7.3 Okomitost pravaca i ravnina u prostoru

Položaj dvaju pravaca u ravnini

Dva pravca u ravnini mogu se podudarati (imati sve zajedničke točke), biti međusobno paralelni (nemati zajedničkih točaka) ili se sjeći (biti ukršteni, imati jednu zajedničku točku). Poseban su slučaj ukrštenih pravaca pravci koji su međusobno okomiti.

 ​

Položaj dvaju pravaca u prostoru

Za dva pravca u prostoru kažemo da su međusobno paralelni (usporedni) ako pripadaju istoj ravnini i nemaju zajedničkih točaka.

Za dva pravca u prostoru kažemo da su međusobno ukršteni ili da se sijeku ako pripadaju istoj ravnini i imaju jednu zajedničku točku.

Za dva pravca u prostoru kažemo da su međusobno mimosmjerni ili mimoilazni ako nemaju zajedničkih točaka i ako ne postoji ravnina koja te pravce sadrži.

U kakvom položaju mogu biti dva pravca u prostoru?

Da bismo odgovorili na ovo pitanje često ćemo se služiti modelom kvadra.

Zadatak 1.

1. Promotrite slike pa svakom opisu pridružite oznaku (slovo) navedeno uz sliku.
   

   

   Istaknuti se pravci sijeku, ali nisu okomiti.	$c$
   Istaknuti su pravci međusobno okomiti.	$d$
   Istaknuti su pravci mimosmjerni.	$b$
   Istaknuti su pravci međusobno paralelni.	$a$

   

   null

   null

2. Razvrstajte pravce određene vrhovima kvadra $ABCDEFGH$ prema njihovu položaju u odnosu na pravac $DH.$

   

   
   

   $BD$

   $CG$

   $AF$

   $BE$

   $GH$

   $AH$

   $EG$

   $BF$

   $CF$

   $HB$

   $AE$

   Paralelni s pravcem $DH$

   Sijeku pravac $DH$

   Mimosmjerni pravcu $DH$

   

    
   

   null

3. Na slici je kvadar $ABCDEFGH$ i na kvadru istaknut pravac $BD$. Spojite parove pravca i njegova položaja s obzirom na istaknuti pravac.

   

   pravac $HF$	mimosmjeran s pravcem $BD$
   pravac $GD$	siječe pravac $DB$ u točki $B$
   pravac $EG$	siječe pravac $DB$ u točki $D$
   pravac $BH$	paralelan s pravcem $DB$

   

    
   

Okomitost pravca na ravninu

Ako pravac i ravnina imaju dvije zajedničke točke, onda taj pravac pripada ravnini.

Ako pravac i ravnina nemaju zajedničkih točaka, onda je taj pravac paralelan s ravninom.

Ako pravac i ravnina imaju jednu zajedničku točku, onda kažemo da taj pravac probada ravninu.

Točku u kojoj pravac probada ravninu nazivamo probodištem.

Primjer 1.

1. Pravac $AE$ probada ravninu $ABC$ u točki $A$.
2. Pravac $AE$ pripada ravnini (koju određuje pravokutnik) $ABF$ pa je $AE$ okomit na $AB$.
3. Pravac $AE$ pripada ravnini (koju određuje pravokutnik) $ADH$ pa je $AE$ okomit na $AD.$
4. Pravac $AE$ pripada ravnini (koju određuje pravokutnik) $ACG$ pa je $AE$ okomit na $AC.$

Pravci $AB$, $AD$ i $AC$ pripadaju ravnini $ABC$ , a pravac $AE$ okomit je na svakoga od njih.

Dakle, pravac $AE$ okomit je na ravninu $ABC$.

Pri vizualizaciji položaja pravca i ravnine u prostoru pomoći će vam sljedeća animacija.

Okomitost dviju ravnina

Zadatak 6.

Koliko zajedničkih točaka mogu imati dvije (različite) ravnine u prostoru? Promotrite model kvadra i riješite sljedeće zadatke.

1. Koliko zajedničkih točaka imaju ravnine $BCG$ i $ADH$?
   

   Ni jednu.

   Jednu.

   Dvije.

   Beskonačno mnogo.

   

   Pomoć:

   

    

   
   

    
   

2. Koliko zajedničkih točaka imaju ravnine $ABF$ i $ABG$?
   

   Ni jednu.

   Jednu.

   Dvije.

   Beskonačno mnogo.

   

   Pomoć:

   

    ​

   Postupak:

   Ravnine imaju beskonačno mnogo zajedničkih točaka jer imaju zajednički pravac.
   

Ako dvije ravnine nemaju zajedničkih točaka, onda su te ravnine međusobno paralelne.

Primjer 2.

Parovi ravnina kojima pripadaju nasuprotne strane kvadra (kocke) međusobno su paralelne.

Ako dvije ravnine imaju dvije zajedničke točke, onda im je zajednički pravac koji je određen tim točkama. Kažemo da se te dvije ravnine sijeku po pravcu.

Taj pravac nazivamo presječnicom ravnina.

Primjer 3.

Ravnine $ABF$ i $ABG$ sijeku se po pravcu $AB.$

Pravac $AB$ je presječnica ravnina $ABF$ i $ABG$ .

Primjer 4.

Zadan je kvadar $ABCDEFGH.$ U kakvu su položaju ravnine:

1. $BCH$ i $EFG$
2. $ABG$ i $BCG$
3. $BCH$ i $ADG$
4. $ABF$ i $BCG?$

Rješenje

---

Posljednji se zadatak od prethodna tri razlikuje po tome što ravninama $ABF$ i $BCG$ pripadaju dvije susjedne strane kvadra, tj. one su međusobno okomite.

Uočite na slici pravac $AB$. Taj pravac pripada ravnini $ABF$ i probada ravninu $BCG$ u točki $B$. Pravac $AB$ okomit je na pravac $BF$ koji pripada ravnini $BCG$ te je okomit na ravninu $BCG$ .

Uočite i pravac $BC$. Taj pravac pripada ravnini $BCG$ i probada ravninu $ABF$ u točki $B$ . Pravac $BC$ je okomit na pravac $BF$ koji pripada ravnini $ABF$ te je okomit na ravninu $ABF$.

Ako se dvije ravnine sijeku po pravcu i ako u jednoj ravnini postoji pravac okomit na drugu ravninu, onda kažemo da su te ravnine međusobno okomite.

Primjer 5.

Ravnine kojima pripadaju parovi susjednih strana kvadra (kocke) međusobno su okomite.

U boljem razumijevanju položaja dviju ravnina u prostoru pomoći će vam sljedeća animacija.

Zadatak 9.

Koristeći nacrtani model kvadra $ABCDEFGH,$ riješite zadatke.

1. Ravnina $ACG$ okomita je na ravninu $ABC$.
   

   Da

   Ne

   

   null

   Postupak:

   Pravac $AE$ pripada ravnini $ACG$ i okomit je na ravniu $ABC$ jer je okomit na sve pravce ravnine $ABC$ koji prolaze probodištem $A$.
   

   

   
   

2. Koja od ravnina nije okomita na ravninu $BCG$?

   Ravnina $CDG$.

   Ravnina $ADH$.

   Ravnina $BFH$.

   Ravnina $ABG$.

   

   Pomoć:

   

    ​

   Postupak:

   

    ​Ravnina $ABG$ je okomita na ravninu $BCG$.

Pravci i ravnine u prostoru - u realnom svijetu nije sve baš okomito

 ​