Pogledajmo grafički prikaz promjene razine mora zbog utjecaja plime i oseke tijekom dana.
Grafički prikaz plime i oseke
Grafički prikaz razine mora podsjeća na graf funkcije kosinus. Kako izgleda graf funkcije kosinus i koja su svojstva te funkcije, doznat ćete u nastavku.
Grafički prikaz funkcije kosinus pomoću brojevne kružnice
Prisjetimo se što znamo o kosinusu.
Apscisa točke E(t) brojevne kružnice jednaka je
broja
t, a ordinata točke
E(t) brojevne kružnice jednaka je
broja
t.
null
null
Funkcija je f(x)=cosx
.
null
null
Temeljni je period funkcijef(x)=cosx
.
null
null
Istražimo
Pomičite točku Tna brojevnoj kružnici (ili pokrenite animaciju) i pratite promjenu u koordinatnmom sustavu. Točke u koordinatnom sustavu imaju koordinate(x,cosx).
Kako je temeljni period funkcije kosinus
2π,
graf se periodički ponavlja u intervalima širine
2π na cijelom skupu R.
Graf funkcije kosinus skup je točaka u ravnini Γf={(x,f(x)):f(x)=cosx,x∈R}.
Zanimljivost
Graf funkcije kosinus ponekad se naziva i kosinusoida. No, s geometrijskog stajališta, ta je krivulja zapravo jednaka krivulji koja se dobiva kao graf funkcije sinus, dakle, sinusoidi. Kao što kružnicu ili parabolu nazivamo kružnicom ili parabolom, bez obzira gdje su smještene u koordinatni sustav, tako vrijedi i ovdje. S obzirom na koordinatni sustav, za graf funkcije kosinus još kažemo da je pomaknuta sinusoida.
Grafičko prikazivanje funkcije kosinus pomoću tablice
Izračunajte vrijednosti kosinusa za realne brojeve dane u tablici.
t
0
π6
π4
π3
π2
23π
34π
56π
π
cost
t
76π
5π4
4π3
32π
5π3
74π
116π
2π
cost
Ucrtamo li navedene točke u koordinatnom sustavu, dobit ćemo graf na intervalu[0,2π]
. Zbog temeljnog perioda funkcije kosinus 2π, graf će se periodički ponavljati u intervalima širine 2π na cijelom skupu R.
Graf funkcije kosinus - tablično
Grafičko prikazivanje funkcije kosinus pomoću funkcije sinus
Istražimo
Na brojevnoj kružnici pomičite točku Ti pratite vrijednosti cost i sin(π2+t).
Za svaki
t∈R vrijedi
cost=sin(π2+t).
null
null
Pogledajte grafove funkcija sinus i kosinus.
Graf kosinusoide iz sinusoide
Graf funkcije
f(x)=cosx možemo dobiti iz grafa funkcije
g(x)=sinx pomakom sinusoide za
π2 ulijevo.
Svojstva funkcije kosinus
Istražimo
Pogledajte ponovno graf funkcije kosinus. Pomičite točku Tduž grafa pa odgovorite na pitanja.
Domena funkcije kosinus skup je
. Slika funkcije kosinus jest
.
za
k∈Z.
[-1,1]
R
null
null
Funkcija poprima maksimum u točkama oblika
, a minimum u točkama oblika
za
k∈Z.
(2kπ,1)
((2k+1)π,-1)
null
null
Nultočke su
π2+2kπ
za k∈Z.
.
null
null
Funkcija je parna pa je graf simetričan s obzirom na
Svojstva funkcije kosinus: Graf funkcije kosinus ima sljedeća svojstva:
Funkcija je periodična s temeljnim periodom
2π.
Nultočke funkcije jesu
x=π2+kπ za
k∈Z.
Graf funkcije kosinus poprima minimum -1 za
x=(2k+1)π i maksimum 1 za
x=2kπ za
k∈Z.
Zbog svojstva parnosti kosinusoida je simetrična s obzirom na os
y.
Graf funkcije raste na intervalima
⟨π+2kπ,2π+2kπ⟩,k∈Z i pada na intervalima
⟨2kπ,π+2kπ⟩,k∈Z.
Graf funkcije f(x)=Acos(bx+c)+d
Istražimo
Pogledajmo kako broj Autječe na izgled našeg grafa. Mijenjajte vrijednosti broja Ai pratite izgled grafa funkcijef(x)=Acosx s obzirom na graf funkcijeg(x)=cosx.
Primjer 1.
Pogledajmo graf funkcije
f(x)=2cosx.
Graf funkcije f(x)=2cos x
Izgled i svojstva grafa funkcije graf funkcije
f(x)=2cosx:
Skup vrijednosti je
[-2,2].
Točke maksimuma su
(2kπ,2),k∈Z.
Točke minimuma su
(π+2kπ,-2),k∈Z.
Nultočke su
x=π2+kπ,k∈Z.
Temeljni period iznosi
2π.
Realan brojA≠0 u zapisu funkcijef(x)=Acosx rasteže/steže graf funkcijef(x)=cosx duž
i
to za
A>1
graf,
za
0<A<1
graf,
a za
A=-1 zrcali s obzirom na
.
null
null
Razvrstajte svojstvo funkcije kosinus u dvije skupine: one koje se mijenjaju za A≠0 i one koje ostaju nepromijenjene kod funkcijef(x)=Acosx.
nultočke
period
vrijednost maksimuma i minimuma
Mijenja se
Ne mijenja se
null
null
Istražimo
Pogledajmo kako broj butječe na izgled naše kosinusoide. MIjenjajte vrijednosti broja bi pratite izgled grafa
f(x)=cos(bx)
s obzirom na graf funkcijeg(x)=cosx.
Primjer 2.
Pogledajmo graf funkcije
f(x)=cos(2x).
Graf funkcije f(x)=cos(2x)
Izgled i svojstva grafa funkcije graf funkcije
f(x)=cos(2x):
Skup vrijednosti je
[-1,1].
Točke maksimuma su
(kπ,1),k∈Z.
Točke minimuma su
(π2+kπ,-1),k∈Z.
Nultočake su
x=π4+kπ,k∈Z.
Temeljni period iznosi
2π2=π.
Realan broj b≠0 u zapisu funkcije f(x)=cosbx "rasteže/ssteže" graf funkcije f(x)=cosx po
.
Pritom za
|b|>1kosinusoida se
,
a za
|b|<1kosinusoida se
.
null
null
Razvrstajte svojstva funkcije kosinus u dvije skupine: ona koja se mijenjaju za b≠0 i ona koja ostaju nepromijenjena kod funkcije f(x)=cos(bx).
parnost
temeljni period
nultočke
vrijednost maksimuma i minimuma
Mijenja se
Ne mijenja se
null
null
Istražimo
Pogledajmo kako broj cutječe na izgled našeg grafa. Mijenjajte vrijednosti broja ci pratite izgled grafa
funkcijef(x)=cos(x+c)
s obzirom na graf funkcijeg(x)=cosx.
Primjer 3.
Pogledajmo graf funkcije
f(x)=cos (x+π4).
Graf funkcije f(x)=cos(x+c)
Izgled i svojstva grafa funkcije graf funkcije
f(x)=cos (x+π4):
Skup vrijednosti je
[-1,1].
Točke maksimuma su
(2kπ-π4,1),k∈Z.
Točke minimuma su
(2kπ+3π4,-1),k∈Z.
Nultočake su
x=π4+kπ,k∈Z.
Temeljni period iznosi
2π.
Realan broj c≠0 u zapisu funkcijef(x)=cos(x+c) "pomiče" graf funkcijef(x)=cosx po
i
to ulijevo za
i
udesno za
.
null
null
Razvrstajte svojstva funkcije kosinus u dvije skupine: ona koja se mijenjaju za c≠0 i ona koja ostaju nepromijenjena za funkcijuf(x)=cos(x+c).
nultočke
xkoordinate maksimuma i minimuma
slika funkcije
maksimum i minimum
temeljni period
Mijenjaju se
Ne mijenjaju se
null
null
Istražimo
Nacrtajmo graf funkcije
g(x)=cosx. U istom koordinatnom sustavu nacrtajmo graf funkcije
f(x)=cosx+d. Pogledajmo kako broj d utječe na izgled grafa. Mijenjajte vrijednosti broja
d i pratite izgled grafa funkcije
f(x)=cosx+d s obzirom na graf funkcije
g(x)=cosx.
Primjer 4.
Pogledajmo graf funkcije f(x)=cosx+2.
Graf funkcije f(x)=cosx+d
Izgled i svojstva grafa funkcije graf funkcije f(x)=cosx+2 :
Skup vrijednosti je
[1,3].
Točke maksimuma su
(2kπ,3) za
k∈Z.
Točke minimuma su
((2k+1)π,1),k∈Z.
Nultočaka nema.
Temeljni period iznosi
2π.
Realni brojd≠0 u zapisu funkcijef(x)=cosx+d"pomiče" graf funkcijef(x)=cosx po
prema
gore za
,
a prema dolje za
.
null
null
Razvrstajte svojstva funkcije kosinus u dvije skupine: ona koja se mijenjaju za d≠0 i ona koja ostaju nepromijenjena kod funkcije f(x)=cosx+d.
maksimum i minimum
nultočke
parnost
periodičnost
slika funkcije
Mijenjaju se
Ne mijenjaju se
null
null
Vidjeli smo nekoliko načina na koje možemo prikazati graf funkcije kosinus. Odaberite način koji vam se najviše sviđa te riješite sljedeći zadatak.
Zadatak 1.
Nacrtajte graf funkcije f(x)=-2cos(x-π2), ispišite nultočke i ekstreme te rast i pad funkcije.
Graf funkcije f(x)=-2cos (x-pi/2)
Izgled i svojstva grafa funkcije graf funkcije
f(x)=-2cos(x-π2)
:
Nultočke su
x=kπ,k∈Z.
Točke maksimuma su
(32π+2kπ,2),k∈Z.
Točke minimuma su
(π2+2kπ,-2),k∈Z.
Graf funkcije rastući je na intervalima
⟨π2+2kπ,32π+2kπ⟩,k∈Z.
Graf funkcije padajući je na intervalima
⟨-π2+2kπ,π2+2kπ⟩,k∈Z.
...i na kraju
Posložite redoslijed kojim možemo nacrtati graf funkcijef(x)=Acos(bx+c)+d=Acos(b(x+cb))+d iz grafa funkcijef(x)=cosx pomacima u koordinatnom sustavu.
Odredimo temeljni period i funkciju tako da rastegnemo ili stegnemo po osi x. Dobijemo f1(x)=cosbx.
Rastegnemo/stegnemo duž osi yza faktor Ai dobijemof3(x)=Acos(b(x+cb)).
Pomaknemo po osi yi dobijemof4(x)=Acos(b(x+cb))+d.
Pomaknemo za cb ulijevo/udesno duž xosi i dobijemof2(x)=cos(b(x+cb)).
Nacrtajmo graf funkcije
f(x)=cosx.
null
null
Procijenite svoje znanje
1
2
3
4
5
6
7
Koliko iznosi maksimalna vrijednost funkcijef(x)=-2sin(x-π3)?
null
null
Koliko iznosi minimum funkcije f(x)=cos(2x-π3)?
null
null
Temeljni period funkcijef(x)=-2sin(2x-π3) iznosi 2π.
null
Postupak:
T=2π2=π
Koliko nultočaka ima graf funkcije
f(x)=2sin3x na intervalu [0,2π]?
Kolika
je minimalna vrijednost te funkcije?
null
Kod funkcijef(x)=2πsin(πx-π2)+π amplituda je
, fazni pomak iznosi
u desno, a temeljni period
.
-π2
2π
2
null
null
Funkcija f(x)=2πsin(πx-π2)+π
postiže najveću vrijednost
, dok je najmanja vrijednost funkcije
.
-π
3π
null
null
Koja slika prikazuje graf funkcijef(x)=2cos(x+π3)-1?