Processing math: 46%
x
Učitavanje

2.1 Potencije s prirodnim eksponentom

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Marija je razgovarala sa svojom mamom o njezinim roditeljima, Marijinoj baki i djedu. Pitala je mamu sjeća li se svoje bake i djeda pa onda i prabake i pradjeda. Marija je odlučila istražiti svoje korijene: bake i djedove, prabake i pradjedove. Na papiru je počela slagati prikaz. Pazila je da su u jednom redu osobe iz iste generacije. Za ženske je osobe stavljala zeleni kružić, a za muške osobe plavi kružić. Pokraj crteža zapisivala je broj osoba u generaciji. Primijetila je da broj osoba jako brzo raste, toliko da više ne može nastaviti s prikazom. Isto tako, uočila je pravilnost u tome kako nastaju brojevi.

Slika prikazuje grananje stabla direktnih predaka

Zadatak 1.

Odredite pravilnost koja povezuje napisane brojeve?

Brojevi koje je dobila, 1,2,4,8,16,32 mogu biti napisani kao umnožak broja  2 sa samim sobom.

2

2·2=4

2·2·2=8

2·2·2·2=16

2·2·2·2·2=32


Zadatak 2.

Odredite koji će biti sljedeći broj u prikazu.

Sljedeći je broj u prikazu 64 jer je

2·2·2·2·2·2=64.


Potencija prirodne baze i prirodnog eksponenta

Primjer 1.

Brojeve 4,8,16,32,64 možemo skraćeno zapisati i čitati:

2·2=4=22, čitajmo "dva na drugu"

2·2·2=8=23, čitajmo "dva na treću"

2·2·2·2=16=24, čitajmo "dva na četvrtu"

2·2·2·2·2=32=25, čitajmo "dva na petu"

2·2·2·2·2·2=64=26, čitajmo "dva na šestu".

U izrazu​ mn,m,nN broj m množimo sa samim sobom n puta.

Zapis mn,m,nN nazivamo potencija s bazom m i eksponentom n. Baza je potencije broj koji množimo sa samim sobom. Eksponent je broj koji broji koliko je puta baza pomnožena sa samom sobom.

Zadatak 3.

Uparite potenciju s prirodnom bazom i prirodnim eksponentom s njezinim značenjem kao umnoškom jednakih faktora i iznosom.

34
4·4·4=64
72
4·4=16
42
2·2·2·2·2·2·2=128
27
7·7=49
43
3·3·3=27
33
3·3·3·3=81
null
null

Proučimo kako se mijenja vrijednost potencije kada je:

Povećaj ili smanji interakciju

Pri nepromijenjenom eksponentu, što je baza veća, veća je i vrijednost potencije.

Ako je mk, onda je mnkn, za m,n,kN.

Pri nepromijenjenoj bazi, što je eksponent veći, veća je i vrijednost potencije.

Ako je nl, onda je mnml, za m,n,lN. 

Zadatak 4.

Usporedite potencije s jednakim eksponentima.

Poredajte, od najmanje do najveće, potencije bez izračunavanja njihove vrijednosti.

  • 412
  • 312
  • 812
  • 3012
  • 212
  • 1112
  • 612
  • 512
  • 2012
  • 1012

Pomoć:

Od dvije potencije istog prirodnog eksponenta manja je ona koja ima manju prirodnu bazu.

null

Zadatak 5.

Usporedite potencije s jednakim bazama.

Poredajte od najmanje do najveće potencije bez izračunavanja njihove vrijednosti.

  • 1012  ​
  • 101  ​
  • 106  ​
  • 103  ​
  • 109  ​

Pomoć:

Od dvije potencije jednakih prirodnih baza manja je ona koja ima manji prirodni eksponent.

null

Zapis, značenje i vrijednost potencije prirodne baze i eksponenta - vježba

Zadatak 6.

U sljedećoj aktivnosti uvježbajte značenje zapisa potencijom s prirodnim eksponentom.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 7.

U sljedećoj aktivnosti ispravno uparite potenciju i njezinu vrijednost.

Zadatak 8.

Izračunajte naizmjenično eksponent, bazu i vrijednost potencije tako da jednakost bude valjana.

Povećaj ili smanji interakciju

Primjer 2.

Prikažimo broj 2  kao potenciju. ​

Potencija mora imati bazu i eksponent.

2=21 

Potencija s eksponentom jedan ima vrijednost jednaku bazi te potencije.

m1=m

Potencija broja 1 uvijek je jednaka 1.

1k=1 

Primjena potencije za rješavanje problema

Zadatak 9.

Na stolu je deset kutija. U svakoj je kutiji deset manjih kutijica. U svakoj se manjoj kutijici nalazi 10 lipa. Koliko je kuna u tih 10 kutija?

Na slici je 10 lipas lica i naličja
Na ilustraciji je prikazano deset kutija. U svakoj kutiji je deset manjih kutijica. U svakoj manjoj kutijici se nalazi kovanica od 10 lipa.

U deset je kutija na stolu 10·10·10=103=1000  lipa, što iznosi  10 kuna.


Zadatak 10.

Marija je u školi učila o potencijama s prirodnom bazom i prirodnim eksponentom. Htjela se uvjeriti koliko brzo raste iznos novca koji će štedjeti prema potenciji s bazom 3. Na ormarić je stavila šest kutijica.

Prvog je dana u prvu kutiju stavila 1kn.

Drugog je dana u drugu kutiju stavila trostruko više novca.

Zatim je svaki dan, sljedeća četiri dana, u jednu od kutija stavila trostruko više novca nego prethodnog dana.

Koliko je novca Marija stavila šesti dan u šestu kutiju?

Šesti dan u šestoj kutiji bilo je 35=243 kune.


Koliko bi kuna bilo deseti dan u desetoj kutijici?

Uočili smo pravilnost u kojoj je iznos kuna jednak vrijednosti potencije s bazom 3, a u eksponentu je broj za jedan manji od broja dana pa je tako šesti dan iznos bio ​ 35=243 kune.

Deseti bi dan štednje u desetoj kutijici bilo 39=19683 kuna.


Zadatak 11.

Zamislite štedjeti na sljedeći način:

Prvi dan odvojite pet kuna, drugi dan 5 puta više i svaki sljedeći dan pet puta više nego prethodni.

Koliko biste novca uštedjeli samo peti dan?

Samo biste peti dan uštedjeli

55=5·5·5·5·5=3125 kuna.


U sljedećem će videu biti pokazano kako koristiti džepno računalo za izračunavanje potencije s prirodnom bazom i eksponentom.

Bit će pokazana tri načina:

Koristeći džepno računalo, potenciju možemo računati na tri različita načina.  

Zadatak 12.

Koristeći džepno računalo, provjerite vrijednost potencije.

  1. 78=

    null
    null
  2. 57= 

    null
    null
  3. 48= 

    null
    null
  4. 120= 

    null
    null

U sljedećem će videu biti pokazano kako prirodni broj prikazati potencijom.

Primjer 3.


Potenciranje je računska operacija trećeg stupnja i ima prednost nad množenjem i dijeljenjem te zbrajanjem i oduzimanjem.

Zadatak 13.

Dovucite zadani rastav na proste faktore pripadnom prirodnom broju.

Uparivanje odgovora.

23·32
1000 
72·27
72 
33·24
432 
53·23
6272 
null
null

Potenciranje cjelobrojne negativne baze

Primjer 4.

Proučimo najprije potencije s negativnom bazom i neparnim eksponentom.

(-2)3=(-2)·(-2)·(-2)=-8=-23 

(-2)3=-23

(-5)5=(-5)·(-5)·(-5)·(-5)·(-5)=-3125=-55 

(-5)5=-55

Potencija s negativnom bazom i neparnim eksponentom ima negativnu vrijednost.

Ako je k neparan: (-n)k=-nkn,kN.

Primjer 5.

Proučimo sada potencije s negativnom bazom i parnim eksponentom.

(-2)4=(-2)·(-2)·(-2)·(-2)=16=24

(-2)4=24

(-5)4=(-5)·(-5)·(-5)·(-5)=625=54

(-5)4=54 

Potencija s negativnom bazom i parnim eksponentom ima pozitivnu vrijednost.

Ako je k  paran: (-n)k=nk,n,kN.

Zadatak 14.

U sljedećem nizu zadataka izračunajte potenciju s negativnom bazom.

  1. -54= 

    null
    null
  2. (-5)4= 

    null
    null
  3. (-4)5= 

    null
    null
  4. -45= 

    null
    null
  5. -44= 

    null
    null
  6. (-4)4= 

    null
    null

Potenciranje racionalnog broja zapisanog razlomkom

Izračunajmo obujam kocke kojoj je duljina brida 34m.

Obujam kocke računamo tako da pomnožimo duljinu, širinu i visinu kocke. 

Kocka duljine brida tri četvrtine metra.

Pomnožimo dimenzije zapisane u obliku razlomka. Umnožak je razlomaka razlomak koji u brojniku ima umnožak brojnika, a u nazivniku umnožak nazivnika.

U brojniku se pojavila potencija broja 3, a u nazivniku broja 4.

V=34·34·34=3·3·34·4·4=3343=2764  

Umnožak broja sa samim sobom n puta n-ta je potencija tog broja.

3 4 · 3 4 · 3 4 = ( 3 4 ) 3 = 27 64 Obujam kocke brida duljine 3 4 m iznosi 27 64 m 3 .


Potencija razlomka prirodnim brojem n jednaka je razlomku koji u brojniku ima brojnik potenciran prirodnim brojem n , a u nazivniku nazivnik potenciran prirodnim brojem n . ​

a b 3 = a n b n uz uvjete a Z , b , n N .

Zadatak 15.

U sljedećim zadatcima izračunajte i odaberite točnu vrijednost zadane potencije.

  1. 1 4 3 =

    null
    null
  2. - 1 4 3 =  

    null
    null
  3. - 3 5 4 =  

    null
    null
  4. 2 4 3 =

    null
    null
  5. - 3 4 4 =

    null
    null
  6. - 3 4 4 =

    null
    null
  7. - - 4 5 3 =  

    null
    null

Zadatak 16.

Odredite točnost zadanih jednakosti.

  1. - 2 3 4 = 16 81

    null
    null
  2. ( - 2 3 ) 4 = 16 81

    null
    null
  3. 1 10 5 = 1 10 000  

    null
    null
  4. - 1 10 5 = 1 100 000

    null
    null
  5. - 3 10 4 = - 81 10 000

     

    null

Uspoređivanje potencija pozitivnih baza manjih od jedan

Primjer 6.

Poredajmo, od najveće prema najmanjoj, vrijednosti zadanih potencija. Uočimo da imaju jednake pozitivne baze manje od jednog cijelog:

0.1 2 = 0.01

0.1 3 = 0.001

0.1 4 = 0.0001

0.1 5 = 0.00001

Primijetimo, što je eksponent veći, to je manja vrijednost potencije.

Ako je baza potencije veća od 0 , a manja od 1 , vrijednost se potencije smanjuje što je eksponent veći.

Zadatak 17.

Bez izračunavanja vrijednosti potencija, poredajte ih od najveće do najmanje.

Poredajte:

  • 0.5 2
  • 0.5 15   ​
  • 0.5 10   ​
  • 0.5 5   ​
  • 0.5 3  

Pomoć:

Za potencije baze između 0 i 1 vrijedi da je to manja što je eksponent veći.

 

Razlomci između nula i jedan imaju brojnik manji od nazivnika.

Zadatak 18.

Bez izračunavanja vrijednosti potencija, poredajte ih od najveće do najmanje.

Poredajte:

  • ( 2 3 ) 3   ​
  • ( 2 3 ) 5
  • ( 2 3 ) 2
  • ( 2 3 ) 4

Pomoć:

Za potencije baze između 0 i 1 vrijedi da je to manja što je eksponent veći.

 

Zadatak 19.

Zadana je kocka duljine brida 0.56 m .

Koliki je obujam te kocke u metrima kubičnim?

0.56 · 0.56 · 0.56 = 0.56 3 = 0.175616 m 3  

Obujam kocke brida duljine 0.56   metara iznosi 0.175616 m 3 ​.


Zadatak 20.

U zadatku koji slijedi, okušajte se u računanju s potencijama.

Poštujte redoslijed računskih radnji: prvo potenciranje, a onda množenje ili dijeljenje.

Možete se poslužiti i džepnim računalom.

Ako točno riješite zadatak, čeka vas iznenađenje!

Povećaj ili smanji interakciju

U animaciji ćete naučiti kako utvrditi je li neki prirodni broj potencija prirodnog broja korištenjem rastava broja na faktore.

Primjer 7.

Zadatak 21.

Koristeći rastav na proste faktore, odgovorite na pitanja u zadatku.

  1. Je li 625 potencija broja 5 ?

    null
    null
  2. Je li 486 potencija broja 3 ?

    null
    null
  3. Je li 200 potencija broja 2 ?

    null
    null
  4. Je li 900 potencija broja 3 ?

    null
    null

Zadatak 22.

Dva su brata sakupljala kovanice.

Jedan je imao pet kutija. U svakoj je kutiji bilo pet manjih kutijica, a u svakoj toj kutijici kovanica od 5 kuna.

Drugi je imao tri kutije, u svakoj tri manje kutije, u svakoj još tri manje kutije, u svakoj još tri još manje kutije s po tri kune.

Koji je brat sakupio više novca?

Na slici je prikazamo pet većih kutija u kojima se nalazi 5 manjih kutija  s po pet kuna

Prvi je brat sakupio 5 3 = 125 kune.

Na slici je prikazana  potencija 3^5. Tri kutije s tri manje kutuje s tri još manje kutije s tri još manje kutijeu svakoj 3 kune.

Drugi je brat sakupio 3 5 = 243 kune.

Više je sakupio drugi brat koji je sakupljao po tri kune.

Zadatak 23.

Na prvoj je slici Sierpinskijev sag.

Proces njegova nastajanja prikazan je na drugoj slici.

  • U prvom je koraku 1 zeleni kvadrat.
  • U drugom je koraku 8 zelenih kvadrata.​
  • U trećem su koraku 64 zelena kvadrata.
  • U četvrtom je koraku 512 zelenih kvadrata.

Koliko je zelenih kvadrata u petom koraku?

Primjećujemo da je ukupan broj kvadrata u svakom sljedećem koraku 8 puta veći od njihova broja u prethodnom koraku.​

  • U drugom je koraku  2 8 zelenih kvadrata, 8 = 8 1 .
  • U trećem su koraku  3 64 zelena kvadrata, 64 = 8 2 .
  • U četvrtom je koraku  4 512 zelenih kvadrata, 512 = 8 3 .

Koliko je zelenih kvadrata u petom koraku?

  • U petom je koraku  5 8 4 = 4 096 zelenih kvadrata. ​

Primjena potencije u preračunavanju mjernih jedinica

Primjer 8.

Preračunajmo mjerne jedinice za duljinu. Rezultat prikažimo u obliku potencija.

1 km = 1 000 m = 10 · 10 · 10 m = 10 3 m

1 km = 100 000 cm = 10 5 cm

Primjer 9.

Preračunajmo mjerne jedinice za površinu. Rezultat prikažimo u obliku potencija.

1 m 2 = ( 100 · 100 ) cm 2 = 10 000 cm 2 = 10 4 cm 2

1 km 2 = 1 000 000 m 2 = 10 6 m 2

Primjer 10.

Preračunajmo mjerne jedinice za obujam. Rezultat prikažimo u obliku potencija.

1 m 3 = ( 10 · 10 · 10 ) dm 3 = 1 000 dm 3 = 10 3 dm 3

1 m 3 = ( 1 000 · 1 000 · 1 000 ) mm 3 = 10 9 mm 3

Zadatak 24.

Preračunajte i zapišite koristeći potenciju s bazom 10 .

Dovucite odgovarajuće izraze na njihove jednakosti.

 Uparite:

1 cm
10 3 m  
1 dm  
10 2 mm
1 km
10 3 mm  
1 m
10 1 mm  
null
null

Zadatak 25.

Odredite je li zadana jednakost točna.

  1. 1 km 2 = 10 5 m 2  

    null
    null
  2. 1 m 2 = 10 2 dm 2  

    null
    null
  3. 1 dm 2 = 10 6 mm 2  

    null
    null
  4. 1 cm 2 = 10 2 mm 2

    null
    null
  5. 10 9 m 3 =  

    null
    null
  6. 10 6 cm 3 =    

    null
    null
  7. 10 3 dm 3 =  

    null
    null
  8. 1 dm 3 =    

    null
    null

Zadatak 26.

Koliko litara vode stane u plastičnu posudu oblika kocke čija je duljina brida 0.75 m ?

  1. Prvi način:

    Izračunajmo obujam te kocke u kubičnim metrima.
    Obujam kocke jednak je umnošku duljina njezinih bridova.

    Kako su svi bridovi kocke duljine a , obujam kocke računamo

    V = a · a · a = a 3 .

    V = 0.75 3 = 0.421875 m 3

    Preračunajmo kubične metre u kubične decimetre.

    1 dm 3 = 1 l

    0.421875 m 3 = 421.875 dm 3 = 421.875 l  

    U tu posudu stane 421.875 litara vode.​

  2. Drugi način:

    Preračunajmo duljinu stranice u decimetre jer je 1 dm 3 = 1 l .

    0.75 m = 7.5 dm

    Izračunajmo obujam u kubičnim decimetrima.

    V = 7.5 3 = 421.875 dm 3

    U tu posudu stane 421.875 litara vode. ​


...i na kraju

Istražite povijest svoje obitelji i napravite stablo nasljeđivanja kako je to učinila Marija.

Pokušajte u razgovoru sa svojim roditeljima, bakama i djedovima saznati što više imena svojih direktnih predaka i upišite ih.
Prebrojite koliko se svojih predaka sjećate u pojedinoj generaciji.
U kojoj se generaciji gubi svaki trag imenima?
Koliko je tvojih direktnih predaka u petoj, šestoj... generaciji?  

Prikaz direktnih predaka kroz generacije

Idemo na sljedeću jedinicu

2.2 Množenje i dijeljenje potencija s bazom 10