Matematika 8 - 1.3 Zbrajanje i oduzimanje algebarskih izraza

Algebarski izrazi

Površine koje se sastoje od: 5 sukladnih pravokutnika, 5 sukladnih kvadrata, te kvadrata i pravokutnika

Uočimo kako su u prvoj liniji svi pribrojnici istoimeni pa njihov zbroj možemo prikazati kao umnožak.

U drugom su slučaju svi pribrojnici raznoimeni pa zbroj ostaje prikazan u istom obliku. Promotrimo sada površine na slici.

$5 \cdot a \cdot b$

$5 \cdot x^{2}$

$n^{2} + m \cdot n$

Zbroj površina prvih dvaju likova na slici možemo zapisati na sljedeći način:

Svi su pribrojnici istoimeni pa njihov zbroj možemo prikazati kao umnožak.

$a \cdot b + a \cdot b + a \cdot b + a \cdot b + a \cdot b = a b + a b + a b + a b + a b = 5 \cdot a \cdot b = 5 a b$

$x^{2} + x^{2} + x^{2} + x^{2} + x^{2} = 5 \cdot x^{2} = 5 x^{2}$

Izraze oblika

$n^{2} + m \cdot n,$

$5 \cdot a \cdot b, 5 \cdot x^{2}$

$a + b$

nazivamo algebarski izrazi.

Primjer 1.

Zadan je prikaz u obliku izlomljene linije.

Izračunajmo duljinu izlomljene linije na slici ako $k$ predstavlja duljinu od $20$ metara, $k = 20 m .$

Zapišimo na papir duljinu izlomljene linije algebarskim izrazom.

Izračunajmo duljinu linije.

Algebarski izraz: $k + k + k + k = 4 \cdot k .$

Vrijedi: $4 \cdot k = 4 \cdot 20 = 80 .$

Duljina zadane linije iznosi $80$ metara.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Slika prikazuje neki položaj pet jednakih pravokutnih strunjača.

U sportskoj su dvorani poslagane pravokutne strunjače kako je prikazano na slici. Sve strunjače imaju iste dimenzije, $2 m \times 1 m .$

Zapišimo na papir površinu poda prekrivenog strunjačama algebarskim izrazom. Odredimo kolika je površina poda prekrivenog strunjačama?

Pet je strunjača, a svaka od njih ima površinu $a \cdot b .$

Algebarski izraz kojim opisujemo površinu poda prekrivenog strunjačama je $5 \cdot a \cdot b. .$

Uvrstimo u taj izraz zadane vrijednosti (duljine stranica strunjače)

$5 \cdot a \cdot b = 5 \cdot 2 \cdot 1 = 10 .$

Površina poda prekrivenog strunjačama je $10 m^{2} .$

Zadatak 2.

Vrt se sastoji od pet jednakih kvadratnih gredica. Duljina stranice jedne gredice iznosi $4.5$ metra. Algebarskim izrazom zapišite na papir ukupnu površinu gredica. Izračunajte ukupnu površinu gredica.

$5 \cdot x^{2} = 5 \cdot {4.5}^{2} = 5 \cdot 20.25 = 101.25$

Ukupna površina svih gredica u vrtu iznosi $101.25 m^{2} .$

Zadatak 3.

Tlocrt sastavljen od jednog kvadrata i jednog pravokutnika

Marta ima malu garsonijeru. Tlocrt je garsonijere prikazan na slici. Kvadrat ima stranicu duljine $4 m,$ a pravokutnik stranice duljina $4 m$ i $6.5 m .$ Algebarskim izrazom zapišite na papir površinu garsonijere. Izračunajte površinu garsonijere.

$P = n^{2} + m \cdot n$

$P = 4^{2} + 4 \cdot 6.5$

$P = 16 + 26$

$P = 42$

Površina je Martine garsonijere $42 m^{2} .$

Zatvori

U algebarskim izrazima oblika $a \cdot b \cdot c$ možemo izostaviti znak puta i pisati $a b c .$

Vrijednost algebarskog izraza

Zadatak 4.

U zadatku spajanja parova zadana je vrijednost

x

za koji treba izračunati vrijednost algebarskog izraza

5 x .

Svakoj vrijednosti

x

pridružite povlačenjem njegovu vrijednost algebarslog izraza

5 x .

$x = - \frac{9}{10}$	$5 x = 4$
$x = 67$	$5 x = 30$
$x = 9.8$	$5 x = - 335$
$x = \frac{4}{5}$	$5 x = 49$
$x = 6$	$5 x = - 18$

null

Primjer 2.

Izračunajmo vrijednost zadanog algebarskog izraza za $n = 12, m = 10 .$

$n^{2} + m \cdot n =$

$12^{2} + 12 \cdot 10 =$

$144 + 120 =$

$164$

Primjer 3.

Izračunajmo vrijednost zadanog algebarskog izraza za $n = 12, m = 10 .$

$n^{2} - m^{2} =$

$12^{2} - 10^{2} =$

$144 - 100 =$

$44$

Primjer 4.

Izračunajmo vrijednost zadanog algebarskog izraza za $n = 12, m = 10 .$

$- n^{2} + 2 \cdot m \cdot n - 1 =$

$- 12^{2} + 2 \cdot 10 \cdot 12 - 1 =$

$- 144 + 240 - 1 =$

$95$

Primjena

Povezani sadržaji

Na slici je osnosimetrični tlocrt. Zapišite na papir algebarski izraz koji opisuje ukupnu površinu tlocrta i pojednostavnite ga. Odredite površinu tlocrta ako je $x = 12 m .$

osnosimetrični tlocrt oblika troliste djeteline

Tlocrt je sastavljen od tri sukladna polukruga polumjera duljine $x .$

Dva kvadrata duljine stranice $2 x .$

Tri pravokutnika sa stranicama duljine $x$ i $2 x .$

Uz oznake na slici:

Površinu kruga računamo $x^{2} π$ gdje je $x$ duljina polumjera.

Površinu kvadrata računamo ${(2 x)}^{2}$ gdje je $2 x$ duljina stranice kvadrata.

Površinu pravokutnika računamo $x \cdot 2 x$ gdje su $x$ i $2 x$ duljine stranica pravokutnika.

$P = \frac{1}{2} x^{2} π + \frac{1}{2} x^{2} π + \frac{1}{2} x^{2} π + 3 \cdot 2 x \cdot x + {(2 x)}^{2} \cdot 2$

$P = \frac{3}{2} x^{2} π + 6 x^{2} + 8 x^{2}$

$P = \frac{3}{2} x^{2} π + 14 x^{2}$

Za

$x = 12 m$

$P = \frac{3}{2} \cdot 12^{2} \cdot 3.14 + 14 \cdot 12^{2}$

$P = 678.24 + 2 016$

$P = 2 694.24$

Površina tlocrta iznosi $2 694.24 m^{2} .$

Povezani sadržaji

Fotografija prostorije s parketom na podu

Za uređenje sobe treba kupiti hrastove parkete kojih je cijena $250 {kn/m}^{2}$ i ukrasne letvice cijene $55 kn/m .$ Ukrasne letvice stavljaju se na rubove prostorije. Soba je u obliku pravokutnika, širine $4.25$ metara i dužine $5$ metara. Kolika je cijena parketa i ukrasnih letvica potrebnih za uređenje poda te sobe?

Označimo s $C$ cijenu parketa i ukrasnih letvica koju trebamo odrediti.

Površina je poda $P = a \cdot b .$

Duljina letvica jednaka je opsegu sobe $o = 2 \cdot (a + b) .$

$C = 250 \cdot a \cdot b + 55 \cdot o$

$C = 250 \cdot 4.25 \cdot 5 + 55 \cdot 2 (4.25 + 5)$

$C = 250 \cdot 21.25 + 55 \cdot 18.5$

$C = 5 312.5 + 1 017.5$

$C = 6 330 kn$

Cijena parketa i ukrasnih letvica za tu sobu je $6 330 kn .$

Projekt

Izračunaj cijenu postavljanja parketa i ukrasnih letvica za svoju sobu prema cijenama u zadatku.

Povezani sadržaji

U pravokutnom je koordinatnom sustavu prikazana shema kretanja tramvaja broj $18 .$ Opišite algebarskim izrazom duljinu puta koji tramvaj broj $18$ prijeđe od prve do zadnje stanice.

Izračunajte duljinu puta te tramvajske linije ako je $x = 820 m,$ a $y = 550 m .$

Algebarski izraz: $17 \cdot x + 38 \cdot y .$

Duljina puta: $17 \cdot x + 38 \cdot y = 17 \cdot 820 + 38 \cdot 550 = 13 940 + 20 900 = 34 840 .$

Duljina puta je $34 840 m \approx 35 km .$

Kolekcija zadataka 7

Zadatak 16.

Nacrtajte na papir lik čija se površina može opisati algebarskim izrazom $a^{2} + 2 a c .$

Kvadrat i četiri sukladna jednakokračna trokuta

Jedna od mogućnosti je lik na slici.

Zadatak 17.

Nacrtajte na papir lik čija se površina može opisati algebarskim izrazom $3 a b + 3 a c .$

Pravilni šesterokut i šest jednakokračnih trokuta

Jedna od mogućnosti je lik na slici.

Zadatak 18.

Nacrtajte na papir lik čija se površina može opisati algebarskim izrazom $2 a^{2} + 4 a b .$

Jedna od mogućnosti je lik na slici.

Zatvori

$\frac{4}{3} x^{2} + 6 y - x y$	$\frac{25}{16}$
$4 x^{2} - 16 y^{2}$	$5 \frac{5}{8}$
$3.5 - x y + y^{2}$	$5 \frac{3}{16} = 5.1875$
$x^{2} - 2 x y + y^{2}$	$\frac{125}{24}$
$2 x^{2} - 3 x y + 4$	$- 8$

$\frac{3}{4} x^{2} - 6 y + \frac{1}{4} x^{2} + 4 y$	$x^{2} - 2 y$
$2 x^{2} + 6 x - x^{2} + 4 x$	$x^{2} + 10 x$
$x + 2 x + 5 + 4 x$	$2 x y - 7$
$7 x y + 2 - 5 x y - 9$	$2$
$6 x^{2} + 8 x - 9 - 6 x^{2} - 8 x + 11$	$7 x + 5$

1.3 Zbrajanje i oduzimanje algebarskih izraza

Na početku...

Algebarski izrazi

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Vrijednost algebarskog izraza

Zadatak 4.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Pojednostavnjivanje algebarskih izraza zbrajanjem i/ili oduzimanjem

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 13.

Zadatak 14.

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 15.

Primjena

Povezani sadržaji

Povezani sadržaji

Projekt

Povezani sadržaji

Kolekcija zadataka 7

Zadatak 16.

Zadatak 17.

Zadatak 18.

...i na kraju

1.4 Množenje algebarskih izraza