U svijetu oko nas okruženi smo raznim običnim i neobičnim građevinama. One su omeđene većim ili manjim dijelovima ravnih i/ili zakrivljenih ploha, a neke od njih povezane su „dijelovima pravaca“.
Za početak, kratki podsjetnik na dosad naučeno.
Položaj dvaju pravaca u ravnini
Dva pravca u ravnini mogu se podudarati (imati sve zajedničke točke), biti međusobno paralelni (nemati zajedničkih točaka) ili se sjeći (biti ukršteni, imati jednu zajedničku točku). Poseban su slučaj ukrštenih pravaca pravci koji su međusobno okomiti.
Zanimljivost
Ako se točka T i pravac p nalaze u istoj ravnini, onda se točkom
T može nacrtati točno jedan pravac rparalelan s pravcem p. Ta je činjenica temelj tzv. Euklidske geometrije.
Položaj dvaju pravaca u prostoru
Za dva pravca u prostoru kažemo da su međusobno paralelni (usporedni)ako pripadaju istoj ravnini i nemaju zajedničkih točaka.
Za dva pravca u prostoru kažemo da su međusobno ukršteni ili da se sijeku ako pripadaju istoj ravnini i imaju jednu zajedničku točku.
Za dva pravca u prostoru kažemo da su međusobno mimosmjerni ili mimoilazni ako nemaju zajedničkih točaka i ako ne postoji ravnina koja te pravce sadrži.
Zanimljivost
Promotrite mimoilazne pravce iz različitih perspektiva pomoću sljedeće interakcije.
U kakvom položaju mogu biti dva pravca u prostoru?
Da bismo odgovorili na ovo pitanje često ćemo se služiti modelom kvadra.
Zadatak 1.
Promotrite slike pa svakom opisu pridružite oznaku (slovo) navedeno uz sliku.
Istaknuti su pravci međusobno okomiti.
d
Istaknuti su pravci međusobno paralelni.
b
Istaknuti se pravci sijeku, ali nisu okomiti.
c
Istaknuti su pravci mimosmjerni.
a
null
null
Razvrstajte pravce određene vrhovima kvadra ABCDEFGH prema njihovu položaju u odnosu na pravac DH.
GH
BD
CF
BE
AH
CG
BF
HB
AF
AE
EG
Paralelni s pravcem DH
Sijeku pravac DH
Mimosmjerni pravcu DH
null
Na slici je kvadar
ABCDEFGH i na kvadru istaknut pravac BD. Spojite parove pravca i njegova položaja s obzirom na istaknuti pravac.
Pomoću sljedećeg interakcije istražite uvjet paralelnosti pravca i ravnine. Odabirom prikazane ikone otvara se padajući izbornik iz kojeg je potrebno odabrati opciju Rotiraj 3D grafički prikaz kako biste odnos pravca i ravnine mogli vidjeti iz različitih perspektiva.
Ako pravac i ravnina imaju jednu zajedničku točku, onda kažemo da taj pravac probada ravninu.
Pomoću sljedeće interakcije istražite uvjet okomitosti pravca i ravnine. Odabirom prikazane ikone otvara se padajući izbornik iz kojeg je potrebno odabrati opciju Rotiraj 3D grafički prikaz kako biste odnos pravca i ravnine mogli vidjeti iz različitih perspektiva.
Svakako pogledajte i videoisječak koji se osvrće na nedovoljan uvjet okomitosti pravca i ravnine te promatranjem iz svih perspektiva proučite zbog čega je nedovoljan.
Pri vizualizaciji položaja pravca i ravnine u prostoru pomoći će vam sljedeća animacija.
Koliko zajedničkih točaka mogu imati dvije (različite) ravnine u prostoru? Promotrite model kvadra i riješite sljedeće zadatke.
Koliko zajedničkih točaka imaju ravnine BCGi ADH?
Pomoć:
Koliko zajedničkih točaka imaju ravnine ABF i ABG?
Pomoć:
Postupak:
Ravnine imaju beskonačno mnogo zajedničkih točaka jer imaju zajednički pravac.
Ako dvije ravnine nemaju zajedničkih točaka, onda su te ravnine međusobno paralelne.
Primjer 2.
Parovi ravnina kojima pripadaju nasuprotne strane kvadra (kocke) međusobno su paralelne.
Ako dvije ravnine imaju dvije zajedničke točke, onda im je zajednički pravac koji je određen tim točkama. Kažemo da se te dvije ravnine sijeku po pravcu.
Taj pravac nazivamo presječnicom ravnina.
Primjer 3.
Ravnine ABF i ABG sijeku se po pravcu
AB.
Pravac ABje presječnica ravnina ABF i ABG.
Primjer 4.
Zadan je kvadarABCDEFGH. U kakvu su položaju ravnine:
BCH i
EFG
ABG i
BCG
BCH i
ADG
ABF i
BCG?
Promotrimo li nacrtane slike, lako je vidjeti da se parovi zadanih ravnina sijeku. Presječnice su istaknute na slikama.
Posljednji se zadatak od prethodna tri razlikuje po tome što ravninama ABF i BCG pripadaju dvije susjedne strane kvadra, tj. one su međusobno okomite.
Uočite na slici pravac AB. Taj pravac pripada ravniniABF i probada ravninu BCG u točki B. Pravac AB okomit je na pravac BF koji pripada ravnini BCG te je okomit na ravninu BCG.
Uočite i pravac BC. Taj pravac pripada ravniniBCG i probada ravninu ABFu točki B. Pravac BCje okomit na pravac BF koji pripada ravnini ABF te je okomit na ravninu
ABF.
Ako se dvije ravnine sijeku po pravcu i ako u jednoj ravnini postoji pravac okomit na drugu ravninu, onda kažemo da su te ravnine međusobno okomite.
Primjer 5.
Ravnine kojima pripadaju parovi susjednih strana kvadra (kocke) međusobno su okomite.
Pomoću sljedeće interakcije istražite uvjet okomitosti dviju ravnina. Odabirom prikazane ikone otvara se padajući izbornik iz kojeg je potrebno odabrati opciju Rotiraj 3D grafički prikaz kako biste odnos dviju ravnina mogli vidjeti iz različitih perspektiva.
U boljem razumijevanju položaja dviju ravnina u prostoru pomoći će vam sljedeća animacija.
Položaji dviju ravnina u prostoru na modelu kocke
Zadatak 9.
Koristeći nacrtani model kvadra ABCDEFGH, riješite zadatke.
Ravnina ACG okomita je na ravninu ABC.
null
Postupak:
Pravac AE pripada ravnini ACG i okomit je na ravniu
ABC jer je okomit na sve pravce ravnine ABC koji prolaze probodištem A.
Koja od ravnina nije okomita na ravninu BCG?
Pomoć:
Postupak:
Ravnina
ABG je okomita na ravninu BCG.
Pravci i ravnine u prostoru - u realnom svijetu nije sve baš okomito
Sky Bridge, Vancouver, Kanada
Most preko zaljeva Charleston, South Carolina, SAD
Most dr. Franje Tuđmana, Dubrovnik, Hrvatska
Humber Bay Arch Bridge, Toronto, Kanada
Tyne Bridge, Newcastle, Velika Britanija
Golden Gate Bridge, San Francisco, Kalifornija, SAD
Zapovjedništvo FBI, Washington, SAD
Kosi toranj, Pisa, Italija
Golden Mile Complex, Singapur
...i na kraju
U ovoj ste jedinici naučili odrediti je li pravac i/ili ravnina okomit na zadanu ravninu, nacrtati pravce određene zadanim točkama koji su okomiti na zadanu ravninu te ravnine koje su okomite na zadanu ravninu, ispisati pravce određene zadanim točkama koji su okomiti na zadanu ravninu te ravnine koje su okomite na zadanu ravninu i rješavati problemske zadatke primjenom okomitosti pravca i ravnine u prostoru i/ili okomitosti dviju ravnina.
Usvojena znanja možete provjeriti rješavajući zadatke koji slijede.
PROCIJENITE SVOJE ZNANJE
1
Na slici je kvadar ABCDEFGH. Spojite parove međusobno okomitih pravaca određenih vrhovima kvadra pri čemu se pravci sijeku u vrhu kvadra.
FH
AB
GE
DH
DA
EA
FB
GC
null
null
2
Razvrstajte zadane pravce određene vrhovima kvadra ABCDEFGHs obzirom na to na koju su ravninu okomiti.
AB
BF
FE
GH
DC
CG
DH
AE
Pravci okomiti na ravninuADH
Pravci okomiti na ravninuEFG
null
3
Koliko je pravaca određenih vrhovima kocke ABCDEFGH okomito na ravninu ACG?
null
Postupak:
4
Koji su parovi ravnina određeni vrhovima kocke ABCDEFGH međusobno okomiti?
null
5
PravciEB i AF određeni su vrhovima kocke ABCDEFGH. Jesu li ti pravci međusobno okomiti?
null
null
6
Zadana je kocka ABCDEFGH.Koje su ravnine određene vrhovima te kocke okomite na ravninu ADH?
null
null
7Promotrite sliku i odredite koje su ravnine okomite na ravninu
ABC.
null
null
8
Promotrite sliku i odredite ravnine koje su okomite na ravninu ABC.