Processing math: 100%
x
Učitavanje

5.2 Graf i svojstva funkcije kosinus

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica

Na početku...

Luka
Luka na obali.

Pogledajmo grafički prikaz promjene razine mora zbog utjecaja plime i oseke tijekom dana.

Grafički prikaz plime i oseke
Grafički prikaz plime i oseke

Grafički prikaz razine mora podsjeća na graf funkcije kosinus. Kako izgleda graf funkcije kosinus i koja su svojstva te funkcije, doznat ćete u nastavku.

Grafički prikaz funkcije kosinus pomoću brojevne kružnice

Prisjetimo se što znamo o kosinusu.

Apscisa točke E(t) brojevne kružnice jednaka je

broja
t, a ordinata točke E(t) brojevne kružnice jednaka je
broja
t.
null
null

Funkcija je  f(x)=cos x

.
null
null

Temeljni je period funkcije f(x)=cosx 

.
null
null

Istražimo

Pomičite točku T na brojevnoj kružnici (ili pokrenite animaciju) i pratite promjenu  u koordinatnmom sustavu. Točke u koordinatnom sustavu imaju koordinate (x,cosx).

Kako je temeljni period funkcije kosinus 2π, graf se periodički ponavlja u intervalima širine  2π  na cijelom skupu R .

Graf funkcije kosinus
Graf funkcije kosinus

Kosinusoida

Graf funkcije kosinus skup je točaka u ravnini Γf={(x,f(x)):f(x)=cosx,xR}.

Zanimljivost

Graf funkcije kosinus ponekad se naziva i kosinusoida. No, s geometrijskog stajališta, ta je krivulja zapravo jednaka krivulji koja se dobiva kao graf funkcije sinus, dakle, sinusoidi. Kao što kružnicu ili parabolu nazivamo kružnicom ili parabolom, bez obzira gdje su smještene u koordinatni sustav, tako vrijedi i ovdje. S obzirom na koordinatni sustav, za graf funkcije kosinus još kažemo da je pomaknuta sinusoida.

Grafičko prikazivanje funkcije kosinus pomoću tablice

Izračunajte vrijednosti kosinusa za realne brojeve dane u tablici.

t 0 π6 π4 π3 π2 23π 34π 56π π
cost
t 76π 5π4 4π3 32π 5π3 74π 116π 2π
cost

Ucrtamo li navedene točke u koordinatnom sustavu, dobit ćemo graf na intervalu [0,2π] . Zbog temeljnog perioda funkcije kosinus 2π, graf će se periodički ponavljati u intervalima širine  2π  na cijelom skupu R.

Graf funkcije kosinus - tablično
Graf funkcije kosinus - tablično

Grafičko prikazivanje funkcije kosinus pomoću funkcije sinus

Istražimo

Na brojevnoj kružnici pomičite točku T i pratite vrijednosti cost i sin(π2+t).

Za svaki tR vrijedi cost=sin(π2+t).
null
null

Pogledajte grafove funkcija sinus i kosinus.

Graf kosinusoide iz sinusoide
Graf kosinusoide iz sinusoide

Graf funkcije f(x)=cosx možemo dobiti iz grafa funkcije g(x)=sinx pomakom sinusoide za π2 ulijevo.

Svojstva funkcije kosinus

Istražimo

Pogledajte ponovno graf funkcije kosinus. Pomičite točku T duž grafa pa odgovorite na pitanja.

Domena funkcije kosinus skup je

   
. Slika funkcije kosinus jest
   
. za kZ.
[-1,1]
R
null
null

Funkcija poprima maksimum u točkama oblika

   
, a minimum u točkama oblika
   
za kZ.
(2kπ,1) 
((2k+1)π,-1) 
null
null

Nultočke su π2+2kπ  za kZ. .

null
null

Funkcija je parna pa je graf simetričan s obzirom na

   
i periodična s temeljnim periodom
   
.
2π
y os
null
null

Graf funkcije kosinus raste na intervalima

   
i pada na intervalima
   
za kZ.
π+2kπ,2π+2kπ
2kπ,π+2kπ
null
null

Svojstva funkcije kosinus

Svojstva funkcije kosinus: Graf funkcije kosinus ima sljedeća svojstva:

  1. Funkcija je periodična s temeljnim periodom 2π.
  2. Nultočke funkcije jesu x=π2+kπ za kZ.
  3. Graf funkcije kosinus poprima minimum -1 za x=(2k+1)π i maksimum 1 za x=2kπ za kZ.
  4. Zbog svojstva parnosti kosinusoida je simetrična s obzirom na os y.
  5. Graf funkcije raste na intervalima π+2kπ,2π+2kπ,kZ i pada na intervalima 2kπ,π+2kπ,kZ.

Graf funkcije f(x)=Acos(bx+c)+d

Istražimo

Pogledajmo kako broj A utječe na izgled našeg grafa. Mijenjajte vrijednosti broja A i pratite izgled grafa funkcije f(x)=Acosx s obzirom na graf funkcije g(x)=cosx.

Primjer 1.

Pogledajmo graf funkcije f(x)=2cosx.

Graf funkcije f(x)=2cos x
Graf funkcije f(x)=2cos x

Izgled i svojstva grafa funkcije graf funkcije f(x)=2cosx:

Skup vrijednosti je [-2,2].

Točke maksimuma su (2kπ,2),kZ.

Točke minimuma su (π+2kπ,-2),kZ.

Nultočke su x=π2+kπ,kZ.

Temeljni period iznosi 2π.

Realan broj A0 u zapisu funkcije f(x)=Acosx rasteže/steže graf funkcije f(x)=cosx  duž

i
to za A>1
graf,
za  0<A<1
graf,
a za A=-1 zrcali s obzirom na
.
null
null

Razvrstajte svojstvo funkcije kosinus u dvije skupine: one koje se mijenjaju za A0  i one koje ostaju nepromijenjene kod funkcije f(x)=Acosx.

nultočke

Mijenja se

Ne mijenja se

null
null

Istražimo

Pogledajmo kako broj b utječe na izgled naše kosinusoide. MIjenjajte vrijednosti broja b i pratite izgled grafa f(x)=cos(bx) s obzirom na graf funkcije g(x)=cosx.

Primjer 2.

Pogledajmo graf funkcije f(x)=cos(2x).

Graf funkcije f(x)=cos(2x)
Graf funkcije f(x)=cos(2x)

Izgled i svojstva grafa funkcije graf funkcije f(x)=cos(2x):

Skup vrijednosti je [-1,1].

Točke maksimuma su (kπ,1),kZ.

Točke minimuma su (π2+kπ,-1),kZ.

Nultočake su x=π4+kπ,kZ.

Temeljni period iznosi 2π2=π.

Realan broj b0 u zapisu funkcije f(x)=cosbx "rasteže/ssteže" graf funkcije f(x)=cosx po

.
Pritom za |b|>1  kosinusoida se
,
a za |b|<1 kosinusoida se
.
null
null

Razvrstajte svojstva  funkcije kosinus u dvije skupine: ona koja se mijenjaju za b0 i ona koja ostaju nepromijenjena kod funkcije f(x)=cos(bx).

parnost

Mijenja se

Ne mijenja se

null
null

Istražimo

Pogledajmo kako broj c utječe na izgled našeg grafa. Mijenjajte vrijednosti broja c i pratite izgled grafa funkcije f(x)=cos(x+c) s obzirom na graf funkcije g(x)=cosx.


Primjer 3.

Pogledajmo graf funkcije f(x)=cos (x+π4).

Graf funkcije f(x)=cos(x+c)
Graf funkcije f(x)=cos(x+c)

Izgled i svojstva grafa funkcije graf funkcije f(x)=cos (x+π4):

Skup vrijednosti je [-1,1].

Točke maksimuma su (2kπ-π4,1),kZ.

Točke minimuma su (2kπ+3π4,-1),kZ.

Nultočake su x=π4+kπ,kZ.

Temeljni period iznosi 2π.

Realan broj c0 u zapisu funkcije f(x)=cos(x+c) "pomiče" graf funkcije f(x)=cosx po

i
to ulijevo za
i
udesno za
.
null
null

Razvrstajte svojstva funkcije kosinus u dvije skupine: ona koja se mijenjaju za c0 i ona koja ostaju nepromijenjena za funkciju f(x)=cos(x+c).

nultočke

Mijenjaju se

Ne mijenjaju se

null
null

Istražimo

Nacrtajmo graf funkcije g(x)=cosx. U istom koordinatnom sustavu nacrtajmo graf funkcije f(x)=cosx+d. Pogledajmo kako broj d utječe na izgled grafa. Mijenjajte vrijednosti broja d i pratite izgled grafa funkcije f(x)=cosx+d s obzirom na graf funkcije g(x)=cosx.

Primjer 4.

Pogledajmo graf funkcije f(x)=cosx+2.

Graf funkcije f(x)=cosx+d
Graf funkcije f(x)=cosx+d

Izgled i svojstva grafa funkcije graf funkcije f(x)=cosx+2 :

Skup vrijednosti je [1,3].

Točke maksimuma su (2kπ,3) za kZ.

Točke minimuma su ((2k+1)π,1),kZ.

Nultočaka nema.

Temeljni period iznosi 2π.

Realni broj d0 u zapisu funkcije f(x)=cosx+d "pomiče" graf funkcije f(x)=cosx po

prema
gore za
,
a prema dolje za
.
null
null

Razvrstajte svojstva funkcije kosinus u dvije skupine: ona koja se mijenjaju za d0 i ona koja ostaju nepromijenjena kod funkcije f(x)=cos x+d .

 maksimum i minimum

 Mijenjaju se

Ne mijenjaju se

null
null

Vidjeli smo nekoliko načina na koje možemo prikazati graf funkcije kosinus. Odaberite način koji vam se najviše sviđa te riješite sljedeći zadatak.

Zadatak 1.

Nacrtajte graf funkcije f(x)=-2cos(x-π2), ispišite nultočke i ekstreme te rast i pad funkcije.

Graf funkcije f(x)=-2cos (x-pi/2)
Graf funkcije f(x)=-2cos (x-pi/2)

Izgled i svojstva grafa funkcije graf funkcije f(x)=-2cos(x-π2) :

Nultočke su x=kπ,kZ.

Točke maksimuma su (32π+2kπ,2),kZ.

Točke minimuma su (π2+2kπ,-2),kZ.

Graf funkcije rastući je na intervalima π2+2kπ,32π+2kπ,kZ.

Graf funkcije padajući je na intervalima -π2+2kπ,π2+2kπ,kZ.


...i na kraju

Posložite redoslijed kojim možemo nacrtati graf funkcije f(x)=Acos(bx+c)+d=Acos(b(x+cb))+d iz grafa funkcije f(x)=cosx pomacima u koordinatnom sustavu.

  • Odredimo temeljni period i funkciju tako da rastegnemo ili stegnemo po osi x. Dobijemo  f1(x)=cosbx.
  • Rastegnemo/stegnemo duž osi y za faktor A i dobijemo f3(x)=Acos(b(x+cb)).
  • Pomaknemo po osi y i dobijemo f4(x)=Acos(b(x+cb))+d.
  • Pomaknemo za  cb ulijevo/udesno duž x osi i dobijemo f2(x)=cos(b(x+cb)).
  • Nacrtajmo graf funkcije f(x)=cosx.
null
null

Procijenite svoje znanje

Povratak na vrh