je pravac okomit na ravninu projekcije, njegova je ortogonalna projekcija točka (probodište).
   

   null
4. Ako je dužina okomita na ravninu projekcije, njezina je ortogonalna projekcija na tu ravninu , a ako je ravnina paralelna s ravninom projekcije, njezina je ortogonalna projekcija na tu ravninu  .

   

   null

Zatvori

Ortogonalna projekcija u realnom svijetu

Arhitekti, inženjeri građevine i strojarstva, geodeti i druga srodna zanimanja u svom poslu često koriste (tehničke) crteže nastale prema pravilima ortogonalne (i kose) projekcije.

Zadatak 11.

Točka $P$ polovište je brida $\overline{AE},$ a točka  $R$ polovište brida $\overline{CD}$ kocke $ABCDEFGH.$ Duljina je brida kocke $6\mathrm{cm}.$ Odredi duljinu ortogonalne projekcije dužine $\overline{PR}$ na ravninu $ABC$.

Za bolju vizualizaciju dužina određenih polovištima bridova kocke, dužinom spojite zadane točke. Koristite alat za crtanje dužina.

Ortogonalna je projekcija dužine $\overline{PR}$ na ravninu $ABC$ dužina $\overline{AR}.$

Duljinu dužine $\overline{AR}$ računamo primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut $ARD.$

Iz $x^2=6^2+3^2=36+9=45$ slijedi $x=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\approx 6.7\mathrm{cm}.$

Kutak za znatiželjne

Je li ortogonalna projekcija kocke uvijek kvadrat? Kako izgledaju ortogonalne projekcije tetraedra?