Matematika 8 - 1.4 Množenje algebarskih izraza

Na početku...

Marina, sa svojim prijateljicama i obitelji, planira posjet Muzeju krapinskih neandertalaca.

Ako će kupiti $x$ ulaznica za djecu/studente/umirovljenike koje se prodaju po cijeni od $25 kn,$ koliko će platiti sve ulaznice?
Ako će kupiti $y$ ulaznica za odrasle koje se prodaju po cijeni od $50 kn,$ koliko će platiti sve ulaznice?
Ako će kupiti $x$ ulaznica za djecu/studente/umirovljenike koje se prodaju po cijeni od $25 kn$ te $y$ ulaznica za odrasle koje se prodaju po cijeni od $50 kn,$ koliko će platiti sve ulaznice?

$25 \cdot x = 25 x$
$50 \cdot y = 50 y$
$25 \cdot x + 50 \cdot y = 25 x + 50 y$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Koliko treba platiti ulaznice ako muzej posjeti četvero djece i osam odraslih osoba?

$25 \cdot 4 + 50 \cdot 8 = 500$

Četvero djece i osam odraslih osoba posjet muzeju platit će $500$ kuna.

Zadatak 2.

Koliko treba platiti ulaznice ako muzej posjeti petero djece, dvoje umirovljenika i jedna odrasla osoba?

$25 \cdot 7 + 50 \cdot 1 = 225$

Djeca i umirovljenici plaćaju ulaznice po istoj cijeni i zato će sedam osoba kupiti ulaznice po cijeni od $25 kn,$ a jedna po cijeni od $50 kn .$ Petero djece, dvoje umirovljenika i jedna odrasla osoba posjet muzeju platit će $225$ kuna.

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Više o Muzeju krapinskih neandertalaca potražite na mrežnim stranicama muzeja. Istražite cijenu koju treba platiti skupina od $40$ osoba, u kojoj su $36$ -ero djece i četiri odrasle osobe, ako žele imati stručno vodstvo na hrvatskome jeziku.

Nazivi algebarskih izraza s obzirom na broj članova

Algebarske izraze nazivamo prema broju različitih članova koje međusobno zbrajamo i/ili oduzimamo.

Izraze kojima smo se koristili za ukupnu cijenu ulaznica za djecu/studente/umirovljenike, $25 x,$ te ukupnu cijenu ulaznica za odrasle, $50 y,$ nazivamo monomima.

Izraz kojim smo se koristili za ukupnu cijenu svih kupljenih ulaznica (djecu/studente/umirovljenike i odrasle), $25 \cdot x + 50 \cdot y = 25 x + 50 y,$ nazivamo binomom.

Izraz koji se sastoji od jednog člana nazivamo monom.

Monomi su izrazi kao što su

$7$
$- 11$
$2 x$
$- 3 y$
$- 4 a b .$

Izraz koji se sastoji od dvaju članova nazivamo binom.

Binomi su algebarski izrazi kao što su

$- 3 a c + 2$
$x + 1$
$a^{2} - 4 a .$

Izraz koji se sastoji od triju članova nazivamo trinom.

Trinomi su izrazi kao što su

$x s + 3 z = y$
$x^{2} + 3 x - 1$
$- x y - y - 2 .$

Dovucite algebarske izraze u odgovarajući stupac, ovisno o broju njihovih članova.

7 x

- 2 e - 3 f

2 y^{2} + 3 y - 1

2 x + 3 y

d + e + f

- 2 p q

- x - y

g h + h - 1

- d + 3

Monomi

Binomi

Trinomi

null

Množenje algebarskog izraza brojem

Primjer 1.

Koliko je ukupno jabuka u košarama?

Neka $x$ predstavlja jabuku. U svakoj je košari $3 x$ jabuka te je ukupan broj jabuka u dvjema košarama $3 x + 3 x .$ Dalje računamo i pišemo:

$3 x + 3 x = 2 \cdot 3 x = 6 x .$

Dakle, u objema je košarama ukupno $6x$ jabuka.

Primjer 2.

Koliko je ukupno krušaka u košarama?

Neka $y$ predstavlja krušku. U svakoj je košari $5 y$ krušaka. Tada je ukupan broj krušaka u trima košarama:

$5 y + 5 y + 5 y =$ $3 \cdot 5 y = 15 y .$

Dakle, u košarama je ukupno $15y$ krušaka.

Primjer 3.

Koliko je ukupno jabuka i krušaka u košarama?

U svakoj su košari $2 x$ jabuke i $3 y$ kruške pa je ukupan broj voća u košari $2 x + 3 y .$ Tada je ukupan broj voća u četirima košarama:

$\begin{array}{l} (2 x + 3 y) + (2 x + 3 y) + (2 x + 3 y) + (2 x + 3 y) = 4 \cdot (2 x + 3 y) = 8 x + 12 y \end{array} .$

Dakle, u četirima je košarama ukupno jabuka i krušaka.

Izraz $a \cdot (b + c)$ možemo kraće zapisati $a (b + c) .$

Zadatak 3.

Promotrite još jedanput dobivene jednakosti i razmislite o njihovu značenju.

$2 \cdot (3 x) = 6 x$

$3 \cdot (5 y) = 15 y$

$4 (2 x + 3 y) = 8 x + 12 y$

Što uočavate?

Ukupan broj jabuka u košarama jednak je broju jabuka u košari pomnožen brojem košara, a ukupan broj krušaka u košarama jednak je broju krušaka u košari pomnožen brojem košara.

Uočavamo, broj ispred zagrade množi svaki broj u zagradi.

Algebarski izraz množimo nekim brojem tako da svaki član tog izraza pomnožimo zadanim brojem.

Možemo zapisati $a (x + y) = a x + a y,$ pri čemu su $a,$ $x$ i $y$ racionalni brojevi.

Zadatak 4.

Pomnožite.

$3 (b + 5)$
$- 3 (a + 2)$
$(4 - x) \cdot 3$
$- \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - 4 y)$
$- 3 (x - 4 y + 5)$

$3 (b + 5) = 3 b + 15$
$- 3 (a + 2) = - 3 a - 6$
$(4 - x) \cdot 3 = 12 - 3 x$
$- \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - 4 y) = - \frac{3}{8} + 3 y$
$- 3 (x - 4 y + 5) = - 3 x + 12 y - 15$

Pojednostavnjivanje algebarskih izraza

Pojednostavljivanje algebarskog izraza.

Zadatak 7.

Pojednostavnite izraze.

$(\begin{array}{l} 3 z + p \end{array}) (\begin{array}{l} - 2 p + 4 z \end{array}) - (\begin{array}{l} p + z \end{array}) \cdot 5$
$(\begin{array}{l} 3 a + b - 4 c \end{array}) (\begin{array}{l} a - 2 b \end{array})$

$(\begin{array}{l} 3 z + p \end{array}) (\begin{array}{l} - 2 p + 4 z \end{array}) - (\begin{array}{l} p + z \end{array}) \cdot 5$

$= - 6 z p + 12 z^{2} - 2 p^{2} + 4 p z - 5 p - 5 z$

$= 12 z^{2} - 2 p^{2} - 2 p z - 5 p - 5 z$
$(3 a + b - 4 c) (a - 2 b)$

$= 3 a^{2} - 6 a b + ab - 2 b^{2} - 4 a c + 8 b c$

$= 3 a^{2} - 5 a b - 2 b^{2} - 4 a c + 8 b c$

Dovucite algebarske izraze na njihove jednakosti.

$2 x (x + 5) - x (2 x + 8)$	$2 x$
$x^{2} - (x + 3) (x - 2)$	$8 x + 18$
$3 (x - 2) + 5 x$	$6 - x$
$(4 x + 2) (2 x - 3)$	$8 x - 6$
$4 (2 x + 5) - 2$	$8 x^{2} - 8 x - 6$

null

Kutak za znatiželjne

Može li se umnožak dvaju binoma sastojati od dva člana? Ako ne, objasnite. Ako da, napišite na papir primjer koji to pokazuje.

Promotrimo umnožak binoma $(x - 3)$ i $(x + 3) .$

$(x - 3) (x + 3) = x^{2} + 3x - 3x - 9 = x^{2} - 9$

U slučaju kada množimo zbroj i razliku dvaju binoma s jednakim članovima, srednji će se članovi poništiti (njihov zbroj bit će jednak nuli) te će rješenje imati samo dva člana.

Kutak za znatiželjne

Napišite na papir dva binoma čiji umnožak ima tri člana pri čemu je srednji član umnoška jednak $8 x .$

Rješenja ima beskonačno mnogo, a neka su od njih $(x + 6) (x + 2)$ te $(x + 10) (x - 2) .$

Izlučivanje zajedničkog faktora

Primjer 5.

Renato i Hrvoje su za domaću zadaću dobili odrediti koliko je $2 (x + 3) + 4 .$ Renato je kao rješenje napisao izraz $2 x + 10,$ a Hrvoje $2 (x + 5) .$ Učiteljica je i jednom i drugom rekla da su točno riješili zadatak. Objasnite zbog čega.

Množenjem dobivamo $2 (x + 3) + 4 = 2 x + 6 + 4 = 2 x + 10 .$

Ako iz izraza $2 x + 10$ izlučimo najveći zajednički faktor (najveći broj koji dijeli oba broja), broj $2,$ dobit ćemo izraz $2 (x + 5) .$

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Iz izraza izlučite zajednički faktor.

$15 x + 5$
$3 x^{2} + 6 x$
$- 11 x^{2} + 33$
$13 a^{2} - 39$

Uočavamo da su oba člana izraza djeljiva brojem $5$ te $5$ izlučujemo kao zajednički faktor.

$5 (3 x + 1)$
Uočavamo da su oba člana izraza djeljiva s $3 x$ te $3 x$ izlučujemo kao zajednički faktor.

$3 x^{2} + 6 x = 3 x (x + 2) .$
$- 11 x^{2} + 33 = - 11 (x^{2} - 3)$ ili $- 11 x^{2} + 33 = 11 (- x^{2} + 3)$
$13 a^{2} - 39 = 13 (a^{2} - 3)$

Zadatak 9.

Martina i Irena rješavale su zadatak $(14 x + 21) \cdot 13 .$ Irena je zadatak riješila vrlo brzo, a Martina se mučila množeći $14$ s $13$ te $21$ s $13 .$ Irena joj je objasnila da, ako izluči zajednički faktor iz prve zagrade, zadatak može puno jednostavnije riješiti.

Znate li vi kako?

Brojevi $14$ i $21$ u izrazu $14 x + 21$ imaju zajednički faktor $7,$ zato umnožak $(14 x + 21) \cdot 13$ možemo zapisati kao $7 (2 x + 3) \cdot 13 .$ Taj je izraz jednak $91 (2 x + 3) .$ Daljnji račun nije težak. Broj $91$ pomnožen brojem $2$ daje $182,$ a pomnožen brojem $3$ daje $273$ te konačno dobivamo $182 x + 273 .$

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Izlučite zajednički faktor pa pojednostavnite razlomak.

$\frac{2 x - 4}{2}$
$\frac{4 x^{2} + 8x}{x (x + 2)},$ pri čemu je $x \neq 0$ i $x \neq - 2$
$\frac{3 x + 1}{3 x (x + 1) + (x + 1),},$ pri čemu je $x \neq 0$ i $x \neq - 1$

Uočavamo da se u brojniku može izlučiti faktor $2 .$

$\frac{2 x - 4}{2} = \frac{2 (x - 2)}{2} = x - 2$
Uočavamo da u brojniku možemo izlučiti $4 x .$

Zato izraz postaje $\frac{4 x^{2} + 8 x}{x (x + 2)} = \frac{4 x (x + 2)}{x (x + 2)} .$

Nakon kraćenja brojnika i nazivnika razlomka dobivamo $\frac{4 x^{2} + 8 x}{x (x + 2)} = \frac{4 x (x + 2)}{x (x + 2)} = 4 .$
Uočavamo da se iz nazivnika može izlučiti izraz $x + 1 .$

$\frac{3 x + 1}{3 x (x + 1) + (x + 1)} = \frac{3 x + 1}{(x + 1) (3 x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$

Zadatak 10.

Izlučite zajednički faktor.

$x (3 x + 5) - 2 (3 x + 5)$
$(x + 1) \cdot 3 + 2 x (x + 1)$
$x (3 x - 1) - (3 x - 1)$

$x (3 x + 5) - 2 (3 x + 5) = (3 x + 5) (x - 2)$
$(x + 1) \cdot 3 + 2 x (x + 1) = (x + 1) (3 + 2 x)$
$x (3 x - 1) - (3 x - 1) = (3 x - 1) (x - 1)$

Povežimo i uvježbajmo

Primjer 6.

Duljina je jedne stranice pravokutnika za $4 cm$ veća od duljine druge stranice. Ako se duljina kraće stranice povećala za $3 cm,$ a dulje za $1 cm,$ površina novog pravokutnika bit će za $35 {cm}^{2}$ veća od površine početnog pravokutnika. Kolike su dimenzije početnog pravokutnika?

Dimenzije su prvog pravokutnika $x$ i $x + 4,$ zato površina početnog pravokutnika iznosi $x (x + 4) .$

Ako kraću stranicu duljine $x$ povećamo za $3 cm,$ kraća stranica novog pravokutnika bit će duljine $x + 3 .$

Ako dulju stranicu povećamo za $1 cm,$ dulja stranica novog pravokutnika bit će duljine $x + 5 .$

Zato će površina novog pravokutnika biti $(x + 3) (x + 5) .$

S obzirom na to da je površina novog pravokutnika za $35 {cm}^{2}$ veća od površine početnog pravokutnika, površini prvoga moramo pridodati $35 {cm}^{2}$ da bi površine bile jednake.

Zato slijedi $x (x + 4) + 35 = (x + 3) (x + 5) .$ Množenjem algebarskih izraza dobivamo $x^{2} + 4 x + 35 = x^{2} + 8 x + 15 .$ Iz toga slijedi da je $20 = 4 x$ ili $x = 5 cm .$

Dakle, dimenzije su početnog pravokutnika $5 cm$ i $9 cm .$

Zadatak se može riješiti i grafički.

Ako pogledamo dodane pravokutnike, uočit ćemo da se pojavljuje jedan dimenzija $x + 5$ s $3$ i jedan dimenzija $1$ s $x .$

Zato je dodana površina jednaka zbroju površina tih pravokutnika, to jest

$3 (x + 5) + x = 35 .$

Dalje slijedi:

$4 x + 15 = 35$

$4 x = 20$

$x = 5$

Dimenzije su početnog pravokutnika $5 cm$ i $9 cm .$

Zadatak 11.

Duljine stranica pravokutnika razlikuju se za $7 cm .$ Ako obje stranice smanjimo za $2 cm$ površina novog pravokutnika bit će $42 {cm}^{2}$ manja od površine početnog pravokutnika. Kolike su duljine stranica početnog pravokutnika?

Na slici je dan grafički prikaz promjena površina pravokutnika.

Duljine stranica pravokutnika razlikuju se za $7 cm,$ zato je jedna stranica $a,$ a druga $a + 7 .$ Ako obje stranice smanjimo za $2 cm,$ duljine stranica bit će $a - 2$ i $a + 5 .$ Površina novog pravokutnika bit će $42 {cm}^{2}$ manja od površine početnog pravokutnika pa možemo zapisati:

$a (a + 7) - 42 = (a - 2) (a + 5)$

$a^{2} + 7 a - 42 = a^{2} + 3 a - 10$

$4 a = 32$

$a = 8 cm .$

Dimenzije su početnog pravokutnika $8 cm$ i $15 cm .$

Zadatak $m$ čiji zbroj površina odgovara ukupnom smanjenju površine.

$2 a + 2 (a + 5) = 42$

$4 a + 10 = 42$

$4 a = 32$

$a = 8$

Dimenzije su početnog pravokutnika $8 cm$ i $15 cm .$

Pogodite moj broj - matematički trik

Zamislite neki prirodni broj.

Zamišljeni broj uvećajte za $6$ .

Dobiveni zbroj utrostručite.

Dobiveni rezultat umanjite za $9$ .

Dobivenu razliku podijelite s $3$ .

Upišite dobiveni rezultat.

Objasnite trik Pogodite moj broj koristeći se algebarskim izrazima.

Ako je $x$ zamišljeni broj, tada nakon pribrajanja dobivamo izraz $x + 6,$ a nakon utrostručivanja $3 (x + 6) .$ Oduzimanjem broja $9$ dobivamo jedan od izraza: $3 (x + 6) - 9$ ili $3 x + 18 - 9 = 3 x + 9$ ili $3 (x + 3) .$

Nakon što dobivenu razliku podijelimo brojem $3,$ dobivamo jednu od dviju mogućnosti: $(x + 6) - 3 = x + 3$ ili $x + 3 .$ Vidimo da je konačan rezultat za tri veći od početnog broja bez obzira na to na koji smo način računali. Dakle, nakon što ste upisali broj potrebno ga je bilo samo umanjiti za tri da se dobio broj koji ste zamislili.

Povezani sadržaji

Prijevoznik taksija naplaćuje $8 kn$ za početak vožnje. Nakon prva dva besplatna kilometra, svaki sljedeći prijeđeni kilometar naplaćuje $7 kn .$

Napišite na papir izraz koji izračunava koliko putnik treba platiti ako je taksijem prešao $x$ kilometara, za $x >2 .$
Odredite koliko Klara treba platiti vožnju taksijem ako prijeđe put od $5 km .$

$8 + 7 (\begin{array}{l} x - 2 \end{array})$
$8 + 7 (\begin{array}{l} 5 - 2 \end{array}) = 8 + 7 \cdot 3 = 8 + 21 = 29 kn$

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 12.

Na slici je prikaz broja kvadratića u ovisnosti o broju koraka.

Promotrite dizajne koji nastaju u svakom od koraka.

Koristeći u tablici zadane podatke odredi vrijednost nepoznatih podataka računajući u bilježnici (na papir).

Broj koraka	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$n$
Broj kvadratića	$2$	$6$

Koliko će kvadratića biti upotrijebljeno za crtanje dizajna u $n$ koraka?
Koliko će kvadratića biti upotrijebljeno za crtanje dizajna u 103. koraku?
Koliko će kvadratića biti upotrebljeno za crtanje dizajna u $n + 2$ koraka?

Broj koraka	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$n$
Broj kvadratića	$2$	$6$	$12$	$20$	$30$	$n (n + 1)$

U $n$ koraka bit će upotrijebljeno $n (n + 1)$ kvadratića.
U 103. koraku bit će upotrijebljeno $103 \cdot 104 = 10 712$ kvadratića.
U $n + 2$ koraka bit će upotrebljeno $(n + 2) (n + 3) = n^{2} + 2 n + 3 n + 6 = n^{2} + 5 n + 6$ kvadratića.

Zadatak 13.

Pomnožite algebarske izraze. Zadatke riješiti koristeći se algebarskim pločicama.

Crvene pločice možete dobiti pritiskom na bilo koju od postojećih pločica. Na isti način i vraćate polaznu boju pločice.

Zatvori

$x^{2} \cdot 24 z$	$24 x z$
$3 x z \cdot 8 x z$	$24 x^{2} z$
$6 z \cdot 4 x$	$24 x^{2} z^{2}$
$12 x \cdot 2 x$	$24 x^{2}$

1.4 Množenje algebarskih izraza

Na početku...

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Kutak za znatiželjne

Nazivi algebarskih izraza s obzirom na broj članova

Monomi

Binomi

Trinomi

Jednostavni algebarski izrazi

Množenje algebarskog izraza brojem

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Množenje algebarskih izraza

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Pojednostavnjivanje algebarskih izraza

Zadatak 7.

Kutak za znatiželjne

Kutak za znatiželjne

Izlučivanje zajedničkog faktora

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 10.

Povežimo i uvježbajmo

Zadatak 11.

Povezani sadržaji

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 12.

Zadatak 13.

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

1.5 Kvadrat zbroja