Processing math: 87%
x
Učitavanje
  1. Matematika 8
  2. 6. Preslikavanja ravnine
  3. 6.1 Vektori

6.1 Vektori

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Što ću naučiti?
Samostalno učenje
Procijenite svoje znanje
Sadržaj jedinice
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Robot je programiran tako da slijedi crtu sve dok ga crta ne izvede izvan „polja“. Opišite kretanje robota tako da svatko može, bez gledanja u vašu sliku, nacrtati stazu (crtu) kojom se robot treba kretati.
Na slici lijevo prikazan je robot na stazi nacrtanoj u mreži kvadratića. Na slici desno je prazna mreža kvadratića.
Slika prikazuje stazu (mrežu kvadratića) u koordinatnom sustavu

Upute se mogu dati na razne načine.

Jedan je pomoću opisa smjera i udaljenosti koju robot mora prijeći u pojedinom smjeru. Robot se treba kretati 50cm južno, zatim skrenuti udesno i prijeći 20cm prema zapadu, ponovno skrenuti udesno i voziti 10cm prema sjeveru, zatim skrenuti prema sjeveroistoku i voziti se 10√2cm, a potom skrenuti sjeverozapadno i prijeći udaljenost od 10√2cm. Nakon toga robot treba prijeći 30cm prema sjeveru, 20cm prema zapadu, 10cm prema jugu te zatim skrenuti jugoistočno i voziti se 10√2cm. Slijedi okret prema jugozapadu i vožnja duljine 20√2cm, okret prema jugoistoku i vožnja od 10√2cm te, konačno, vožnja duljine 20cm prema jugu.

Drugi način može biti definiranje pravokutnog koordinatnog sustava u ravnini.

Robot kreće od točke zadane koordinatom (5,6) do točke zadane koordinatom (5,1). Zatim se kreće od točke (5,1) do točke zadane koordinatom (3,1), od točke s koordinatom (3,1) do točke (3,2), a od nje do točke (4,3). Dalje, od točke zadane koordinatom (4,3) vozi do točke zadane koordinatom (3,4), a zatim do točke s koordinatom (3,7). Od točke zadane koordinatom (3,7) robot se vozi do točke zadane koordinatom (1,7). Nakon toga ide do točke (1,6), zatim do točke (2,5) te potom do točke (0,3). Slijedi vožnja do točke zadane koordinatom (1,2) te vožnja do točke zadane koordinatom (1,0).

Zadatak 1.

Petar je Matiji sakrio iznenađenje u vrtu. Pokazao mu je gdje treba započeti potragu, a zatim mu je dao niz kartica s uputama. Matija je nakon nekog vremena shvatio da su neke kartice lažne jer mu ne daju nikakvu korisnu informaciju. Izbacio ih je i uspješno pronašao skriveni poklon. Koje su kartice bile lažne? Gdje Matija treba potražiti skriveno iznenađenje?

Na slici su kartice s uputama prema kojima Matija treba pronaći svoj poklon.

Kartice koje su Matiju trebale zavarati bile su kartice na kojima je bila samo jedna informacija ili samo udaljenost koju treba prijeći ili samo smjer u kojem treba ići.

Matija se ukupno trebao kretati 3 metra sjeverno, 2.5 metra istočno, 15 metara južno i 3 metra zapadno. Kako su smjerovi sjever i jug te istok i zapad međusobno suprotni, Matija je zapravo trebao prijeći 12 metera južno te 0.5 metara zapadno.

Na isto bi mjesto došao i da je prvo prešao 0.5 metra zapadno, a zatim 12 metara južno.

Kao što ste mogli primijetiti u prethodnim primjerima, kako bismo točno opisali kretanje, bile su nam potrebne dvije informacije, smjer i udaljenosti ili koordinate početne i krajnje točke.

Osnovni pojmovi

Na slici je vektor AB.

Vektor je usmjerena dužina kojoj je jedna rubna točka određena za početak, a druga za kraj (završetak). Vektor, kojemu je početna točka A, a završna točka B, označavamo →AB.

Zanimljivost

S pojmom vektor upoznali ste se u sedmome razredu u fizici kada ste učili o silama.

Sila je vektorska veličina. Ona, osim iznosa, ima hvatište (početak sile), smjer (pravac duž kojeg sila djeluje) i orijentaciju.

Više o silama pročitajte u članku Što je zapravo sila?, čiji je autor Berti Erjavec, a koji je objavljen u Matematičko-fizičkom listu.

Svaki vektor ima svoju duljinu, smjer i orijentaciju.

Duljina vektora →AB jednaka je duljini dužine ¯AB. Pišemo |→AB|=|AB|.

Duljinu vektora nazivamo još i modulom vektora.

Smjer vektora određen je pravcem kojemu vektor pripada.

Orijentaciju vektora pokazuje njegova strelica.

Zanimljivost

  • Smjer u hrvatskome jeziku ima više značenja, no svako je na neki način vezano za riječ pravac. Pogledajte značenje riječi smjer na stranicama Hrvatskoga jezičnog portala. ​
  • Kako bismo se orijentirali u prostoru, rabimo kompas. Strelica kompasa orijentira nas prema sjeveru. Tako i orijentaciju vektora pokazuje njegova strelica. ​

Primjeri

Vektori mogu pripadati istom pravcu, paralelnim pravcima ili pravcima koji nisu međusobno paralelni. Među vektorima koji su na istom ili na paralelnim pravcima razlikovat ćemo one koji imaju istu orijentaciju ili suprotne orijentacije.

Primjer 1.

Na slici su vektori s istog pravca s istom orijentacijom.

Vektori →AB i →CD pripadaju istom pravcu i imaju jednaku orijentaciju.

​

Na fotografiji psi vuku saonice.

Vektori sila kojima psi vuku saonice djeluju duž istog pravca te imaju isti smjer i istu orijentaciju.

Primjer 2.

Na slici su parovi suprotno orijentiranih vektora na istom pravcu.

Vektori →EF i →GH pripadaju istom pravcu i imaju suprotne orijentacije.

Na fotografiji dva psa povlače konop.

Vektori sila kojima konop vuku dva psa sa slike pripadaju istom pravcu, imaju isti smjer, ali suprotnu orijentaciju.

Primjer 3.

Na slici su vektori iste orijentacije na paralelnim pravcima.

Vektori →JK i  →LM pripadaju paralelnim pravcima i imaju jednake orijentacije.

Primjer 4.

Na slici su vektori suprotne orijentacije na paralelnim pravcima.

Vektori →NO  i  →PR pripadaju paralelnim pravcima i imaju suprotne orijentacije.

Vektori su istog smjera ako pripadaju istom pravcu ili međusobno paralelnim pravcima.

Primjer 5.

Na slici su tri kolinearna vektora iste orijentacije.

Vektori  →AB,  →CD i  →EF imaju isti smjer i istu orijentaciju.

Fotografija prikazuje ribare koji iz mora izvlače mrežu.

Vektori sila kojima ribari vuku mrežu pripadaju paralelnim pravcima te imaju isti smjer i istu orijentaciju.

Primjer 6.

Na slici su kolinearni vektori suprotnih orijentacija.

Vektori →GH i →IJ imaju isti smjer i suprotne orijentacije.

Ako vektori imaju isti smjer (pripadaju istom pravcu ili paralelnim pravcima), onda kažemo da su ti vektori kolinearni.

Jednaki i suprotni vektori

Vektori su jednaki ako:

  • pripadaju istom pravcu ili paralelnim pravcima
  • imaju jednake orijentacije
  • imaju jednake duljine.

Dakle, jednaki vektori imaju jednaku duljinu, isti smjer i orijentaciju.

Na slici su prikazani predstavnici četiriju različitih vektora.

Sve međusobno jednake vektore možemo predočiti jednim, među njima odabranim vektorom. Taj je vektor predstavnik svih međusobno jednakih vektora.

Vektore (tj. njihove predstavnike) označavamo malim latiničnim slovima iznad kojih pišemo strelicu.

Nul-vektor je vektor koji počinje i završava u istoj točki.
Oznaka nul-vektora je →0, njegova duljina jednaka je 0, a smjer nul-vektora nije definiran.

Na slici su dva međusobno suprotna vektora koji pripadaju paralelnim pravcima.

Dva su vektora međusobno suprotna ako pripadaju istom ili paralelnim pravcima (kolinearni su), imaju jednake duljine, ali suprotne orijentacije.

Vektor suprotan vektoru →a označavamo  -→a.

Primjer 7.

Neka su točke P i Q polovišta stranica ¯AB i ¯CD paralelograma ABCD.
Napišimo sve vektore kojima su krajnje točke A, B, C, D, P ili Q, a koji su jednaki vektoru:

a. →PB

Na slici je paralelogram ABCD i vektor PB (pri čemu je P polovište stranice AB paralelograma ABCD).
Na slici je paralelogram ABCD i vektor PB (pri čemu je P polovište stranice AB paralelograma ABCD) i vektori koji su jednaki vektoru PB.

a. Vektoru →PB jednaki su vektori →AP, →DQ i →QC.

b. →AQ

Slika prikazuje paralelogram ABCD te točku Q koja je polovište dužine DC i vektor AQ.
Na slici je paralelogram ABCD i vektor AQ (pri čemu je P polovište stranice AB, a Q polovište stranice CD paralelograma ABCD) te vektor jednak vektoru AQ.

b. Vektor →AQ jednak je vektoru →PC.

Primjer 8.

Neka su točke P i Q polovišta stranica ¯AD i ¯BC paralelograma ABCD.
Napiši sve vektore kojima su krajnje točke A, B, C, D, P ili Q, a koji su suprotni vektoru:

a. →PA

Na slici je paralelogram ABCD i vektor PA (pri čemu je P polovište stranice AD, a Q polovište stranice BC paralelograma ABCD).
Na slici je paralelogram ABCD i vektor PA (pri čemu je P polovište stranice AD, a Q polovište stranice BC paralelograma ABCD) te sve njemu suprotne vektore. .

a. Vektoru →PA suprotni su vektori →AP, ​ →PD, ​ →BQ i ​ →QC.

b. →DQ.

Na slici je paralelogram ABCD i vektor DQ (pri čemu je P polovište stranice AD, a Q polovište stranice BC paralelograma ABCD) te vektori suprotni zadanom vektoru.
Slika prikazuje vektore suprotne vektoru DQ.

b. Vektoru →DQ suprotni su vektori →QD i ​ →BP

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Na slici je kvadrat ABCD i polovište E stranice BC.

Na slici je kvadrat ABCD. Točka E polovište je stranice ¯BC.

  1. Koliko vektora počinje u točki A, a završava u nekoj od imenovanih točaka kvadrata?

    Pomoć:

    Vektor koji počinje u točki A može završiti u bilo kojoj od pet imenovanih točaka.

    null

  2. Koji su vektori suprotni vektoru →BE?     

    Pomoć:

    Suprotni vektori imaju isti smjer i duljinu, ali suprotne orijentacije.

    null

  3. Jesu li vektori →AE i →DE jednaki?​

    Pomoć:

    Vektori nisu kolinearni pa ne mogu biti jednaki.

    null

Zadatak 3.

Na slici je kvadrat ABCD i točke E, F, G i H koje su redom polovišta stranica BC, CD, DA i AB.

Na slici je kvadrat ABCD. Točka E polovište je stranice ¯BC, F polovište stranice ¯CD, G polovište stranice ¯DA i H polovište stranice ¯AB.

  1. Koji od vektora nije kolinearan s vektorom →GH?      

    null
    null

  2. Koji je od vektora jednak vektoru →DA?

    null
    null

  3. Koji od vektora imaju orijentaciju suprotnu orijentaciji vektora →AB?

    null
    null
Zatvori

Promotrite vektore na modelu pravilnog šesterokuta. Vektori su određeni vrhovima šesterokuta i središtem šesterokutu opisane kružnice.

Vektori u koordinatnom sustavu

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Zadan je vektor →AB kojemu je početak u točki A(1,-2), a završetak u točki B(5,3). Nacrtajte u bilježnicu vektor →AB, a zatim nacrtajte na papiru:​

  1. vektor →CD jednak vektoru →AB kojemu je početna točka C(-4,2)
  2. vektor →EF suprotan vektoru →AB kojemu je početna točka E(6,1).

Odredite koordinate točaka D i F.

Na slici su vektori AB, CD i EF u koordinatnom sustavu.

D(0,7), F(2,-4)

Zadatak 5.

Za crtanje pri rješavanju zadatka koristite gotov predložak za ucrtavanje točaka s cjelobrojnim koordinatama.

U pravokutnom koordinatnom sustavu vektoru →AB početna je točka A(-5,2), a završna B(-1,6).

Vektor →CD jednak je vektoru →AB, a početna mu je točka C(2,-3).

Koje su koordinate završne točke D vektora →CD?

Pomoć:

Nacrtajte odgovarajuću sliku u koordinatnom sustavu.

null
Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 6.

Za crtanje pri rješavanju zadatka koristite gotov predložak za ucrtavanje točaka s cjelobrojnim koordinatama.

U pravokutnom koordinatnom sustavu vektoru ​ →AB početna je točka A(-5,2), a završna B(-1,6). Vektor →HI jednak je vektoru →AB, a završna točka mu  je I(3,5).

Koje su koordinate početne točke H vektora  →HI?

Pomoć:

Nacrtajte odgovarajuću sliku u koordinatnom sustavu.

null
Povećaj ili smanji interakciju
Zatvori

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Za crtanje pri rješavanju zadatka koristite gotov predložak za ucrtavanje točaka s cjelobrojnim koordinatama.

U pravokutnom koordinatnom sustavu vektoru →AB početna je točka A(-5,2), a završna B(-1,6).​

Vektor →KL suprotan je vektoru →AB, a početna mu je točka K(3,5).
Koje su koordinate završne točke L vektora →KL?

Pomoć:

Nacrtajte odgovarajuću sliku.

null

Zadatak 8.

Na papiru u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini nacrtajte sliku prema sljedećim uputama.

  1. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (4,-4), a krajnja točka (6,-4).
  2. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (6,-4), a krajnja točka (6,-1).
  3. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (6,-1), a krajnja točka (7,0).
  4. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (7,0), a krajnja točka (8,0).
  5. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (8,0), a krajnja točka (7,1).
  6. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (7,1), a krajnja točka (6,3).
  7. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (6,3), a krajnja točka (6,4).
  8. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (6,4), a krajnja točka (7,4).
  9. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (7,4), a krajnja točka (7,6).
  10. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (7,6), a krajnja točka (5,6).
  11. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (5,6), a krajnja točka (5,5).
  12. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (5,5), a krajnja točka (3,5).
  13. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (3,5), a krajnja točka (3,6).
  14. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (3,6), a krajnja točka (4,6).
  15. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (4,6), a krajnja točka (4,4).
  16. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (4,4), a krajnja točka (5,4).
  17. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (5,4), a krajnja točka (5,3).
  18. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (5,3), a krajnja točka (4,0).
  19. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (4,0), a krajnja točka (5,-1).
  20. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (5,-1), a krajnja točka (5,-3).
  21. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (5,-3), a krajnja točka (4,-3).
  22. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (4,-3), a krajnja točka (4,-4).
  23. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (7,6), a krajnja točka (8,7).
  24. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (8,7), a krajnja točka (7,7).
  25. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (7,7), a krajnja točka (7,6).
  26. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (6,6), a krajnja točka (6,7).
  27. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (6,7), a krajnja točka (5,7).
  28. Nacrtajte vektor kojemu je početna točka (5,7), a krajnja točka (6,6).

Nakon što ste nacrtali sliku, riješite zadatke.

  1. Crvenom bojom istaknite dva jednaka vektora.
  2. Plavom bojom istaknite dva suprotna vektora.
  3. Zelenom bojom istaknite dva kolinearna vektora.
  4. Žutom bojom istaknite dva nekolinearna vektora.
Slika nastala ucrtavanjem zadanih vektora u koordinarni sustav prikazuje miša.

 

  Na slikama su neka od mogućih rješenja:

Na slici su primjeri jednakih vektora na slici miša.
Na slici su primjeri suprotnih vektora na slici miša.

 ​

Na slici su primjeri kolinearnih vektora na slici miša.

 ​

Na slici su primjeri nekolinearnih vektora na slici miša.

 

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Zadatak 9.

Slika prikazuje pravilni šesterokut ABCDEF, točke P i R koje su polovišta stranica BC i CD te točku S koja je središte tom šesterokutu opisane kružnice.

Nacrtan je pravilni šesterokut ABCDEF. Točka S je središte tom šesterokutu opisane kružnice, P je polovište stranice ¯BC, a R je polovište stranice ¯CD.

  1. Koji su od vektora kolinearni s vektorom →PR?

    Slika prikazuje šesterokut s istaknutiim polovištem R stranice CD te polovištem P stranice BC..


    null
    null

  2. Koji su od vektora dvostruko dulji od vektora →AS?

    Slika prikazuje šesterokut s istaknutiim polovištem R stranice CD te polovištem P stranice BC..



  3. Promotri sliku i razvrstaj vektore prema traženom uvjetu.

    Slika prikazuje šesterokut s istaknutiim polovištem R stranice CD te polovištem P stranice BC..


    →EB  ​

     Kolinearni vektoru →ES 

     Nisu kolinearni vektoru →ES 

     

     

  4. Promotrite sliku pa spojite parove vektora iste orijentacije.

    Slika prikazuje šesterokut s istaknutiim polovištem R stranice CD te polovištem P stranice BC..


    →BP 
    		→EC  ​
    →AC
    		→SR  
    →BS
    		→FE  ​
    →PR
    		→RD  ​
    →SP
    		→AE  ​

...i na kraju

Naučili ste osnovne pojmove o vektorima, kao i:

Koristeći stečena znanja, riješite sljedeće zadatke.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

  1. Nekolinearni vektori →a  i  →b nacrtani su u različitim položajima. Za svaku sliku odaberite odgovarajući opis.

    Slika prikazuje nekolinearne vektore a i b.

    null
    null


  2. Slika prikazuje nekolinearne vektore a i b sa zajedničkom krajnjom točkom.

    null
    null


  3. Slika prikazuje nekolinearne vektore a i b sa zajedničkom početnom točkom.

    null
    null


  4. Slika prikazuje nekolinearne vektore a i b pri čemu je kranja točka vektora a početna točka vektora b.

    null
    null


  5. Slika prikazuje nekolinearne vektore b i a pri čemu je kranja točka vektora b početna točka vektora a.

    null
    null

Zadatak 11.

Povećaj ili smanji interakciju
Zatvori

Idemo na sljedeću jedinicu

6.2 Zbrajanje i oduzimanje vektora