Lara ima kvadrat sa stranicom duljine a te četiri jednakokračna trokuta s osnovicom duljinea i krakovima duljine
b, dva kvadrata sa stranicom duljine
b
i četiri pravokutnika sa stranicama duljina b i c.
Koja tijela može sastaviti od tih dijelova?
Lara može sastaviti pravilnu četverostranu piramidu i pravilnu četverostranu prizmu.
Zadatak 1.
Marija u ruci drži tijelo koje ima 8 bridova, 5 vrhova i pet strana, od kojih je jedno kvadrat. Koje tijelo drži u ruci?
Marija u ruci drži pravilnu četverostranu piramidu.
Koristeći sljedeću interakciju, istražite pravilnu četverostranu piramidu. Koristite mogućnost rotacije prikazanog modela piramide. Možete također pomicati zeleno istaknuti vrh piramide kako biste promijenili njezinu visinu.
Uspravnu četverostranu piramidu kojoj je baza pravilni četverokut (kvadrat) nazivamo pravilna četverostrana ili kvadratna piramida.
U mreži pravilne četverostrane piramide
Mreža pravilne četverostrane piramide sastoji se od jednog kvadrata - to je baza piramide i četiri međusobno sukladna jednakokračna trokuta - pobočke piramide.
Pobočke zajedno čine pobočje piramide.
Primjer 1.
Sljedeća interakcija omogućava prikaz nastajanja jedne od mogućih mreža pravilne četverostrane piramide. Istaknute točke omogućavaju promjenu duljine osnovnog brida i visine piramide.
Primjer 2.
Animacija prikazuje još neke mreže pravilne četverostrane piramide.
Oplošje pravilne četverostrane piramide
Baza je pravilne četverostrane piramide kvadrat sa stranicom duljine a, pa je površina njezine baze jednaka
B=a2.
Pobočke pravilne četverostrane piramide sukladni su jednakokračni trokuti s osnovicama duljine
a
i visinom na osnovicu duljine v, pa je površina svakoga od njih jednaka
p1=12av.
Površina pobočja pravilne četverostrane piramide jednaka je
P=4·p1=4·12av, tj.
P=2av.
Oplošje pravilne četverostrane piramide (kao i svake uspravne piramide) računa se prema formuli
O=B+P.
Primjer 3.
Izračunajmo oplošje pravilne četverostrane piramide s osnovnim bridom duljine 6cm i pobočnim bridom duljine 5cm.
Površina kvadrata, baze te piramide, računa se prema formuli
B=a2 i iznosi
B=62=36cm2.
Da bismo odredili površinu pobočja, potrebno je izračunati duljinu visine pobočke. To ćemo učiniti primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut koji je polovina jednakokračnog trokuta - pobočke te piramide.
Uz oznake kao na slici vrijedi
v2=b2-(a2)2, odakle se uvrštavanjem dobiva
v2=52-32, odnosno
v=4cm.
Površina svake pobočke računa se prema formuli
p1=12av, pa uvrštavanjem dobivamo da je
p1=12cm2, tj. da je površina pobočja
P=4p1 i iznosi
P=48cm2.
Konačno, oplošje računamo prema formuli
O=B+P i iznosi
O=36+48=84cm2.
Duljina je visine pravilne četverostrane piramide 35cm, a duljina je visine njezine pobočke 37cm. Izračunajte oplošje te piramide.
Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut koji je polovina istaknutog jednakokračnog trokuta dobivamo da je
(a2)2=v2-h2.
Uvrštavanjem dobivamo
(a2)2=372-352, odakle je
a2=12cm, odnosno
a=24cm.
Površina je baze te piramide
B=a2, tj.
B=242=576cm2.
Površina je njezina pobočja
P=4·av2=2av, pa je
P=2·24·37=1776cm2.
Oplošje je te piramide
O=B+P, pa je
O=2352cm2.
Zadatak 3.
Duljina je osnovnog brida pravilne četverostrane piramide 18cm, a duljina je njezine visine 1.2dm. Koliko je oplošje te piramide?
Duljina visine piramide iznosi
12cm. Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut koji je polovina istaknutog jednakokračnog trokuta dobivamo da je
v2=(a2)2+h2.
Uvrštavanjem dobivamo
v2=92+122, odakle je
v=15cm.
Površina baze te piramide je
B=a2, tj.
B=182=324cm2.
Površina njezina pobočja je
P=4·av2=2av, pa je
P=2·18·15=540cm2.
Duljina je pobočnog brida pravilne četverostrane piramide 17cm, a duljina je visine pobočke 1.5dm. Koliko je oplošje te piramide?
Kako bismo odredili površinu baze, potrebna nam je duljina brida baze.
Duljinu brida baze odredit ćemo primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut koji je polovina jednakokračnog trokuta - pobočke te piramide.
Uz oznake kao na slici vrijedi
(a2)2=b2-v2, odakle se uvrštavanjem dobiva
(a2)2=172-152, odnosno
a2=8cm i
a=16cm.
Površina kvadrata, baze te piramide, računa se prema formuli
B=a2 i iznosi
B=162=256cm2.
Površina svake pobočke računa se prema formuli
p1=12av, pa uvrštavanjem dobivamo da je
p1=12·8·15=120cm2,
tj. da je površina pobočja
P=4p1 i iznosi
P=480cm2.
Konačno, oplošje računamo prema formuli
O=B+P i iznosi
O=256+480=736cm2.
Zadatak 5.
Pravilna četverostrana piramida ima 5 strana.
null
null
Pobočje pravilne uspravne četverostrane piramide sastoji se od jednakokračnih trokuta.
null
null
Baza je pravilne četverostrane piramide kvadrat.
null
null
Pravilna četverostrana piramida ima 12 bridova.
null
Postupak:
Pravilna četverostrana piramida ima 8 bridova.
Formula za izračunavanje površine pobočja pravilne četverostrane piramide sa stranicom duljine ai visinom pobočke vje
P=4av.
null
Postupak:
P=2av
Površina baze pravilne četverostrane piramide iznosi
196cm2. Visina je te piramide
24cm. Koliko je oplošje te piramide?
cm2.
null
Površina pobočja pravilne četverostrane piramide iznosi
5936cm2, a visina pobočke
53cm. Koliko je oplošje te piramide?
cm2.
Volumen pravilne četverostrane piramide računamo (kao i volumen svake uspravne piramide) kao trećinu umnoška površine baze i duljine visine, tj. prema formuli
V=13Bh.
Primjer 4.
Opseg je baze pravilne četverostrane piramide
4dm, a duljina je visine njezine pobočke 13cm. Koliki je volumen te piramide?
Budući da je baza ove piramide kvadrat čiji je opseg četiri puta dulji od osnovnoga brida, zaključujemo da je duljina osnovnoga brida
a=40:4=10cm.
Površina baze te piramide računa se prema formuli
B=a2, što znači da je
B=100cm2.
Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut, koji je polovina istaknutog jednakokračnog trokuta, dobivamo da je
h2=v2-(a2)2. Uvrštavanjem dobivamo
h2=132-55, odakle je
h=12cm.
Volumen te piramide računamo prema formuli
V=13Bh, pa uvrštavanjem dobivamo da je
V=13·100·12, tj.
V=400cm3.
Izračunajte volumen pravilne četverostrane piramide s visinom duljine 15cm, ako je duljina pobočnoga brida te piramide 45cm.
Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut koji je polovina istaknutog jednakokračnog trokuta dobivamo da je
(d2)2=b2-h2.
Uvrštavanjem dobivamo
(d2)2=452-155, odakle je
d2=√1800cm, odnosno
d=60√2cm.
Budući da, prema Pitagorinu poučku primijenjenom na polovinu baze (kvadrata), vrijedi
d2=2a2, zaključujemo da je
2a2=7200, odnosno
a2=3600, pa zaključujemo da je duljina osnovnog brida
a=60cm.
Do istog zaključka možemo doći i uspoređivanjem formula. Duljina dijagonale kvadrata sa stranicom duljine a računa se kao
d=a√2 pa izjednačavanjem izraza
a√2=60√2 zaključujemo da je
a=60cm.
Površina baze te piramide je
B=a2, tj.
B=602=3600cm2.
Volumen te piramide računamo prema formuli
V=13Bh, pa uvrštavanjem dobivamo da je
V=13·3600·15, tj.
V=18000cm3.
Zadatak 7.
Visina je neke pravilne četverostrane piramide 35cm, a duljina visine njezine pobočke 37cm. Koliki je volumen te piramide?
Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut koji je polovina istaknutog jednakokračnog trokuta dobivamo da je
(a2)2=v2-h2.
Uvrštavanjem dobivamo
(a2)2=372-355, odakle je
a2=12cm, odnosno
a=24cm.
Površina je baze te piramide
B=a2, tj.
B=242=576cm2.
Volumen te piramide računamo prema formuli
V=13Bh, pa uvrštavanjem dobivamo da je
V=13·576·35, tj.
V=6720cm3.
Zadatak 8.
Volumen piramide jednak je trećini umnoška površine baze i visine piramide.
null
null
Ako prizma i piramida imaju međusobno sukladne baze i jednake duljine visina, tada je volumen prizme tri puta veći od volumena piramide.
null
null
Volumen pravilne četverostrane piramide iznosi
2284.8cm3. Visina te piramide iznosi
119mm. Oplošje je te piramide
cm2
.
null
null
Duljina je osnovnog brida kvadratne piramide
11cm, a njezin volumen
193.6cm3. Duljina visine te piramide iznosi
cm.
Pravilnu četverostranu piramidu možemo presjeći ravninom koja prolazi njezinim vrhom i polovištima dvaju nasuprotnih bridova baze. Dobiveni će presjek biti jednakokračni trokut s osnovicom duljinea i krakovima duljine v. Visina na osnovicu tog trokuta je i visina promatrane piramide.
Pravilna četverostrana piramida presječena je ravninom koja prolazi njezinim vrhom i polovištima dvaju nasuprotnih bridova baze.
Izračunajte površinu nastalog presjeka ako je duljina brida baze piramide 1dm, a visina piramide12cm.
Uz oznake na prethodnoj slici, površina je nastalog presjeka p=12ah.
Uvrštavanjem dobivenih podataka dobivamo da je p=12·10·12=60cm2.
Zadatak 10.
Pravilna četverostrana piramida presječena je ravninom koja prolazi njezinim vrhom i polovištima dvaju nasuprotnih bridova baze.
Izračunajte površinu nastalog presjeka ako je površina baze piramide 25cm2, a duljina visine piramide 3.1
Ako je površina baze piramide
, to znači da je tj.
Uvrštavanjem zadanog i dobivenog podatka u izraz
dobivamo
.
Pravilnu četverostranu piramidu možemo presjeći ravninom koja prolazi njezinim vrhom i sadrži jednu od dijagonala baze. Dobiveni će presjek biti jednakokračni trokut s osnovicom duljine
i krakovima duljine
Visina na osnovicu tog trokuta je i visina promatrane piramide.
Odaberite trokut koji će se istaknuti unutar pravilne četverostrane piramide. Rotirajte piramidu kako biste bolje uočili nastali presjek. Interakcija će vam pomoći u rješavanju zadataka koji slijede.
Pravilna četverostrana piramida presječena je ravninom koja prolazi njezinim vrhom i sadrži jednu od dijagonala baze. Izračunajte površinu nastalog presjeka ako je:
duljina osnovnog brida
a duljina visine piramide
duljina pobočnog brida
a duljina dijagonale baze
Uz oznake kao na slici, površina je nastalog presjeka
Ako je duljina stranice kvadrata
onda je duljina njegove dijagonale
Uvrštavanjem zadanog i dobivenog podatka u izraz
dobivamo
Iz zadanih podataka, primjenom Pitagorina poučka, možemo izračunati duljinu visine piramide:
pa je duljina visine piramide
Uvrštavanjem zadanog i dobivenog podatka u izraz
dobivamo da je
Zadatak 12.
Duljina je osnovnog brida pravilne četverostrane piramide
a visina pobočke
Površina je baze te piramide
, površina pobočja
, a njezino je oplošje
.
null
null
Duljina je dijagonale baze pravilne četverostrane piramide
, a njezina je visina
Duljina je osnovnog brida
površina njezine baze
, a volumen joj je
.
null
Iz kocke volumena izrezana je najveća moguća pravilna četverostrana piramida. Koliko je njezino oplošje?
null
Pravilna četverostrana piramida presječena je ravninom koja prolazi vrhom i polovištima dvaju nasuprotnih bridova baze. Dobiveni je presjek jednakostranični trokut površine
Koliko je oplošje ove piramide?
Duljina je osnovnog brida pravilne četverostrane piramide
a duljina njezinog bočnog brida Oplošje je te piramide
Osnovni bridovi kutije
na slici
dugi su
visina je donjeg dijela
a ukupna je visina kutije
Koliko papira treba za izradu takve kutije?
Ukupna površina papira jednaka je oplošju kvadratne prizme bez gornje strane te pravilne četverostrane piramide bez baze.
Površina donjeg dijela kutije iznosi
Visina poklopca iznosi
Površina poklopca jednaka je površini pobočja pravilne četverostrane piramide.
Visina pobočke iznosi
tj.
Oplošje kutije iznosi
Zadatak 15.
Obujam je pravilne četverostrane piramide
. Ta je piramida presječena ravninom koja prolazi njezinim vrhom i polovištima dvaju nasuprotnih bridova baze. Površina je dobivenog presjeka
. Kolika je duljina brida baze te piramide?
Iz formule za obujam dobivamo
dok iz formule za površinu presjeka dobivamo
tj.
nacrtati pravilnu četverostranu piramidu i njezinu mrežu
primijeniti izraze za oplošje i obujam (volumen) pravilne četverostrane uspravne piramide
riješiti problemski zadatak koristeći mjerljiva obilježja pravilne uspravne četverostrane piramide
Za kraj, riješite sljedeći zadatak te završnu procjenu.
Zadatak 16.
Neobična zgrada na slici ima oblik pravilne četverostrane piramide s osnovnim bridom duljine
metara i bočnim bridom duljine
metara. Krov je prekriven crijepom. Na južnom i zapadnom dijelu krova nalazi se po
a na preostala dva dijela krova nalaze se po
prozora kvadratnog oblika sa stranicama duljine
Kolika je površina krova prekrivena crijepom?
Površina krova jednaka je površini pobočja pravilne četverostrane piramide umanjenoj za površinu prozora.
Da bismo odredili površinu pobočja, potrebna nam je duljina visine pobočke.
Primjenjujući Pitagorin poučak na polovinu jednakokračnog trokuta, uz oznake kao na slici vrijedi
Uvrštavajući podatke da je osnovica duljine
a krak
dobivamo da je
odakle je
Površina pobočke tada je
tj.
pa je površina krova
i iznosi približno
Da bismo izračunali površinu krova koja je pokrivena crijepom, od tog rezultata treba oduzeti površinu
jednakih prozora, a svaki od njih ima površinu
Površina je krova prekrivena crijepom približno
PROCIJENITE SVOJE ZNANJE
1
Piramida je uglato geometrijsko tijelo omeđeno jednim-terokutom i s trokuta koji imaju jedan zajednički vrh.
Pomoć:
Geometrijska tijela mogu biti uglata ili obla.
null
2
Piramida je uspravna ako su joj pobočni bridovi jednakih duljina, tj. ako su njezine pobočke jednakokračni trokuti.
Pomoć:
Piramida može biti uspravna ili kosa.
null
3
Sve strane piramide čine njezino pobočje.
null
4
Uspravna je piramida pravilna ako su njezine pobočke jednakokračni trokuti.
null
Postupak:
Uspravna je piramida pravilna ako je njezina baza pravilni mnogokut.
5
Pobočni je brid piramide zajednička dužina baze i pobočke.
null
Postupak:
Osnovni je brid ili brid baze piramide zajednička dužina baze i pobočke.
6
Svaki je vrh baze zajednička rubna točka triju bridova, dvaju osnovnih i jednoga pobočnog brida.
null
7
Vrh je piramide točka u kojoj se sijeku pobočni bridovi (i sve pobočke) piramide.
null
null
8
Visina je piramide udaljenost njezina vrha od ravnine baze. Za uspravne se piramide nožište visine nalazi u središtu kružnice opisane bazi.
null
null
9
Visina je pobočke (pravilne) piramide dužina kojoj su rubne točke vrh piramide i polovište pobočnog brida.
null
Postupak:
Visina je pobočke (pravilne) piramide dužina kojoj su rubne točke vrh piramide i polovište osnovnog brida.
10
Uspravna četverostrana piramida ima
strana,
bridova i
vrhova.
11
Koje je od prikazanih tijela piramida?
null
12
Piramida sa slike naziva se pravilna
piramida.
null
null
13
Na slici je prikazana mreža pravilne
.
null
null
14
Površina baze piramide iznosi
a njezino oplošje
Kolika je površina pobočja te piramide?
null
15
Obujam piramide iznosi
a duljina njezine visine
Kolika je površina baze te piramide?
null
null
16
Baza pravilne četverostrane prizme je
.
null
null
17
Koliki je obujam pravilne četverostrane piramide ako je oplošje
a površina pobočja
Rezultat zaokružite na dvije decimale.
null
null
18
Površina presjeka pravilne uspravne četverostrane piramide koji prolazi polovištima dvaju nasuprotnih bridova baze te vrhom piramide iznosi
Površina baze te piramide iznosi
Koliki je obujam te piramide?
null
null
19
Na kojoj slici NIJE prikazana mreža pravilne uspravne četverostrane piramide?