Marija je razgovarala sa svojom mamom o njezinim roditeljima, Marijinoj baki i djedu. Pitala je mamu sjeća li se svoje bake i djeda pa onda i prabake i pradjeda. Marija je odlučila istražiti svoje korijene: bake i djedove, prabake i pradjedove. Na papiru je počela slagati prikaz. Pazila je da su u jednom redu osobe iz iste generacije. Za ženske je osobe stavljala zeleni kružić, a za muške osobe plavi kružić. Pokraj crteža zapisivala je broj osoba u generaciji. Primijetila je da broj osoba jako brzo raste, toliko da više ne može nastaviti s prikazom. Isto tako, uočila je pravilnost u tome kako nastaju brojevi.
Odredite pravilnost koja povezuje napisane brojeve?
Brojevi koje je dobila, 1,2,4,8,16,32 mogu biti napisani kao umnožak broja 2 sa samim sobom.
2
2·2=4
2·2·2=8
2·2·2·2=16
2·2·2·2·2=32
Odredite koji će biti sljedeći broj u prikazu.
Sljedeći je broj u prikazu 64 jer je
2·2·2·2·2·2=64.
Primjer 1.
Brojeve 4,8,16,32,64 možemo skraćeno zapisati i čitati:
2·2=4=22, čitajmo "dva na drugu"
2·2·2=8=23, čitajmo "dva na treću"
2·2·2·2=16=24, čitajmo "dva na četvrtu"
2·2·2·2·2=32=25, čitajmo "dva na petu"
2·2·2·2·2·2=64=26, čitajmo "dva na šestu".
U izrazu mn,m,n∈N broj m množimo sa samim sobom n puta.
Zapis
mn,m,n∈N
nazivamo potencija s bazom
m
i eksponentom
n.
Baza je potencije broj koji množimo sa samim sobom. Eksponent je broj koji broji koliko je puta baza pomnožena sa samom sobom.
Uparite potenciju s prirodnom bazom i prirodnim eksponentom s njezinim značenjem kao umnoškom jednakih faktora i iznosom.
34
|
4·4·4=64 |
72
|
4·4=16 |
42
|
2·2·2·2·2·2·2=128 |
27
|
7·7=49 |
43
|
3·3·3=27 |
33
|
3·3·3·3=81 |
Proučimo kako se mijenja vrijednost potencije kada je:
Pri nepromijenjenom eksponentu, što je baza veća, veća je i vrijednost potencije.
Ako je m≤k, onda je mn≤kn, za m,n,k∈N.
Pri nepromijenjenoj bazi, što je eksponent veći, veća je i vrijednost potencije.
Ako je
n≤l, onda je
mn≤ml,
za
m,n,l∈N.
Usporedite potencije s jednakim eksponentima.
Poredajte, od najmanje do najveće, potencije bez izračunavanja njihove vrijednosti.
Pomoć:
Od dvije potencije istog prirodnog eksponenta manja je ona koja ima manju prirodnu bazu.
Usporedite potencije s jednakim bazama.
Poredajte od najmanje do najveće potencije bez izračunavanja njihove vrijednosti.
Pomoć:
Od dvije potencije jednakih prirodnih baza manja je ona koja ima manji prirodni eksponent.
U sljedećoj aktivnosti uvježbajte značenje zapisa potencijom s prirodnim eksponentom.
U sljedećoj aktivnosti ispravno uparite potenciju i njezinu vrijednost.
Izračunajte naizmjenično eksponent, bazu i vrijednost potencije tako da jednakost bude valjana.
Primjer 2.
Prikažimo broj 2 kao potenciju.
Potencija mora imati bazu i eksponent.
2=21
Potencija s eksponentom jedan ima vrijednost jednaku bazi te potencije.
m1=m
Potencija broja 1 uvijek je jednaka 1.
1k=1
Primjena potencije za rješavanje problema
Na stolu je deset kutija. U svakoj je kutiji deset manjih kutijica. U svakoj se manjoj kutijici nalazi
10 lipa. Koliko je kuna u tih
10 kutija?
U deset je kutija na stolu
10·10·10=103=1000
lipa, što iznosi
10 kuna.
Marija je u školi učila o potencijama s prirodnom bazom i prirodnim eksponentom. Htjela se uvjeriti koliko brzo raste iznos novca koji će štedjeti prema potenciji s bazom 3. Na ormarić je stavila šest kutijica.
Prvog je dana u prvu kutiju stavila
1kn.
Drugog je dana u drugu kutiju stavila trostruko više novca.
Zatim je svaki dan, sljedeća četiri dana, u jednu od kutija stavila trostruko više novca nego prethodnog dana.
Koliko je novca Marija stavila šesti dan u šestu kutiju?
Šesti dan u šestoj kutiji bilo je
35=243 kune.
Koliko bi kuna bilo deseti dan u desetoj kutijici?
Uočili smo pravilnost u kojoj je iznos kuna jednak vrijednosti potencije s bazom 3, a u eksponentu je broj za jedan manji od broja dana pa je tako šesti dan iznos bio 35=243 kune.
Deseti bi dan štednje u desetoj kutijici bilo 39=19683 kuna.
Zamislite štedjeti na sljedeći način:
Prvi dan odvojite pet kuna, drugi dan 5 puta više i svaki sljedeći dan pet puta više nego prethodni.
Koliko biste novca uštedjeli samo peti dan?
Samo biste peti dan uštedjeli
55=5·5·5·5·5=3125 kuna.
U sljedećem će videu biti pokazano kako koristiti džepno računalo za izračunavanje potencije s prirodnom bazom i eksponentom.
Bit će pokazana tri načina:
Koristeći džepno računalo, potenciju možemo računati na tri različita načina.
Koristeći džepno računalo, provjerite vrijednost potencije.
78=
57=
48=
120=
U sljedećem će videu biti pokazano kako prirodni broj prikazati potencijom.
Primjer 3.
Potenciranje je računska operacija trećeg stupnja i ima prednost nad množenjem i dijeljenjem te zbrajanjem i oduzimanjem.
Dovucite zadani rastav na proste faktore pripadnom prirodnom broju.
Uparivanje odgovora.
23·32
|
1000 |
72·27
|
72 |
33·24
|
432 |
53·23
|
6272 |
Primjer 4.
Proučimo najprije potencije s negativnom bazom i neparnim eksponentom.
(-2)3=(-2)·(-2)·(-2)=-8=-23
(-2)3=-23
(-5)5=(-5)·(-5)·(-5)·(-5)·(-5)=-3125=-55
(-5)5=-55
Potencija s negativnom bazom i neparnim eksponentom ima negativnu vrijednost.
Ako je k neparan: (-n)k=-nkn,k∈N.
Primjer 5.
Proučimo sada potencije s negativnom bazom i parnim eksponentom.
(-2)4=(-2)·(-2)·(-2)·(-2)=16=24
(-2)4=24
(-5)4=(-5)·(-5)·(-5)·(-5)=625=54
(-5)4=54
Potencija s negativnom bazom i parnim eksponentom ima pozitivnu vrijednost.
Ako je
k
paran:
(-n)k=nk,n,k∈N.
U sljedećem nizu zadataka izračunajte potenciju s negativnom bazom.
-54=
(-5)4=
(-4)5=
-45=
-44=
(-4)4=
Izračunajmo obujam kocke kojoj je duljina brida
34m.
Obujam kocke računamo tako da pomnožimo duljinu, širinu i visinu kocke.
Pomnožimo dimenzije zapisane u obliku razlomka. Umnožak je razlomaka razlomak koji u brojniku ima umnožak brojnika, a u nazivniku umnožak nazivnika.
U brojniku se pojavila potencija broja 3, a u nazivniku broja 4.
V=34·34·34=3·3·34·4·4=3343=2764
Umnožak broja sa samim sobom n puta n-ta je potencija tog broja.
Obujam kocke brida duljine iznosi
Potencija razlomka prirodnim brojem jednaka je razlomku koji u brojniku ima brojnik potenciran prirodnim brojem a u nazivniku nazivnik potenciran prirodnim brojem .
uz uvjete
U sljedećim zadatcima izračunajte i odaberite točnu vrijednost zadane potencije.
Odredite točnost zadanih jednakosti.
Primjer 6.
Poredajmo, od najveće prema najmanjoj, vrijednosti zadanih potencija. Uočimo da imaju jednake pozitivne baze manje od jednog cijelog:
Primijetimo, što je eksponent veći, to je manja vrijednost potencije.
Ako je baza potencije veća od a manja od vrijednost se potencije smanjuje što je eksponent veći.
Bez izračunavanja vrijednosti potencija, poredajte ih od najveće do najmanje.
Poredajte:
Pomoć:
Za potencije baze između i vrijedi da je to manja što je eksponent veći.
Razlomci između nula i jedan imaju brojnik manji od nazivnika.
Bez izračunavanja vrijednosti potencija, poredajte ih od najveće do najmanje.
Poredajte:
Pomoć:
Za potencije baze između i vrijedi da je to manja što je eksponent veći.
Zadana je kocka duljine brida
Koliki je obujam te kocke u metrima kubičnim?
Obujam kocke brida duljine metara iznosi .
U zadatku koji slijedi, okušajte se u računanju s potencijama.
Poštujte redoslijed računskih radnji: prvo potenciranje, a onda množenje ili dijeljenje.
Možete se poslužiti i džepnim računalom.
Ako točno riješite zadatak, čeka vas iznenađenje!
U animaciji ćete naučiti kako utvrditi je li neki prirodni broj potencija prirodnog broja korištenjem rastava broja na faktore.
Primjer 7.
Koristeći rastav na proste faktore, odgovorite na pitanja u zadatku.
Je li
potencija broja
Je li
potencija broja
Je li
potencija broja
Je li
potencija broja
Dva su brata sakupljala kovanice.
Jedan je imao pet kutija. U svakoj je kutiji bilo pet manjih kutijica, a u svakoj toj kutijici kovanica od kuna.
Drugi je imao tri kutije, u svakoj tri manje kutije, u svakoj još tri manje kutije, u svakoj još tri još manje kutije s po tri kune.
Koji je brat sakupio više novca?
Na prvoj je slici Sierpinskijev sag.
Proces njegova nastajanja prikazan je na drugoj slici.
Koliko je zelenih kvadrata u petom koraku?
Primjećujemo da je ukupan broj kvadrata u svakom sljedećem koraku puta veći od njihova broja u prethodnom koraku.
Koliko je zelenih kvadrata u petom koraku?
Primjer 8.
Preračunajmo mjerne jedinice za duljinu. Rezultat prikažimo u obliku potencija.
Primjer 9.
Preračunajmo mjerne jedinice za površinu. Rezultat prikažimo u obliku potencija.
Primjer 10.
Preračunajmo mjerne jedinice za obujam. Rezultat prikažimo u obliku potencija.
Preračunajte i zapišite koristeći potenciju s bazom
Dovucite odgovarajuće izraze na njihove jednakosti.
Uparite:
|
|
|
|
|
|
|
|
Odredite je li zadana jednakost točna.
Koliko litara vode stane u plastičnu posudu oblika kocke čija je duljina brida
Prvi način:
Izračunajmo obujam te kocke u kubičnim metrima.
Obujam kocke jednak je umnošku duljina njezinih bridova.
Kako su svi bridovi kocke duljine obujam kocke računamo
Preračunajmo kubične metre u kubične decimetre.
U tu posudu stane litara vode.
Drugi način:
Preračunajmo duljinu stranice u decimetre jer je
Izračunajmo obujam u kubičnim decimetrima.
U tu posudu stane litara vode.
Istražite povijest svoje obitelji i napravite stablo nasljeđivanja kako je to učinila Marija.
Pokušajte u razgovoru sa svojim roditeljima, bakama i djedovima saznati što više imena svojih direktnih predaka i upišite ih.
Prebrojite koliko se svojih predaka sjećate u pojedinoj generaciji.
U kojoj se generaciji gubi svaki trag imenima?
Koliko je tvojih direktnih predaka u petoj, šestoj... generaciji?