Matematika 8 - 10.1 Valjak

Mreža valjka

Zadatak 1.

Promotrimo konzervu. Svaka konzerva oko svoje zakrivljene plohe ima papirnatu etiketu. Zamislite da ste etiketu skinuli i izravnali. Koji biste oblik dobili?

Kad bismo izravnali papirnatu etiketu, dobili bismo pravokutnik.

Zadatak 2.

Promotrite mrežu uspravnog valjka. Od čega se sastoji mreža valjka?

Mreža valjka sastoji se od dvaju sukladnih krugova i pravokutnika.

Zadatak 3.

Koje su mreže valjka?

Mreže valjka označene su slovima $A$ i $E .$

Zatvori

Valjak je oblo geometrijsko tijelo omeđeno s dvama sukladnim krugovima koje nazivamo bazama valjka i zakrivljenom plohom koju nazivamo plaštem valjka.

Baze valjka pripadaju usporednim ravninama, a kad se plašt valjka „razvije“ u ravninu, dobiva se pravokutnik.

Os valjka je pravac koji prolazi središtima gornje i donje baze valjka.

Valjak je uspravan ako je njegova os okomita na ravninu baze.

Ako os valjka nije okomita na bazu valjka, taj je valjak kos. Mi ćemo proučavati samo uspravne valjke.

Izvodnica valjka je dužina koja pripada plaštu valjka, usporedna je s njegovom osi, a rubne točke pripadaju kružnicama koje omeđuju baze valjka.

(Na slici su istaknute izvodnice $A A'$ i $B B' .$ ) Sve izvodnice uspravnog valjka jednakih su duljina. Izvodnica valjka može biti dulja ili kraća, ali i jednaka duljini promjera baze.

Visina valjka $(h)$ je udaljenost njegovih baza. Za uspravni valjak visina je jednaka duljini njegove izvodnice.

Oplošje valjka

Prisjetimo se da je oplošje geometrijskog tijela jednako zbroju površina svih njegovih strana.

Valjak ima dvije baze i plašt te je opća formula za oplošje valjka $O = 2 B + P$ .

Baze su valjka krugovi, dok je plašt pravokutna oblika.

Zadatak 4.

Baza valjka je krug s polumjerom $r .$ Koja je formula za površinu baze valjka?

Formula za površinu baze (kruga) jednaka je umnošku kvadrata duljine njegova polumjera i broja $π .$

$B = r^{2} π$

Zadatak 5.

Koje su dimenzije pravokutnika koji izgrađuje plašt valjka?

Kako glasi formula za površinu plašta valjka?

Pri rješavanju zadatka može vam pomoći animacija iz 2. zadatka.

Plašt je valjka pravokutnik s duljinom jednakom opsegu baze $(2 r π)$ te širinom jednakom visini valjka $(h) .$

Formula za površinu pravokutnika jednaka je umnošku duljina dviju susjednih stranica.

Iz toga slijedi da je $P = 2 r π h .$

Zadatak 6.

Kako glasi formula za oplošje valjka?

S obzirom na to da se valjak sastoji od dviju baza i plašta, znamo da vrijedi $O = 2 B + P$ .

Iz toga slijedi da je formula za oplošje valjka $O = 2 r^{2} π + 2 r π \cdot h,$ tj. $O = 2 r π \cdot (r + h) .$

Zatvori

Oplošje se valjka računa po formuli $O = 2 r^{2} π + 2 r π \cdot h,$ tj. $O = 2 r π \cdot (r + h) .$

Zanimljivost

Na sljedećoj poveznici možete pogledati videosadržaj (na engleskom jeziku) koji objašnjava zašto se površina kruga računa prema formuli $p = r^{2} π .$

Primjer 1.

Izračunajmo oplošje valjka kojemu je duljina polumjera baze $4 cm,$ a visina $6 cm .$

Oplošje valjka jednako je $O = 2 \cdot 4 \cdot π \cdot (4 + 6) = 80 π {cm}^{2} .$

Primjer 2.

Oplošje valjka iznosi $120 π {cm}^{2},$ a duljina je njegova polumjera baze $5 cm .$ Kolika je visina tog valjka?

Uvrštavanjem u formulu $O = 2 r π \cdot (r + h)$ dobit ćemo $120 π = 2 \cdot 5 \cdot π \cdot (5 + h) .$

Budući da je $120 π = 10 π \cdot (5 + h),$ tada je $12 = 5 + h$ i $h = 7 cm .$

Zadatak možemo riješiti i tako da prvo odredimo površinu baze valjka koju računamo prema formuli $B = r^{2} π,$ odakle uvrštavanjem slijedi da je $B = 25 π {cm}^{2} .$

Uvrštavanjem podataka o oplošju i površini baze u formulu za oplošje valjka $O = 2 B + P$ dobivamo da je $P = 120 π - 2 \cdot 25 π,$ tj. da je $P = 70 π {cm}^{2} .$

Budući da se površina plašta valjka računa prema formuli $P = 2 r π \cdot h,$ uvrštavanjem poznatih podataka dobivamo da je $h = 70 π : (2 \cdot 5 π),$ tj. da je $h = 7 cm .$

Primjer 3.

Oplošje je uspravnog valjka $180 π {cm}^{2},$ a duljina polumjera baze i duljina visine u omjeru su $2 : 3 .$ Kolika je duljina visine tog valjka?

Iz uvjeta $r : h = 2 : 3$ slijedi da je $h = 1.5 r$ .

Uvrstimo li taj uvjet u formulu za oplošje valjka $O = 2 r π \cdot (r + h),$ dobit ćemo $180 π = 2 r π \cdot (r + 1.5 r),$ tj. $180 π = 5 r^{2} π .$

Iz toga slijedi $36 = r^{2}$ te $r = 6 cm .$

Prema tome, duljina je visine tog valjka $h = 1.5 \cdot 6$ , tj. $h = 9 cm .$

Zadatak 7.

Valjak je geometrijsko tijelo omeđeno s dvama sukladnim i zakrivljenom plohom.

null
Što je os valjka?

Dužina omeđena središtima donje i gornje baze valjka.

Pravac koji prolazi središtima donje i gornje baze valjka.

Dužina koja pripada plaštu valjka.

Dužina koja spaja neke dvije točke na različitim bazama valjka.

null

null
Visina valjaka je udaljenost njegovih baza.

Da

Ne

null

null
Sve izvodnice uspravnog valjka jednakih su duljina.

Da

Ne

null
Izračunajte oplošje valjka ako je duljina promjera njegove baze $8 cm,$ a duljina njegove visine $6.5 cm .$ $π {cm}^{2}$
Oplošje uspravnog valjka je $112 π {cm}^{2},$ a duljina polumjera baze i duljina visine su u omjeru $2 : 5 .$ Kolika je duljina visine tog valjka? $cm$

Pomoć:

$h = 2.5 r$

Zadatak 8.

U nekoj se tvornici pakiraju konzerve tune čija je duljina polumjera baze $4 cm,$ a visina $12 cm .$ U sklopu nove kampanje voditelji marketinga angažirali su dizajnere da im izrade nove naljepnice za konzerve. Kolika treba biti površina naljepnica ako svaka naljepnica u potpunosti treba prekriti plašt valjka?

Površina se plašta valjka računa prema formuli $P = 2 r π h .$

Uvrštavanjem zadanih podataka u formulu dobivamo $P = 2 \cdot 4 \cdot π \cdot 12 = 96 π \approx 301.6 \approx 302 {cm}^{2} .$

Površina naljepnice treba iznositi $302 {cm}^{2} .$

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Oplošje valjka iznosi $48 π {cm}^{2}$ , a visina valjka $5 cm .$ Kolika je duljina polumjera baze tog valjka ako je duljina polumjera prirodan broj u centimetrima?

Uvrštavanjem u formulu $O = 2 r^{2} π + 2 r π \cdot h$ dobit ćemo $48 π = 2 r^{2} π + 2 r π \cdot 5 .$

Izlučivanjem te dijeljenjem obiju strana s $2 π$ dobit ćemo $24 = r^{2} + 5 r,$ tj. $24 = r (r + 5) .$

Trebamo pronaći dva broja koja pomnožena zajedno daju $24,$ pri čemu je jedan broj za pet manji od drugog.

Parovi prirodnih brojeva čiji je umnožak $24$ su $1$ i $24$ , $2$ i $12,$ $3$ i $8,$ $4$ i $6 .$

Od toga samo par brojeva $3$ i $8$ zadovoljava drugi uvjet.

S obzirom na to da je $24 = 3 \cdot (3 + 5),$ slijedi da je $r = 3 cm .$

Volumen (obujam) valjka

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Koristeći se sljedećom aktivnošću, pomičući klizač, promotrite kako se mijenja volumen (obujam) valjka u ovisnosti o njegovoj visini. Što se događa ako udvostručimo visinu, a duljina polumjera valjka ostane nepromijenjena? Ako utrostručimo visinu? Ako visinu prepolovimo?

Povećavanjem visine valjka povećava se i njegov volumen. Ako duljina polumjera ostane nepromijenjena, udvostručavanjem visine udvostručit će se i volumen. Utrostručavanjem visine utrostručit će se i volumen, a prepolavljanjem visine prepolovit će se i volumen.

Možemo reći da su visina i obujam valjka međusobno proporcionalne veličine.

Zadatak 10.

Koristeći se sljedećom aktivnošću, pomičući klizač, promotrite kako se mijenja volumen (obujam) valjka u ovisnosti o duljini polumjera njegove baze. Što se događa ako udvostručimo duljinu polumjera, a visina ostane nepromijenjena? Ako utrostručimo duljinu polumjera? Ako duljinu polumjera prepolovimo?

Povećavanjem duljine polumjera baze valjka povećava se i njegov volumen. Ako visina valjka ostane nepromijenjena, udvostručavanjem duljine polumjera baze učetverostručit će se volumen. Utrostručavanjem duljine polumjera volumen će se uvećati $9$ puta, a prepolavljanjem duljine polumjera volumen će se smanjiti četiri puta.

Možemo reći da su kvadrat duljine polumjera valjka i obujam valjka međusobno proporcionalne veličine.

Zatvori

Opća formula za volumen valjka je $V = B \cdot h,$ tj. $V = r^{2} π h .$

Primjer 4.

Polumjer je baze uspravnog valjka jednak $3 cm,$ a duljina je njegove visine $5 cm .$ Izračunajmo volumen tog valjka.

Uvrštavanjem zadanih podataka u formulu za volumen valjka dobivamo da volumen valjka iznosi

$V = r^{2} π h = 3^{2} π \cdot 5 = 45 π {cm}^{3} .$

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 11.

Izračunajte volumen valjka promjera duljine $9 cm$ ako mu je visina $68 mm .$

Duljina polumjera valjka kojem je promjer $9 cm$ iznosi $4.5 cm .$ Visina je tog valjka $6.8 cm .$

Uvrštavanjem zadanih podataka u formulu za volumen valjka dobiva se

$V = r^{2} π h = {4.5}^{2} π \cdot 6.8 = 137.7 π {cm}^{3} .$

Zadatak 12.

Na tržnici se prodaju koluti sira koji imaju oblik valjka. Jedna se vrsta sira prodaje u kolutu s polumjerom duljine $8 cm$ i visinom $6 cm$ te u kolutu s polumjerom duljine $6 cm$ i visinom $11 cm .$ Cijene su jednake za kolute obiju dimenzija. Koji je kolut sira povoljniji? Rezultat zaokružite na najbliže cijelo te pri računanju upotrijebite $π \approx 3.14 .$

Uvrštavanjem u formulu za volumen dobit ćemo da je volumen prvog sira

$V_{1} = r^{2} π h = 8^{2} π \cdot 6 = 384 π {cm}^{3},$ što je približno $1 206 {cm}^{3},$ a drugog

$V_{2} = 6^{2} π \cdot 11 = 396 π {cm}^{3},$ što je približno $1 243 {cm}^{3} .$

Volumen drugog sira veći je od volumena prvog sira, stoga je drugi sir povoljniji.

Zadatak 13.

Obujam je uspravnog valjka $50.4 π {cm}^{3},$ a duljina je njegove visine $56 mm .$ Kolika je duljina polumjera tog valjka?

Uvrštavanjem zadanih podataka u formulu za obujam valjka dobivamo $50.4 π = r^{2} π \cdot 5.6,$ iz čega slijedi da je $r^{2} = 9$ i $r = 3 cm$ .

Duljina polumjera tog valjka iznosi $3 cm .$

Zatvori

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 14.

Oplošje valjka iznosi $280 π {cm}^{2},$ a duljina promjera baze $1.4 dm .$ Odredite volumen tog valjka.

Ako je duljina promjera baze $1.4 dm,$ tada je duljina polumjera $7 cm .$

Uvrštavanjem poznatih podataka u formulu za oplošje valjka $O = 2 r π \cdot (r + h)$ dobivamo da je $280 π = 2 \cdot 7 \cdot π \cdot (7 + h) .$

Kraćenjem obiju strana izaza s $14 π$ dobit ćemo $20 = 7 + h .$

Iz toga slijedi da je $h = 13 cm .$

Volumen valjka izračunat ćemo prema formuli $V = r^{2} π h .$

On iznosi $V = r^{2} π h = 7^{2} π \cdot 13 = 637 π {cm}^{3} .$

Zadatak 15.

Volumen valjka iznosi $1 218.75 π {cm}^{3},$ a duljina polumjera baze $12.5 cm .$ Koliko je oplošje tog valjka?

Uvrštavanjem zadanih podataka u formulu za obujam dobit ćemo $1 218.75 π = {12.5}^{2} π h .$

Iz toga slijedi da je $1 218.75 π = 156.25 π h .$

Dijeljenjem obiju strana s $156.25 π$ dobit ćemo $h = 7.8 cm .$

Oplošje valjka izračunat ćemo prema formuli $O = 2 r π \cdot (r + h) .$

Iz toga slijedi da je $O = 2 \cdot 12.5 \cdot π \cdot (12.5 + 7.8) = 507.5 π {cm}^{2} .$

Zadatak 16.

Površina je plašta valjka $48.16 π {cm}^{2},$ a opseg baze $86 π mm .$ Odredite oplošje i obujam valjka.

Iz površine plašta valjka dobit ćemo visinu valjka, a iz opsega baze duljinu polumjera baze.

Opseg se baze valjka računa prema formuli $o = 2 r π$ te je $86 π = 2 r π .$

Dijeljenjem obiju strana jednadžbe s $2 π$ dobivamo da je $r = 43 mm,$ tj. $r = 4.3 cm .$

Površina se plašta računa prema formuli $P = 2 r π h$ te je $48.16 π = 2 \cdot 4.3 \cdot π h .$

Dijeljenjem obiju strana jednadžbe s $8.6 π$ dobivamo da je $h = 5.6 cm .$

Oplošje valjka iznosi $O = 2 B + P = 2 \cdot {4.3}^{2} π + 48.16 π = 36.98 π + 48.16 π = 85.14 π {cm}^{2},$

a volumen $V = {4.3}^{2} π \cdot 5.6 = 103.544 π {cm}^{3} .$

Zatvori

Presjeci valjka

Zadatak 17.

Možete li prerezati valjak tako da dobijete pravokutnik? A krug?

Slike prikazuju presjeke valjka ravninom usporednom te ravninom okomitom na bazu valjka.

Rezanjem valjka ravninom koja sadrži os valjka i dva međusobno usporedna promjera njegovih baza dobit ćemo pravokutnik.

Rezanjem valjka ravninom koja je usporedna s ravninama kojima pripadaju baze valjka dobivamo krug.

S pomoću aktivnosti istražite dva osna presjeka valjka.

Osni presjek valjka je pravokutnik koji nastaje kad se valjak presiječe ravninom koja sadrži os valjka i dva međusobno usporedna promjera njegovih baza. Njegova je površina jednaka umnošku duljine promjera baze i duljine visine valjka.

Formula za površinu osnog presjeka valjka čija je duljina polumjera baze $r,$ a visina $h$ je $p_{o p} = 2 r h .$

Primjer 5.

Slastičar je izradio rođendansku tortu u kalupu valjkasta oblika promjera $28 cm,$ visoku $4 cm .$ Tortu je prerezao na dva jednaka dijela rezom koji je prošao središtima obiju baza torte kako bi iz tih dvaju dijelova izradio krila božje ovčice. Kolika je površina nastalog presjeka?

Površina osnog presjeka iznosi $p_{o p} = 28 \cdot 4 = 112 {cm}^{2} .$

Zadatak 18.

Površina je osnog presjeka valjka $18.24 {cm}^{2},$ a duljina je njegove visine $38 mm .$ Kolika je duljina polumjera baze tog valjka?

Uvrštavanjem zadanih podataka u formulu za površinu osnog presjeka valjka dobivamo $18.24 = 2 r \cdot 3.8 .$

Dijeljenjem obiju strana sa $7.6$ dobivamo da je $r = 2.4 cm .$

U posebnom slučaju, ako je duljina visine valjka jednaka promjeru njegove baze, osni je presjek valjka kvadrat. Takav valjak nazivamo jednakostraničnim valjkom.

Valjak kojemu je promjer baze jednake duljine kao i visina nazivamo jednakostraničnim valjkom.

Zadatak 19.

Osni je presjek valjka kvadrat s površinom $3.24 {dm}^{2} .$ Koliko je oplošje tog valjka?

Iz činjenice da je osni presjek valjka kvadrat, poznato nam je da je $h = 2 r .$

Stoga je $3.24 = 2 r \cdot (2 r)$ te $3.24 = 4 r^{2} .$

Dijeljenjem obiju strana jednadžbe s $4,$ a zatim korjenovanjem obiju strana dobivamo da je $r = 0.9 dm,$ tj. $r = 9 cm .$

S obzirom na to da je duljina visine dvostruko veća od duljine polumjera baze, dobivamo $h = 18 cm .$

Oplošje se valjka računa prema formuli $O = 2 B + P,$ tj. $O = 2 r π (r + h) .$

Stoga slijedi $O = 2 \cdot 9 π (9 + 18) = 486 π {cm}^{2} .$

Ante ima dva sukladna papirnata kruga i pravokutnik. Duljina jedne stranice pravokutnika jednaka je opsegu sukladnih krugova. Može li Ante od dijelova koje ima napraviti valjak?

null

Valjak je oblo geometrijsko tijelo jer su mu baze krugovi.

null

Postupak:

Valjak je oblo geometrijsko tijelo jer mu je plašt dio zakrivljene plohe.

Valjak kojem je osni presjek kvadrat naziva se valjak.

null

Osni je presjek valjka pravokutnik kojemu je jedna stranica visina valjka, a druga baze tog valjka.

null

Kod police s kanticama boje u pakiranju oblika valjka napisana je akcija. Kupci za dvostruku cijenu mogu kupiti po odabiru kanticu boje čija je visina dvostruko veća ili čija je duljina polumjera dvostruko veća od kantice koja se prodaje po uobičajenoj cijeni.

Odaberite točnu tvrdnju.

Akcija se ne isplati za ponudu koja uključuje udvostručavanje visine jer će omjer cijene i volumena dobivene boje ostati isti.

Akcija se ne isplati za ponudu koja uključuje udvostručavanje duljine polumjera kantice jer će omjer cijene i volumena dobivene boje ostati isti.

Akcija se isplati za obje ponude jer će u oba slučaja omjer cijene i volumena dobivene boje biti veći od početnog.

Akcija se ne isplati ni za jednu ponudu jer će omjer cijene i volumena dobivene boje biti manji od početnog.

null

Slastičar je za vjenčanje napravio tortu na tri kata. Visina svakog kata iznosi

6 cm .

Promjer najnižega kata iznosi

36 cm,

a promjer je svakog sljedećeg kata za

4 cm

manji od promjera prethodnog kata. Koliki je obujam te torte? Rješenje zaokružite na najbliže cijelo te za približnu vrijednost broja

π

upotrijebite

3.14 .

Slika prikazuje svadbenu tortu na tri kata. Svaki kat torte je valjkastog oblika.

π {cm}^{3}

null

Obujam valjka iznosi

147 π {cm}^{3},

a duljina visine valjka

3 cm .

Odredite oplošje tog valjka.

π {cm}^{2}

null

Osni presjek valjka je kvadrat površine

1 024 {cm}^{2} .

Odredite volumen tog valjka.

π {cm}^{3}

null

Površina baze valjka iznosi

1.21 π {cm}^{2}

, a duljina njegove visine

6 cm .

Oplošje tog valjka iznosi

π {cm}^{2}

, a volumen

π {cm}^{3} .

null

Duljina polumjera baze valjka iznosi

17 cm

, a obujam

1 445 π {cm}^{2} .

Oplošje tog valjka iznosi

π {cm}^{3} .

null

ZAVRŠITE PROCJENU

Na početku...

Zanimljivost

Mreža valjka

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Oplošje valjka

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Kutak za znatiželjne

Volumen (obujam) valjka

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 14.

Zadatak 15.

Zadatak 16.

Presjeci valjka

Zadatak 17.

Zadatak 18.

Zadatak 19.

...i na kraju

Zadatak 20.

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

10.2 Stožac