6.4 Izmjenična struja

Istosmjerna struja i napon

Pokušajte grafički predočiti što se zbiva s istosmjernim naponom i istosmjernom strujom tijekom vremena.

Istosmjerna struja ima uvijek isti smjer i u svakom trenutku jednaku jakost. Dijagrami ovisnosti struje o vremenu i napona o vremenu zorno prikazuju nepromjenjivost jakosti i smjera istosmjerne struje.

Izmjenična struja i napon

Pogledajmo u sljedećem pokusu kako izgleda napon naše gradske mreže.

Izmjeničnoj struji i naponu stalno se i u pravilnim vremenskim razmacima mijenjaju i smjer i iznos.

Promjenu iznosa i smjera izmjeničnog napona i izmjenične struje tijekom vremena zorno prikazuju sinusoide.

Trenutne vrijednosti izmjeničnih struja i napona

Vremenske ovisnosti napona gradske mreže i struje kroz neko trošilo mogu se prikazati periodičnim funkcijama:

$u\left(t\right)=U_{\mathrm{m}}sin\omega t$

$i\left(t\right)=I_{m}sin\omega t,$

gdje je $\omega$ kružna frekvencija, a računa se kao $\omega =2\pi f.$

Frekvencija gradske mreže iznosi $f=50\mathrm{Hz.}$

Pritom su $u\left(t\right),$ $i\left(t\right)$ trenutne vrijednosti izmjeničnih napona i struja, a $U_{\mathrm{m}}$ i $I_{\mathrm{m}}$ su maksimalne vrijednosti.

Izmjenična se struja stalno mijenja po vrijednosti i po smjeru, pa je njezina srednja vrijednost jednaka nuli.

Efektivne vrijednosti izmjeničnih struja i napona

Kod prolaska struje kroz otpornik omskog otpora $R$ ukupna se električna energija pretvara u toplinsku. ​

Toplinski se učinak izmjenične struje može usporediti s toplinskim učinkom istosmjerne struje tijekom prolaska kroz isti otpornik za isto vrijeme.

Efektivna vrijednost izmjenične struje jednaka je po veličini onoj stalnoj istosmjernoj struji $I_{\mathrm{ef}}=I$ koja za isto vrijeme na jednakom otporniku razvija jednaku količinu topline Q.

Ako izmjenična struja efektivne jakosti $I_{\mathrm{ef}}$ prolazi kroz vodič otpora R, toplinska je snaga:

$P=I_{\mathrm{ef}}^2\mathrm{R.}$

Isti je izraz i za snagu istosmjerne struje jakosti $I.$

Kad se govori o naponu i jakosti izmjenične struje, smatra se da je riječ o efektivnim vrijednostima.

Pogledajte pokus u kojem se jedna od dviju istovjetnih žarulja spaja na istosmjerni izvor napona, a druga na izmjenični izvor napona. Razmatraju se efektivne vrijednosti izmjeničnog napona i struje.

Pri prolazu struje kroz trošilo snaga i rad proporcionalni su kvadratu jakosti struje pa je za toplinski učinak izmjenične struje bitna srednja vrijednost kvadrata jakosti struje. Zbog toga se u praksi upotrebljavaju efektivne vrijednosti napona $\left(U_{\mathrm{ef}}\right)$ i struje $\left(I_{\mathrm{ef}}\right).$ ​

Veza između maksimalne i efektivne vrijednosti izmjenične struje i napona:

$I_{\mathrm{ef}}=\frac{I_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}},$

$U_{\mathrm{ef}}=\frac{U_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}.$

Efektivni je napon gradske mreže $220\mathrm{V},$ dok mu je maksimalna vrijednost $310\mathrm{V}.$

Kutak za znatiželjne

Efektivni napon i  izmjenična struja

Efektivne vrijednosti napona i struje mogu se pojednostavnjeno odrediti na osnovi geometrijskih razmatranja.
Rad se električne struje može odrediti kao površina ispod $P,$ $t$  dijagrama na slici 1.

Trenutna se vrijednost snage na omskom otporniku kroz koji prolazi izmjenična struja može odrediti prema izrazu:

$P\left(t\right)=u\left(t\right)·i\left(t\right)$ ili

$P\left(t\right)=R·i^2\left(t\right).$

Pri prolazu struje kroz trošilo snaga i rad proporcionalni su kvadratu jakosti struje pa je za toplinski učinak izmjenične struje bitna srednja vrijednost kvadrata jakosti struje.
Razmatramo srednju snagu izmjenične struje (slika 2).

Osjenčana je površina upravo jednaka površini ispod P, t dijagrama. Da su te površine jednake, možemo vidjeti i na osnovi površina osjenčanih u prikazu na slici 3.

U dijelu grafičkog prikaza ispod srednje vrijednosti upravo je toliko osjenčanih elemenata koliko ih je i iznad linije srednje vrijednosti.

Površina ispod grafa na slici 2 odgovara radu istosmjerne struje:

$W=R{I}^{2}t.$

Rad izmjenične struje jednak je:

$W=\frac{1}{2}R{I}_m^{2}t.$

Uspoređujemo srednju snagu izmjenične struje sa snagom istosmjerne struje u vremenu jednog perioda:

$\frac{1}{2}R{I}_m^{2}t=R{I}^2.$

Slijedi da je $I=\frac{I_m}{\sqrt{2}}.$

Jakost struje $I$ efektivna je struja pa se veza između efektivnih i maksimalnih vrijednosti  izmjenične struje zapisuje u obliku:

$I_{ef}=\frac{I_m}{\sqrt{2}}.$

Analogno razmatranje vrijedi i za efektivne vrijednosti napona:

$U_{ef}=\frac{U_m}{\sqrt{2}}$.

Reaktivni otpori

U strujnim krugovima mogu postojati:

• omski otpori ​

• reaktivni otpori: induktivni otpori i kapacitivni otpori.
  

Kada izmjenična struja prolazi kroz zavojnicu odnosno kondenzator, pojavljuje se induktivni odnosno kapacitivni otpor koji ovisi o induktivitetu $L$ zavojnice odnosno o kapacitetu $C$ kondenzatora kao i o frekvenciji $f$ izmjenične struje.

Omski otpor

Ako je u krugu izmjenične struje trošilo omskog otpora $R$,  struja se u svakom trenutku može odrediti po Ohmovu zakonu:

$i=\frac{u}{R}=\frac{U_{\mathrm{m}}sin\omega t}{R}=I_{\mathrm{m}}sin\omega \mathrm{t.}$

Kako se napon i struja mijenjaju po istoj vremenskoj funkciji, struja i napon su u fazi, tj. fazni je pomak između njih nula, $\phi =0.$ Ako se umjesto trenutnih vrijednosti uzimaju efektivne vrijednosti, Ohmov zakon poprima oblik (formalno kao za istosmjernu struju): ​

$I=\frac{U}{R}.$

Induktivni otpor

Pogledajte snimku animacije u kojoj su u krug izmjenične struje serijski spojeni otpornik i zavojnica. Očitavaju se naponi na zavojnici i struja u strujnom krugu. Što opažate? Jesu li struja i napon u fazi?

Na izvor izmjeničnog napona spojena je zavojnica induktiviteta $L$ i zanemarivoga omskog otpora. Zavojnica pruža prolasku struje određeni otpor. Taj je otpor uzrokovan  samoindukcijom koja nastaje u zavojnici zbog stalne promjene izmjenične struje i naziva se induktivni otpor $R_{\mathrm{L}}.$

Na slici je prikazana vremenska ovisnost struje i napona kada je zavojnica idealna (bez omskog otpora). Struja zaostaje za naponom jer se zavojnica zbog samoindukcije opire prolazu struje. Struja za naponom zaostaje za $\mathrm{\pi /}\mathrm{2}$ (tj. $90°$). ​

Induktivni je otpor jalovi otpor. On ne pretvara električnu energiju. U induktivnom se otporu električna energija pretvara u energiju magnetskog polja zavojnice.

Realna zavojnica ima i određeni omski otpor $R$ koji je uzrokovan otporom žice namotaja. Razmotrimo slučaj kada se u strujnom krugu nalazi zavojnica induktivnog otpora $R_{\mathrm{L}}$ i omskog otpora $R$ ili zavojnica i omski otpornik spojeni u seriju.

Ta se dva otpora ne mogu jednostavno algebarski zbrojiti jer struja kroz zavojnicu nije u fazi s naponom. Radni i reaktivni otpor zbrajaju se vektorski. Najjednostavniji je način nacrtati vektorski dijagram za napone ili za otpore.

Ukupni napon $U$  je vektorski zbroj napona na induktivnom i radnom otporu:

$U=\sqrt{U_{\mathrm{R}}^2+U_{\mathrm{L}}^2}.$

Neka je $Z$ ukupni otpor ili impedancija. Prema Ohmovu zakonu je $U=I·Z.$ Kako je

$U_{\mathrm{R}}=I·R$ i $U_{\mathrm{L}}=I·R_{\mathrm{L}},$ slijedi:

$Z=\sqrt{R^2+R_L^2},$

odnosno

$Z=\sqrt{R^2+(\omega L{)}^2}.$

Umjesto vektorskog dijagrama za napone može se crtati vektorski dijagram za otpore, iz njega izračunati ukupni otpor i množenjem sa strujom dobiti ukupni napon. Dobiva se isti rezultat. Fazni pomak $\phi$ napona u odnosu prema struji može se grafički odrediti iz vektorskog dijagrama ili s pomoću trigonometrijskih funkcija:

$cos\phi =\frac{R}{Z}.$

Ako je u krugu izmjenične struje samo radni otpor:

$R_{\mathrm{L}}=0, Z=R \Rightarrow cos\phi =1,$ tj.  $\phi =0.$ 

Ako je u krugu izmjenične struje samo induktivni otpor:

$R=0 \Rightarrow cos\phi =0, \mathrm{tj}. \phi =90°.$

Ako se u strujnom krugu uz induktivni otpor nalazi i omski, zaostajanje struje za naponom je između $0°$ i $90°,$ ovisno o omjeru $\raisebox{1ex}{$R_{\mathrm{L}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$R$}\right..$ ​

Kapacitivni otpor

Pogledajte snimku animacije u kojoj su u krug izmjenične struje serijski spojeni otpornik i kondenzator. Očitavaju se naponi na kondenzatoru i  struje u strujnom krugu. Što sada opažate? Jesu li struja i napon u fazi?

Kad se kondenzator kapaciteta C priključi na izvor istosmjernog napona, poteći će struja, kondenzator će se nabiti, struja će prestati teći i kondenzator će se nakon toga ponašati kao beskonačni otpor. Međutim, ako se kondenzator spoji na izvor izmjeničnog napona, zbog stalnog mijenjanja smjera napona, kondenzator se naizmjenično puni i prazni tako da će u krugu teći izmjenična struja. Za izmjeničnu struju kondenzator predstavlja konačni otpor.

Pokus

Žarulju se priključi na gradsku mrežu preko promjenjivog kondenzatora. Mijenjajući kapacitet kondenzatora promatranjem sjaja žarulje (ili mjereći struju), može se zaključiti da je kapacitivni otpor kondenzatora obrnuto proporcionalan njegovu kapacitetu.

Pokusi i računi pokazuju da je kapacitivni otpor manji što su kapacitet kondenzatora i frekvencija struje veći.

Pri punjenju kondenzatora istosmjernom strujom najprije poteče struja, a kad se kondenzator nabije, na njemu se pojavi napon. Slično je i kad kroz kondenzator prolazi izmjenična struja – napon i struja nisu u fazi. Izmjenična struja prethodi naponu za $\frac{\pi }{2} = 90°$ ili napon zaostaje za strujom za $90°.$ Fazni je pomak napona u odnosu prema struji na kapacitivnom otporu $-90°.$ ​

 ​

U strujnom se krugu uz kondenzator može naći i omski otpor.

Rezultantni otpor (impedancija) dobiva se vektorskim zbrajanjem omskog i kapacitivnog otpora:

$Z=\sqrt{R^2+R_{\mathrm{C}}^2}$
ili
$Z=\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C}{)}^2}.$

RLC strujni krug

RLC strujni krug je spoj omskog, induktivnog i kapacitivnog otpora u krugu izmjenične struje.

Na omskom otporu napon je u fazi sa strujom, na induktivnom otporu napon prethodi struji za $90°,$ a na kapacitivnom otporu napona zaostaje za strujom za $90°.$

Ohmov zakon za izmjeničnu struju može se pisati u istom obliku kao i za istosmjernu struju:

$I=\frac{U}{Z}.$

Fazni pomak napona u odnosu na struju:

$tg \phi =\frac{R_{\mathrm{L}}-R_{\mathrm{C}}}{R}$ 

ili

$cos\phi =\frac{R}{Z}.$

Rezonancija

Jakost izmjenične struje u serijskom RCL strujnom krugu dana je izrazom:

$I=\frac{U}{Z}=\frac{U}{\sqrt{R^2+(R_{\mathrm{L}}-R_{\mathrm{C}}{)}^2}}.$

U slučaju kada su ​ $R_{\mathrm{L}}$ i $R_{\mathrm{C}}$ jednaki, njihova će razlika u gornjoj formuli biti jednaka nuli i strujnim će krugom poteći najveća struja.

Dakle, kada su induktivni i kapacitivni otpor u RLC strujnom krugu jednaki:

$\omega L=\frac{1}{\omega C}$

kružna je frekvencija:

$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}},$

odnosno dobije se formula za frekvenciju koja se naziva Thomsonova formula:

$f=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}.$

Pri rezonanciji je impedancija jednaka omskom otporu (Z = R ), struja je maksimalna i u fazi je s naponom $\left(\phi =0\right).$ Kod rezonancije je ostvaren maksimalni prijenos energije s jednoga titrajnog sustava na drugi uz uvjet da su im frekvencije jednake.

Električna je rezonancija česta pojava kod elektroničkih strujnih krugova.  

Snaga izmjenične struje

Vrijednost napona i struja kroz trošilo spojeno na izmjenični napon stalno se vremenski mijenjaju. Tako se mijenja i snaga te se stoga razmatra srednja snaga. 

Ako je trošilo omski otpor, napon i struja su u fazi, a srednja je vrijednost snage:

$P=U_{\mathrm{ef}}·I_{\mathrm{ef.}}$

Kada se u strujnom krugu nalazi uz omski otpor i reaktivni otpor (induktivni ili kapacitivni), napon i struja nisu u fazi. Ako je u krugu samo kondenzator, struja teče, kondenzator se puni i prazni, $\phi =90°,$ ali ta struja ne obavlja rad, ne proizvodi toplinu i slično. Takva se struja naziva jalovom strujom, a snaga se naziva reaktivnom (jalovom) snagom:

$P_{\mathrm{r}}=U_{\mathrm{C}}·I_{\mathrm{C}}.$

Iako je reaktivna snaga različita od nule, radna je snaga jednaka nuli! Slično je i s idealnom zavojnicom (omski joj je otpor zanemariv) priključenom na izmjenični napon:

$P_{\mathrm{r}}=U_{\mathrm{L}}·I_{\mathrm{L}}.$

Primjer 1.

Izmjenična struja $i=6\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(314 {\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}· t\right)$ prolazi trošilom otpora $650\mathrm{\Omega }.$ Odredimo:

1. frekvenciju​
2. najveću vrijednost struje
3. efektivnu vrijednost struje.​

Primjer 2.

Kondenzator kapaciteta $40\mathrm{\mu F}$ i zavojnica indukcije $\mathrm{0,6}\mathrm{H}$ serijski su spojeni na izvor izmjenične struje efektivne vrijednosti napona $110\mathrm{V}$ i frekvencije $50\mathrm{Hz}.$ Ukupni radni otpor u strujnom krugu iznosi $20\mathrm{\Omega }.$ Odredimo:

1. impedanciju strujnoga kruga ​
2. efektivnu vrijednost struje u strujnom krugu
3. pad napona na kondenzatoru.

Primjer 3.

RLC strujni krug sastavljen je od serijski spojenih: otpornika radnog otpora $R=130\mathrm{\Omega },$ zavojnice induktivnosti $L=30\mathrm{mH}$ i kondenzatora kapaciteta $C=3\mathrm{\mu F}.$ U strujnom krugu je izvor izmjeničnog napona $50\mathrm{V}$ frekvencije $50\mathrm{Hz}.$

1. Odredimo fazni kut između izmjeničnog napona i struje.
2. Kolika je srednja snaga strujnoga kruga?